七年级数学《含绝对值的一元一次方程》专项训练题（带解析）

专题3.12含绝对值的一元一次方程（专项练习）

解题方法:第一步:先根据绝对值的意义去掉绝对值的符号;第二步:按一般的一元一次方

程的解法解方程.

绝对值方程的基本形式为：

\x-a\=b形式

即:当b＞0时，化为x-a=。或x-a=-b\

当b=0时，x-a=0；

当》＜0时，无解；

在解题过程中，涉及到的数学思想有:分类讨论思想、转化思想.

一、单选题

1.若方程（k-2）xlkl』+4k=0是关于x的一元一次方程，则k的值为（）

A.1B.-2C.2或-2D.2

2.方程|2x—6|=4的解是（)

A.1B.5C.T或5D.1或5

3.关于x的一元一次方程如+3=2（〃?一幻的解满足则加的值是（）

3或!■

A.5B.-C.5D.2或0

22

4.方程|x+l|+|x・3|=4的整数解有（）

A.2个B.3个C.5个D.无穷多个

5.方程3-1|=4"5的解是（）

A.x=-3或1B.x=3或

C.x=-gD.x=-3

6.整数。满足3＜同＜6,若a使得关于x的方程or+6=3（x-1）的解为整数，则满足条件

的所有整数”的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知关于x的方程|5x—4|+。=0无解,|4x—3|+6=0有两个解,|3x—2|+c=0只有一个

解，则化简|4-4+卜-耳-卜-可的结果是（）

A.2aB.2bC.2cD.0

8.方程『?卜=。的解是（）

A.1B.无数个C.0D.无解

9.若|x|+|x-4|=8,则x的值为()

A.-2B,6C.-2或6D.以上都不对

24

10.满足方程x+一+x—=2的整数》有()个

33

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

11.若2|x-11=4，贝ijx的值为____

12.已知|。一耳=2,当。=1时,〃=

1—Y

13.解方程亏=3,则x=.

14.方程W+2x=2019的解为.

15.方程匕区-区二=1的解是.

48

16.已知关于x的方程皿+3=2。-加)的解满足卜-2|-3=0,则加的值是

17.当|x|=x+6时，则20x2+30x+10=.

18.若关于x的方程4m—3x=l的解满足2|x-2I-1=3,则m的值为

19.已知关于x的方程2/nr+3=〃2-x的解满足方程|x-l|=1，则m=.

20.方程|x+l|+|2x-l|=6的解为:.

21.①当x=—时，式子竺^与乎+x的值互为相反数;②解方程|M=3，则

64|2|

三、解答题

22.先阅读下列解题过程，然后解答问题(1)、(2)

解方程：|x+3|=2.

解:当x+320时源方程可化为:x+3=2,解得x=-1;

当x+3<0时,原方程可化为:x+3=—2,解得x=—5.

所以原方程的解是x=-l,x=-5.

⑴解方程：|3x—2|—4=0；

(2)探究:当b为何值时，方程斗=力+1①无解;②只有一个解;③有两个解.

23.解方程:同3x+"=4.

24.解方程:|3x-2|-|2x+3|=4x-5

25.［现场学习］

定义:我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程

Y—I

如:|x|=2,|2x-1|=3,|三一|-x=2,…都是含有绝对值的方程.

怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是:含有绝对值的方程一不含有绝对值的方

程.

我们知道，根据绝对值的意义，由仇|=2,可得x=2或x=-2.

［例］解方程：|2x-”=3.

我们只要把2x-1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.

解:根据绝对值的意义，得2x-1=3或2x-1=-3.

解这两个一元一次方程，得％=2或才=-1;

经检验可知,原方程的解是1=2或犬=-1.

［解决问题］

解方程：|与1|7=2・

解:根据绝对值的意义，得

解这两个一元一次方程，得》=或x=,

经检验可知，原方程的解是.

［学以致用］

解方程：|2x+l|=|5x-6|.

26.定义:若。+匕=3,则称。与匕是关于3的实验数.

(1)4与是关于3的实验数,与5-2%是关于3的实验数.(用含x的代数式

表示).

⑵若〃=3(n+工)+5为=2x-［3x—(4x+/)+2］,判断q与b是否是关于3的实验数,

并说明理由.

(3)若c=卜+3|-30=卜-2|-1,且c与d是关于3的实验数，求x的值.

27.在数轴上，表示数机与〃的点之间的距离可以表示为I利-川.例如:在数轴上，表示

数一3与2的点之间的距离是5=|-3-2|,表示数一4与一1的点之间的距离是

3=|-4-(-1)|,

I1IIIII1III1III”

-7-6-5-4-3-2-101234567

利用上述结论解决如下问题：

⑴若卜-1|=2,则*=;若|尤+3|=2,-1|，则x=；

(2)点A、B为数轴上的两个动点，点A表示的数是”,点8表示的数是"且卜-4=5(%>〃),

点C表示的数为一3,若A、B、C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点，求a、b

的值.

(3)求|x—3|+|x—2|+|x+l|的最小值以及此时x的值；

(4)已知(卜+1|小一2|)仙-2|+»+1|)(卜-3|+R+1|)=36,求》+3)，+52的最大值和最小

值.

28.先看例子，再解类似的题目：

例:解方程：国-1=5.

解法一:当x>0时，原方程化为x-l=5，解方程，得x=6;当x<0时，原方程化为-x-l=5,

解方程，得x=-6.所以方程同一1=5的解为x=6或x=-6.

解法二:移项，得凶=5+1,合并同类项，得|x|=6,由绝对值的意义知,x=±6.所以原方程

的解为x=6或x=-6.

问题:用你发现的规律解方程3凶一7=8.

参考答案

1.B

【分析】根据一元一次方程的定义解答即可.

解:；方程(k-2)xW+4k=0是关于x的一元一次方程，

>-2^0

'血-1=1

k=—2

故选B.

【点拨】本题考查了一元一次方程的定义,熟记一元一次方程的定义是解题的关健.

2.D

【分析】根据绝对值的性质分类讨论，分别解两个一元一次方程即可.

解:•.12x-6|=4

2x-6=±4

若2x-6=-4

解得:x=l

若21-6=4

解得:x=5

综上:方程|2%-6|=4的解是x=l或x=5

故选D.

【点拨】此题考查的是解含绝对值的方程，掌握绝对值的性质和一元一次方程的解法是

解题关键.

3.C

【分析】先根据卜卜;解出x的值,再代入x的值到一元一次方程中求出m的值.

解:，・,工一5=—

，解得X=1,工2=0

将百=1代入mx+3=2(m-x)中

〃?+3=2x(〃2-l),解得见=5

将％=0代入如+3=2(m_幻中

3=2x(〃—0),解得吗=：

则m的值为5或1

故答案为:C.

【点拨】本题考查了解一元一次方程，代入x存在的值求出m的值是解题的关键.

4.C

［分析］绝对值的几何意义反映的是两点之间的距离，据此可以顺利解答本题.

解:用数轴表示方程中的未知数x表示到-1与3的距离的和等于4的整数值，所以

玉=-1,々=0，W=1,巧=2,占=3,共有五个整数解.

故选C.

【点拨】本题重点考查绝对值的几何意义，利用几何意义在数轴上很容易找出本题的解.

5.C

【分析】根据2x-l的符号分情况去绝对值号,列出方程求解即可.

解:①当2x-1三0,即这；时，原式可化为:2x-l=4x+5,解得x=-3,舍去；

I2

②当2x-1V0,即时，原式可化为:1-2x=4x+5,解得/=-］,符合题意.

故此方程的解为x=-(.

故选:C.

【点拨】此题考查取绝对值的方法和解一元一次方程的方法，取绝对值后列方程求解方

程即可.

6.C

【分析】由整数。满足3＜同46冼确定a=-6,—5,Y,4,5,6,由方程or+6=3(x—l)的解

为整数.可得》=-吃，由。—3是9的约数均,±3,±1,求出。=-6,0,2,4,6,12,结合条件求出

a-3

a=-6,4,6即可.

解:•••整数。满足3＜同46,

.•・3va＜6或-6＜。＜一3,

***ci=—6,—5,—4,4,5,6,

ar+6=3(x-l),

整理得(a—3)x=-9,

♦・,“一3是9的约数±9,±3,±1,

/.a=-6,0,2,4,6,12,

/.«=-6,4,6,

则满足条件的所有整数。的个数是3个.

故选择:C.

【点拨】本题考查有条件限定的一元方程的整数解问题，掌握方程整数解的求法,关键是

9

方程变形为“转化为9的约数来解是解题关键.

a-3

7.D

解:因为方程|5x-4|+a=0无解，所以”＞0,因为|4x-3|+6=0有两个解，所以X0,因为

|3x—2|+c=0只有一个解，所以c=0,则|。一4+,一耳一心一耳=。一匕一3一力=0,故选D.

【点拨】本题主要考查含绝对值方程的解和绝对值的化简，解决本题的关键是要熟练掌

握绝对值的意义.

8.A

X—11—x

解:试题分析:根据绝对值的性质可得:弓2=°且寸=°，解得:X=1.

考点：(1)绝对值的性质;(2)解一元一次方程

9.C

【分析】根据x的取值范围把0、0〈烂4、x＞4三种情况进行讨论，根据绝对值的意义

进行化筒即可.

解:当烂0时，由|x|+|x-4|=8可得:-x+4-x=8,解得:4-2;

当0＜烂4时，由|x|+|x-4|=8可得:x+4-x=8,解得:x无解;

当x＞4时，由国+|x-4]=8可得:x+x-4=8,解得:k6;

所以x=-2或6,

故选:C

【点拨】本题考查绝对值及解方程，理解绝对值的意义是正确解答的前提,根据绝对值的

意义进行化简是解决问题的关键.

10.C

4224

（分析】分类讨论:时，分别解方程求得答案.

3333

解:当北；4时，原方程为:x+：?+x4-1=2,得x=；4,不合题意舍去；

当XV、2时，原方程为:-X-：2+；4-x=2,得x=-:2,不合题意舍去；

当2时4，原方程为:x+：2+；4-x=2,得2=2,说明当2时关4系式

24

x+-+x--=2恒成立，所以满足条件的整数解x有:0和1.

故选:C.

【点拨】此题考查解一元一次方程,需根据x的范围将绝对值符合去掉,再解出x的值.

11.3或-1

【分析】根据绝对值的定义确定的值，然后求得x的值即可.

解:|x—1\=2,.'.x—l=±2,/.x=3或-1.

故答案为3或-1.

【点拨】本题考查了绝对值的知识，了解绝对值等于一个正数的数有两个,它们互为相反

数.

12.3或-1

【分析】将b=\代入I”-加=2,再根据绝对值的意义解方程即可.

解:当b=1时,|a-b\—\a-1|-2,

可得a-1=±2,

解得a—3或-1,

故答案为：3或-1.

【点拨】本题主要考查了绝对值的方程,熟练掌握绝对值的意义和熟练解方程是解答此

题的关键.

13.-5或7

【分析】根据绝对值的意义进行化筒求解即可.

解:由题可得:三=±3,

1—r

若三=3,则x=—5,

1—Y

若；—=-3厕x=7,

故答案为：-5或7.

【点拨】本题考查绝对值方程，理解绝对值的意义，分类讨论是解题关键.

14.x=673

【分析】分xK)和x<0两种情况，去掉绝对值，再解方程即可.

解:当x>0时，方程化为3x=2019,

解得:x=673;

当x<0时，方程化为x=2019,不符合题意，

故答案为：x=673.

【点拨】本题考查了解一元一次方程和绝对值，解题的关键是根据绝对值的性质将方程

变形.

15.±4

【分析】解一元一次方程，准确利用绝对值的性质分类讨论即可；

解:当xNO时，宇一—=1.得x=4：

48

当x<o--T—=1,得％=-4・

48

故答案是±4.

【点拨】本题主要考查了求解一元一次方程，准确利用绝对值的性质是解题的关键.

16.5或或5

【分析】解此题分两步:⑴求出|x-2|-3=0的解;(2)把求出的解代入方程a+3=2(x-m),

把未知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可.

解:卜―4―3=0,

卜-2|=3,

x-2=±3,

解得：工二5或・1.

当％=5时，代入"a+3=2(x一根)得5%+3=2(5-6)，

解得:根=1;

当x=—1时•，代入"优+3=2(x-m)得T?7+3=2(-1-w),

解得:m=-5.

故答案为：5或-1.

【点拨】本题考查了解一元一次方程及绝对值,解题的关键是能得出关于〃7的方程.

17.100

【分析】分烂。或x>0两种情况求出x的值，再代入计算即可求解.

解:①xgO时,-x=x+6,解得x=-3,

20x2+30x+1()=20x(-3)2+30x(-3)+10=180-90+10=100.

②x>0时,x=x+6,方程无解.

故答案为：100.

【点拨】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的

取值来确定:①当a是正有理数时声的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时,a的绝对值是

它的相反数-a;③当a是零时,a的绝对值是零.

18.m=-或—

44

［分析】本题须先求出x的值,然后把x的值代入原方程，即可求出m的值.

M：V2|X-2|-1=3,

・・・|x・2|=2,

x-2=±2,

x=4或x=0,

把x=4代入方程4m—3x=l得：

4m-12=l,

13

把x=0代入方程4m—3x=1得：

4m=l,

1

m=r

.13C1

・・m=—或m=—

44

故答案为:13;或;1.

44

【点拨】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，在解题时要注意分两种

情况进行讨论.

19.3或

【分析】求出x=±l,把x的值分别代入方程,求出方程的解即可.

解:解|xT|=l得x=0或2,

把x=0代入方程=解得m=3,

把x=2代入方程2,nr+3=,〃-x,得4m+3=m-2,解得m=--1

综上所述,m=3或-：.

故答案为：3或-g

【点拨】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，解此题的关键是得出

关于m的方程.

20.x=±2

【分析】分三种情况去掉绝对值符号:当烂-1时,|x+l|+|2x-l|=-x-l-2x+l=-3x=6;当-l<x

<g时Jx+1|+|2x-1|=x+l-2x+1=-x+2=6;当|<x时,|x+l|+|2x-l|=x+1+2x-1=3x=6;

解:当x<-ltbf,|x+1|+|2x-1|=-x-1-2x+1=-3x=6,

x=-2;

当-1<x<yR't,|x+1|+|2x-1|=x+1-2x+1=-x+2=6,

・・・x=4(舍)；

当8时,|x+l|+|2x-l|=x+1+2x-l=3x=6,

x=2;

综上所述,x=±2,

故答案为x=±2.

【点拨】本题考查绝对值与一元一次方程;能够根据绝对值的意义,分情况去掉绝对值符

号，将方程转化为一元一次方程是解题的关键.

21.噌-5或7

+5r-4-11

【分析】①式子毛2与中+x的值互为相反数就是已知这两个式子的和是0,就可

64

以得到一个关于x的方程，解方程就可以求出x的值.

②依据绝对值的意义，土3的绝对值是3,从而将原方程可化为三=3或厘=-3,然后解

出x的值.

解:①根据题意得:中2x+25+中x+\1+x=°，

64

去分母得:2(2x+5)+3(x+l1)+12x=0.

去括号得：4x+10+3x+33+12x=0,

移项、合并同类项得：19%=-43,

系数化1得:x=-4"3.

即当"一4"3时，式子2R+5与空+X的值互为相反数.

6

故答案为:一历.

②解:根据绝对值的意义，将原方程可化为：

1-X__p.1—X_

-=3g!c—=-3,

解得x=-5或x=7.

故答案为：-5或7.

【点拨】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是正确理解题意,利用相反数与绝对值

的意义建立关系列出方程.

2

22.(l)x=2或x=-§.(2)①方V-1;②b=-1;③6>-1

【分析】(1)利用绝对值的意义得到3x-2=4或3x-2=-4,然后分别解两个一次方

程；

(2)利用绝对值的意义讨论：当ZJ+1<0或6+1=0或b+\>0时确定方程的解的个数，

⑴解:|3x-2|-4=0,

当3x-2"时,原方程可化为:3x-2=4,解得x=2;

2

当3%-2<0时,原方程可化为:3x-2=-4,解得工=-§;

所以原方程的解是x=2或x=-(2.

(2)解:•)|x-2]20,

.,.当b+lVO,BP*<-1时,方程无解；

当6+1=0,即6=-1时,方程只有一个解;

当*+1>0,即〃>-1时,方程有两个解.

【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程:解含绝对值符号的一元一次方程要

根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论,即去掉绝对值符号得到一般形式

的一元一次方程，再求解.

23.X——X—-—

24

【分析】利用绝对值的性质，将方程转化为尸例+1|=4或k|3x+l|=-4,再分情况讨论:

当3x+1>0时可得到13x+1|=3x+1;当3x+1V0时可得到|3x+1|=-3x-1,分别求出对应的方程的解

即可.

解:原方程式化为x-|3x+l|=4或六段+1|=-4,

当3x+l>0时，即x>-g

由x-|3x+l|=4得

x-3x-l-4,

.•/=-|•与x>-1不相符，故舍去；

由x-|3x+l|=4得

尸3尸1=-4,

.”=!3■，符合题意；

当3x+lV0时，即x<-

由x-|3x+l|=4得

x+3x+l—M-,

・・.工3==与不<-1：不相符，故舍去；

43

由对3x+l|=4得

x+3x+l=-4,

.•/=-1■，符合题意；

4

故原方程的解是工==3或X=-57.

24

【点拨】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法.分类讨论是解题

的关键.

4

24.x=-

9

【分析】通过绝对值的概念分三种情况，当x43时，当-3]<x<：2时，当x>|2时,分别将

方程化筒求解即可.

解：|3x-2|-|2x+3|=4x-5,

当时，原方程可化为：

2—3x+2x+3=4x—5,

解得:42不合题意,舍去；

当-；3<x<:2时，原方程可化为：

2—3x—2x—3—4x—5,

4

解得：%=§；

2

当时•，原方程可化为：

3x—2—2x—3=4x—5,

解得:产0不合题意,舍去，

4

所以,这方程的解是

y

【点拨】本题主要考查一元一次方程的求解，涉及绝对值的知识，难度一般，通过绝对值

的概念对式子分类讨论是解题的关键.

75

25.［解决问题］:2+x,-2-x,-5,-l,x=-5或x=-I,［学以致用］:x=§或x=,

【分析】［解决问题］根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可得；

［学以致用］考虑两个绝对值相等，则这两个数或(代数式)相等或互为相反数，求解即可

得.

解:［解决问题］:言7=2,

根据绝对值的意义，得：

X-1__p,X.

---=2+x或----=-2一%，

22

解这两个一元一次方程，得x=-5或％=-1,

经检验可知,原方程的解为x=-5或1=-1,

故答案为：2+x;—2—x;—51:x=-5或x=—1:

［学以致用］|2x+l|=|5x-6|,

2x+l=5x-6或2x+l=—5x+6.

75

解这两个一元一次方程，得：x=(或x=］,

75

经检验可知,原方程的解为尤=(或x=］.

【点拨】题目主要考查绝对值的意义及解一元一次方程，理解题目中的例题，结合绝对值

的意义是解题关键.

26.(1)-1,2x2⑵是,理由见解析;(3)3或-4

【分析】(1)根据实验数的定义，列式计算即可；

(2)将两式相减得出a+b=3,根据实验数的定义判断即可；

(3)根据实验数的定义，列出方程,解方程即可.

解:⑴：4+(-1)=3,

.♦.4与-1是关于3的实验数，

V5-2x+(2x-2)=3,

...Zr-2与5—2x是关于3的实验数.，

故答案为：-l,2x-2

(2)。与6是关于3的实验数，

理由:+h=2x2-3(x2+x)+5+2x-[3x—(4x+/)+2]

=2x2—3x2~3x+5+2x—(3x—4x—x2+2)

-lx2-3x2—3x+5+2x—3x+4x+/-2

=3

•••a与b是关于3的实验数

(3)：c与d是关于3的实验数,。=卜+3|-30=卜-2|-1,

|x+3|—3+|x—2|—1=3,即|x+3|+|x—2|=7,

当xN2时,原方程化简为x+3+x-2=7,解得,x=3;

当一3<x<2时，原方.程化简为x+3+2—x=7,方程无解；

当x4-3时,原方程化简为-x-3+2-x=7,解得,x=Y:

•'-x的值为3或一4.

【点拨】本题考查了有理数运算、整式的加减、解方程，解题关键是准确理解新定义，熟

练运用整式运算法则和解方程方法进行计算.

27.(1)3或一1,5或一((2)b=_/,a='或4=2力=7或a=_13,"=_8

(3)4,x=2(4)最小值为一9,最大值为23

【分析】(1)根据绝对值的性质及题目中的例题进行化简求解即可；

(2)根据题意得出。-。=5,然后分三种情况进行讨论:①当C是4、B的中点时;②当A是

B、C的中点时;③当8是A、C的中点时;利用数轴上中点的性质可得方程，求解即可；

(3)结合绝对值的意义可得式子表示数轴上一点到3,2,-1的距离，当x在一1与3之间

时,|x-3|+|x+l|的值最小为4,根据式子可得当x=2时，得出数轴上点之间的距离最小值即可;

(4)根据⑶中方法可得|x+l|+|x-2|表示数轴上一点到-1,2的距离，最小值是

3,|丫-2|+'+1|表示数轴上一点到2,-1的距离，最小值是3,|z-3|+|z+l|表示数轴上一点到

3,1的距离，最小值是4,结合题意可得:一1Mx42「1<y<2,Tv