二次函数复习

关于二次函数复习课件第1页，共30页，2023年，2月20日，星期二二次函数二次函数的概念定义一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)自变量的取值范围全体实数图象一条抛物线解析式形式一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式y=a(x-h)2+k交点式y=a(x-x1)(x-x2)y=ax2+bx+c(a≠0)性质六点、一轴、一方及增减性与最值二次函数与一元二次方程的关系抛物线与x轴交点的横坐标就是其对应一元二次方程的根二次函数的应用知识网络第2页，共30页，2023年，2月20日，星期二专题一二次函数的定义及基本性质解析

（1）根据定义可知m2+5m+8=2且m+2≠0;(2)在（1）的基础上根据a的符号再作确定；（3）判断抛物线的增减性要结合开口方向及对称轴.专题复习例1

已知函数

是关于x的二次数.

(1)求满足条件的m的值，并写出解析式；（2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最小值？最值是多少？（3）当x为何值时y随x的增大而减小？第3页，共30页，2023年，2月20日，星期二解：（1）由题意得解得∴满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3.(2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次函数有最大值，最大值是3.(3)当x>0时，y随x的增大而减小.xyOy=-x2+3配套训练

1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（）A.(-2,2)B.(2,-2)C.(2,2)D.(-2,-2)2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c=

.3.二次函数y=x2+bx+3

的对称轴是直线x=2，则b=_______.C-4第4页，共30页，2023年，2月20日，星期二函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象a>0a<0性质开口向上，并向上无限延伸向下，并向下无限延伸对称轴直线顶点增减性当时y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.当时y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.最值yxOxOy第5页，共30页，2023年，2月20日，星期二专题二二次函数图象的对称性例2

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），则这条抛物线的对称轴为_________.解析

抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直线,因此这条抛物线的对称轴是直线.直线x=1第6页，共30页，2023年，2月20日，星期二

配套训练

1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…-10123…y…105212…则①抛物线的对称轴是

；②当y<5时，x的取值范围是

.③在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”).直线x=20<x<4＜第7页，共30页，2023年，2月20日，星期二配套训练

2.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是

.yx1-13-1<x<3O第8页，共30页，2023年，2月20日，星期二专题三二次函数图象图象的变换例3

如图，二次函数y1=－x2+2图象向右平移1个单位得到的y2

．回答下列问题：（1）y2图象的顶点坐标

．（2）图中阴影部分的面积

．（3）若再将y2绕原点O旋转180°得到y3，则y3的开口方向

，顶点坐标

．yx-22321O-1-2-11解析

根据抛物线平移规律可得出y2=-(x-1)2+2,因此可以很快确定其顶点坐标；阴影部分的面积利用割补方法，进而转化为求平行四边形的面积；再根据抛物线关于原点对称规律可得出y3=(x+1)2-2.(1,2)2向上（-1，-2）第9页，共30页，2023年，2月20日，星期二知识点复习

抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律：左右平移，括号内左加右减；上下平移，括号外上加下减.配套训练

要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2()A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度B第10页，共30页，2023年，2月20日，星期二专题四二次函数图象与系数的关系例4

如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（-1，0）．则下面的四个结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c>0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞3．其中正确的是（）A.①②B.①③C.①④D.②③x1BCA-1Oyx=1C第11页，共30页，2023年，2月20日，星期二解析

①2a＋b＝0,想到对称轴,得b=-2a,故2a＋b＝0正确；

②4a－2b＋c>0，想到当x=-2时结合图象可知y<0,故4a－2b＋c>0不正确；

③abc＞0，由图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，根据“左同右异”，则b>0,又易知c>0,故abc＞0不正确；④当y＜0时，x＜-1或x＞3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象可知当y＜0时，x＜-1或x＞3，故正确，所以选C.知识点复习

抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题:①a的符号决定开口方向；②a、b的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”；③c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.第12页，共30页，2023年，2月20日，星期二配套训练

1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3x2OyD第13页，共30页，2023年，2月20日，星期二配套训练

2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA第14页，共30页，2023年，2月20日，星期二专题五二次函数与一元二次方程的关系例5

结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题：①写出方程ax2+bx+c=0的根；②写出不等式ax2+bx+c>0的解集；③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.x4Oy-13解析本题结合图象从中发现信息进行解题.第15页，共30页，2023年，2月20日，星期二解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3；（2）由图象可知当-1<x<3时，函数的图象位于x轴的上方，所以不等式的解集为-1<x<3；（3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小，∴y随着x的增大而减小的x的取值范围为x>1;(4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与二次函数图象有两个交点，∴k的取值范围为k<5.第16页，共30页，2023年，2月20日，星期二配套训练

已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是（）A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根x8OyC第17页，共30页，2023年，2月20日，星期二专题六待定系数法求二次函数的解析式x4Oy-13

例6

你能求出图中抛物线的解析式吗？解析图象中提供了我们解题的很多信息，如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴是直线x=2及顶点坐标是(1,4).你有几种方法可以求这条抛物线的解析式，你最喜欢哪一种？第18页，共30页，2023年，2月20日，星期二解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），∴有y=a（x-1）2+4，代入（-1,0）.∴a（-1-1）2+4=0，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.第19页，共30页，2023年，2月20日，星期二方法提示

知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用最熟悉的方法.配套训练

已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，－8)，则二次函数的解析式是

.y=-2(x-1)2-6第20页，共30页，2023年，2月20日，星期二专题七综合应用—呈抛物线形状实物的几何探究例7

跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处，刚好通过他们的头顶，已知丙同学的身高是1.5米.（1）请你算一算丁同学的身高.1m甲乙丁丙2.5m4m1m(0,1)(4,1)(1,1.5)第21页，共30页，2023年，2月20日，星期二解得：，所以抛物线解析式为当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.1m甲乙丁丙2.5m4m1m解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得xOy(0,1)(4,1)(1,1.5)第22页，共30页，2023年，2月20日，星期二（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同学的距离为s米,要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合图像,直接写出s的取值范围.1m甲乙丁丙2.5m4m1m1<s<3第23页，共30页，2023年，2月20日，星期二二次函数二次函数的定义二次函数的概念及图象特征二次函数的图象及性质用数形结合的方法去研究和运用二次函数的应用建立二次函数模型，将实际问题数学化，运用二次函数知识解决实际问题课堂小结第24页，共30页，2023年，2月20日，星期二1.对于抛物线y=-2(x-5)2+3，下列说法正确的是（

）A.开口向下，顶点坐标(5,3)B.开口向上，顶点坐标(5,3)C.开口向下，顶点坐标(-5,3)D.开口向上，顶点坐标(-5,3)A2.当a>0,b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（

）xOyAxOyBxOyCxOyDA课后训练第25页，共30页，2023年，2月20日，星期二3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象的函数解析式是

.y=2x2+14.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴为