2022年新高考数学模拟试卷

2022年新高考数学模拟试卷（4）

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A{x|x22ax3a20}，B{x|x23x0}，若AB，则实数a的

取值范围为()

A．{0}B．{1，3}

C．(，0)(3，)D．(，1)(3，)

2

2．（5分）i是虚数单位，在复平面内复数3i对应的点的坐标为()

3i

3313333133

A．(，)B．(，)C．(，)D．(，)

22222222

11

3．（5分）设a，b为正实数，则“1”是“ab4”的()

ab

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．（5分）设函数f(x)alnxbx2，若函数f(x)的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为yx，

则函数yf(x)的增区间为()

222

A．(0,1)B．(0,)C．(，)D．(，1)

222

5．（5分）用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在

任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为()

43444344

A．B．C．D．

53535454

6．（5分）如果在一次实验中，测得(x,y)的四组数值分别是(1,2.2)，(2,3.3)，(4,5.8)，(5,6.7)，

则y对x的线性回归方程是()

A．yˆ0.15x4.05B．yˆx1.45C．yˆ1.05x1.15D．yˆ1.15x1.05

7．（5分）若(1x)(12x)7aaxax2ax8，则aaaa的值是()

01280127

A．1B．2C．126D．130

第1页（共16页）

8．（5分）函数f(x)Asin(2x)xb，A0，0，，bR，则函数f(x)在区

间(,)上的零点最多有()

A．4个B．5个C．6个D．7个

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的有()

A．已知a，b均为非零向量，则a//b存在唯一的实数，使得ba

B．若向量AB,CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上

C．若点G为ABC的重心，则GAGBGC0

D．若acbc且c0，则ab

10．（5分）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,81)，其中90分为及

格线，则下列结论中正确的有

附：随机变量服从正态分布N(,2)，则P(22)0.9545()

A．该校学生成绩的期望为110

B．该校学生成绩的标准差为9

C．该校学生成绩的标准差为81

D．该校学生成绩及格率超过95%

11．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，

2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数

组成的数列{a}称为“斐波那契数列”，记S为数列{a}的前n项和，则下列结论中正确的

nnn

有()

A．a21

8

B．S32

7

C．aaaaa

1352n12n

a2a2a2

D．122021a

a2022

2021

1

12．（5分）已知函数f(x)a，则()

2x1

A．对于任意实数a，f(x)在(,0)上均单调递减

B．存在实数a，使函数f(x)为奇函数

第2页（共16页）

C．对任意实数a，函数f(x)在(0,)上函数值均大于0

D．存在实数a，使得关于x的不等式f(x)1的解集为(0,2)

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

500

13．（5分）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则

3

该圆柱的表面积为．

14．（5分）函数ytan(2x)，x(Z)的最小正周期为．

3122

x2y2

15．（5分）已知椭圆C:1的右焦点F也是抛物线C:y2nx的焦点，且椭圆与

1m1m2

5

抛物线的交点到F的距离为，则实数n，椭圆C的离心率e．

31

16．（5分）设偶函数f(x)在(,0)上为增函数，且f（3）0，则不等式xf(x)0的解

集为．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设等比数列{a}的公比为q(q1)，前n项和为S．

nn

9

（1）若a1，SS，求a的值；

16833

5

（2）若q1，aaa，且S9S，mN*，求m的值．

mm22m12mm

18．（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosAacosCa．

a

（1）求的值；

b

（2）若a1，c3，求ABC的面积．

19．（12分）复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救

治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息

相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的

体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，

78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不

低于80的为优良．

（Ⅰ）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行

体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记X表示成绩“优良”的人数，求X的分布列和期

望．

第3页（共16页）

20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，PAPD，PAPD，AD2，

ACCD．

（1）求证：PD平面PAB；

2

（2）若直线PA与平面PDC所成的线面角的正弦值6，为求CD长．

5

21．（12分）已知函数f(x)lnx．

a

（Ⅰ）试判断函数g(x)f(x)的单调性；

x

（Ⅱ）若函数h(x)f1(x)f(x)ax(a0)在(0,)上有且仅有一个零点，

(i)求证：此零点是h(x)的极值点；

32

（ⅱ）求证：e1ae2．

3

3

（本题可能会用到的数据：e1.65，e24.48，ln20.7，ln31.1)

22．（12分）已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为23，焦距为25．

（1）求双曲线C的标准方程；

3

（2）若直线l:yx1与双曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．

3

第4页（共16页）

2022年新高考数学模拟试卷（4）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A{x|x22ax3a20}，B{x|x23x0}，若AB，则实数a的

取值范围为()

A．{0}B．{1，3}

C．(，0)(3，)D．(，1)(3，)

【解答】解；已知集合A{x|x22ax3a20}{x|(x3a)(xa)0}，

B{x|x23x0}{x|x3或x0}，

若AB，

则B集合包含A集合的所有元素，

若a0时，A{0}，不符合题意舍去，

当a0时，A{3a，a}，

则a0时，因为AB，则a3；

a0时，3a0，因为AB，则3a3；即a1，

故实数a的取值范围为(，1)(3，)．

故选：D．

2

2．（5分）i是虚数单位，在复平面内复数3i对应的点的坐标为()

3i

3313333133

A．(，)B．(，)C．(，)D．(，)

22222222

22(3i)

【解答】解：3i3i

3i(3i)(3i)

2(3i)3i331

3i3ii，

(3)2122222

2331

在复平面内复数3i对应的点的坐标为(，)．

3i22

故选：A．

11

3．（5分）设a，b为正实数，则“1”是“ab4”的()

ab

第5页（共16页）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

1111

【解答】解：取a4，b，满足1，但ab44；

2ab2

11

反之，若ab4，则2abab4，得ab4，．

ab4

1111

221；

abab4

11

“1”是“ab4”的必要不充分条件．

ab

故选：B．

4．（5分）设函数f(x)alnxbx2，若函数f(x)的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为yx，

则函数yf(x)的增区间为()

222

A．(0,1)B．(0,)C．(，)D．(，1)

222

a

【解答】解：由f(x)alnxbx2，得f(x)2bx，

x

又函数f(x)的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为yx，

f(1)a2b1

，则a1，b1．

f(1)b1

1

f(x)2x，

x

11

由f(x)2x0，得x2，

x2

2

又x0，x，

2

2

即函数yf(x)的增区间为(，)．

2

故选：C．

5．（5分）用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在

任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为()

第6页（共16页）

43444344

A．B．C．D．

53535454

【解答】解：用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，

基本事件总数n54，

其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数：

m543，

m54343

则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为P．

n5453

故选：A．

6．（5分）如果在一次实验中，测得(x,y)的四组数值分别是(1,2.2)，(2,3.3)，(4,5.8)，(5,6.7)，

则y对x的线性回归方程是()

A．yˆ0.15x4.05B．yˆx1.45C．yˆ1.05x1.15D．yˆ1.15x1.05

11

【解答】解：x(1245)3，y(2.23.35.86.7)4.5，

44

n

xynxy

ii2.26.645.856.7434.511.5

bˆi11.15，

n1416254910

x2nx2

i

i1

aˆybxˆ4.51.1531.05，

线性回归方程为yˆ1.15x1.05．

故选：D．

7．（5分）若(1x)(12x)7aaxax2ax8，则aaaa的值是()

01280127

A．1B．2C．126D．130

【解答】解：令x1，得2aaaa．

0128

又aC7(2)7128，

87

所以aaaaa2128126．

01127

故选：C．

8．（5分）函数f(x)Asin(2x)xb，A0，0，，bR，则函数f(x)在区

间(,)上的零点最多有()

A．4个B．5个C．6个D．7个

【解答】解：根据题意，函数f(x)Asin(2x)xb在区间(,)上的零点，

就是函数yAsin(2x)和函数yxb在区间(,)的交点，

第7页（共16页）

2

对于yAsin(2x)，其周期T，

2

区间(,)包含2个周期，

如图：

两个函数在两个周期中最多有5个交点，即函数f(x)在区间(,)上的零点最多有5个，

故选：B．

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的有()

A．已知a，b均为非零向量，则a//b存在唯一的实数，使得ba

B．若向量AB,CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上

C．若点G为ABC的重心，则GAGBGC0

D．若acbc且c0，则ab

【解答】解：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；

向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量AB,CD所在的基线共线时，点A，

B，C，D才在同一直线上，即B不正确；

设线段AB的中点为M，若点G为ABC的重心，则GAGB2GM，而GC2GM，所

以GAGBGC0，即C正确；

由平面向量的数量积可知，若acbc且c0，反例acbc0，此时向量a，b共线，

但是不一定相等，即D不正确；

故选：AC．

10．（5分）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,81)，其中90分为及

格线，则下列结论中正确的有

附：随机变量服从正态分布N(,2)，则P(22)0.9545()

A．该校学生成绩的期望为110

第8页（共16页）

B．该校学生成绩的标准差为9

C．该校学生成绩的标准差为81

D．该校学生成绩及格率超过95%

【解答】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x110，9．

该市学生数学成绩的期望为110，故A正确；

该市学生数学成绩的标准差为9，故B正确，C错误；

P(92128)0.9545，

11

P(92)P(128)[1P(P(92128)](10.9545)0.02275，

22

则P(90)0.02275，P(90)0.977250.95，故D正确．

故选：ABD．

11．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，

2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数

组成的数列{a}称为“斐波那契数列”，记S为数列{a}的前n项和，则下列结论中正确的

nnn

有()

A．a21

8

B．S32

7

C．aaaaa

1352n12n

a2a2a2

D．122021a

a2022

2021

【解答】解：由题设知：数列{a}的前8项为：1，1，2，3，5，8，13，21，

n

a21，S33，故选项A正确，选项B错误；

87

又aa，aaa，aaa，，aaa，

123425642n12n2n2

将以上式子相加可得：aaaaa，故C选项正确；

1352n12n

斐波那契数列总有aaa，

n2n1n

a2aa，

121

a2a(aa)aaaa，

22312321

a2aaaa，，

33423

a2a(aa)aaaa，

20192018201920172018201920172018

第9页（共16页）

a2aaaa，

20192019202020192018

a2aaaa，

20202020202120202019

a2aaaa，

20212021202220212020

将以上式子相加可得：a2a2a2aa，故选项D正确，

12202120212022

故选：ACD．

1

12．（5分）已知函数f(x)a，则()

2x1

A．对于任意实数a，f(x)在(,0)上均单调递减

B．存在实数a，使函数f(x)为奇函数

C．对任意实数a，函数f(x)在(0,)上函数值均大于0

D．存在实数a，使得关于x的不等式f(x)1的解集为(0,2)

2xln2

【解答】解：对于A，当x(,0)，f(x)0，所以，

(2x1)2

对于任意实数a，f(x)在(,0)上均单调递减，A正确；

对于B，函数定义域为(，0)(0，)，定义域关于原点对称，由f(x)f(x)可得，

111

a(a)，变形可得，2a1，解得a，

2x12x12

即存在实数a，使函数f(x)为奇函数，B正确；

对于C，取a10，f（1）90，C不正确；

2

对于D，当a时，不等式f(x)1的解集为(0,2)，D正确．

3

故选：ABD．

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

500

13．（5分）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则

3

该圆柱的表面积为80．

500

【解答】解：由题意球的体积为：，所以球的半径为R，

3

4500

R3，解得R5，

33

500

所以圆柱底面直径为8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，

3

所以圆柱的高为：102826．

第10页（共16页）

可得圆柱的表面积：8624280．

故答案为：80．

14．（5分）函数ytan(2x)，x(Z)的最小正周期为．

31222

【解答】解：函数的周期T．

2

故答案为：．

2

x2y2

15．（5分）已知椭圆C:1的右焦点F也是抛物线C:y2nx的焦点，且椭圆与

1m1m2

5

抛物线的交点到F的距离为，则实数n4，椭圆C的离心率e．

31

x2y2

【解答】解：椭圆C:1的右焦点F(1,0)，所以抛物线C:y2nx的焦点(1,0)，

1m1m2

所以n4；

528

椭圆与抛物线的交点到F的距离为，不妨设在第一象限的交点为A，则A(，)，

333

2828

由椭圆定义，可得2a(1)2(1)24，

3333

c1

所以椭圆的离心率为e．

a2

1

故答案为：4；．

2

16．（5分）设偶函数f(x)在(,0)上为增函数，且f（3）0，则不等式xf(x)0的解

集为(3，0)(3，)．

【解答】解：不等式xf(x)0，

x0x0

或，

f(x)0f(x)0

偶函数f(x)在(,0)上为增函数，且f（3）0，

函数f(x)在(0,)上为减函数，且f(3)0，

x0x0

或，

x3或x33x3

解得x3或3x0，

不等式xf(x)0的解集为(3，0)(3，)．

故答案为：(3，0)(3，)．

四．解答题（共6小题，满分70分）

第11页（共16页）

17．（10分）设等比数列{a}的公比为q(q1)，前n项和为S．

nn

9

（1）若a1，SS，求a的值；

16833

5

（2）若q1，aaa，且S9S，mN*，求m的值．

mm22m12mm

【解答】解：（1）等比数列{a}的公比为q(q1)，前n项和为S．

nn

9

a1，SS，

1683

9

SSq3SS(1q3)S，

633383

1

解得q，

2

1

aaq2．

314

5

（2）q1，aaa，且S9S，mN*，

mm22m12mm

55

aaq2aq，q2q10，

mm2m2

由q1，解得q2，

a(122m)a(12m)

S9S，191，

2mm1212

a0，122m9(12m)，

1

解得m3．

18．（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosAacosCa．

a

（1）求的值；

b

（2）若a1，c3，求ABC的面积．

【解答】解：（1）由正弦定理，ccosAacosCa可化为：

sinCcosAcosCsinAsinA，

也就是sin(AC)sinA．

由三角形内角和定理得sin(AC)sin(B)sinB．

a

即sinBsinA．由正弦定理可得ba，故1．

b

（2）由a1可知b1．而c3，

a2b2c21

由余弦定理可知cosC．

2ab2

第12页（共16页）

2

又0C，于是C．

3

1123

SabsinC11sin．

ABC2234

19．（12分）复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救

治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息

相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的

体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，

78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不

低于80的为优良．

（Ⅰ）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行

体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记X表示成绩“优良”的人数，求X的分布列和期

望．

2

【解答】解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为，

3

2

故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是，

3

设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A，

2126

则P(A)1C0(1)31．

332727

C341

（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，P(X0)4，

C322055

12

C1C24812C2C111228C35614

P(X1)84，P(X2)84，P(X3)8，

C322055C322055C322055

121212

所以X的分布列为

X0123

1122814

P

55555555

1122814

EX01232．

55555555

20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，PAPD，PAPD，AD2，

ACCD．

（1）求证：PD平面PAB；

第13页（共16页）

2

（2）若直线PA与平面PDC所成的线面角的正弦值6，为求CD长．

5

【解答】（1）证明：AB平面PAD，PD平面PAD，PDAB

PDPA，PA，AB平面PAB，PAABA，PD平面PAB．

（2）PAPD，PAAD，PAD为等腰直角三角形，ACCD，

ACD为等腰三角形．

以AD中点O为原点，OC，OA，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

设OCm，

则A(0，1，0)，P(0，0，1)，C(m，0，0)，D(0，1，0)，

PA(0,1,1)，

设平面PDC的法向量为n(x,y,z)，

DC(m,1,0)，DP(0,1,1)，

mxy0

，令x1，则ym，zm，n(1,m,m)．

yz0

2m2

sin|cosPA,n|||6，

22m215

解得m23．

CDOC2OD213．

21．（12分）已知函数f(x)lnx．

a

（Ⅰ）试判断函数g(x)f(x)的单调性；

x

（Ⅱ）若函数h(x)f1(x)f(x)ax(a0)在(0,)上有且仅有一个零点，

(i)求证：此零点是h(x)的极值点；

32

（ⅱ）求证：e1ae2．

3

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3

（本题可能会用到的数据：e1.65，e24.48，ln20.7，ln31.1)

a1axa

【解答】解：(I)g(x)lnx，g(x)，

xxx2x2

x0，a0时，g(x)0恒成立，

g(x)在(0,)单调递增，没有单调递减区间．

a0时，解不等式g(x)0，得xa，

此时g(x)在(0,a)单调递减，在(a,)单调递增．

综上a0时，g(x)在(0,a)单调递减，在(a,)单调递增，

a0时，g(x)在(0,)单调递增，没有单调递减区间．

（Ⅱ）(i)f(x)lnx，则f1(x)ex，

h(x)f1(x)f(x)axexlnxax，(x