《排列数》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

环节二《排列数》教学设计【公式引入】问题1：在前面解决排列问题的时候，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越频琐了，是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？答案：我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号An追问１：用排列数符号表示从３个元素中取出２个元素的排列数，并说明排列数与排列有何区别．答案：表示为A32，已经算得A32=3×2=6．一个排列是指从n个不同元素中，任取m追问２：用排列数符号表示从４个元素中取出３个元素的排列数，它与追问１中的排列数有什么共同之处？答案：表示为A43，已经算得A43=4×3×2=24．两个追问中的排列数，都是从n个不同元素中取出m（设计意图：结合上一节已解决的具体问题，在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫．【公式推导】问题2：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数Anm（m≤n追问１：我们已经知道问题1中追问1的排列数A32A43=4×3×2=24，那么如何求排列数A答案：根据前面求排列数A32的经验，求排列数An2．解决问题的关键是：假定有排好顺序的两个空位，从接下来来计算有多少种填法.完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法；第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法．利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到An按照同样的方法，发现求排列数An3，可以按依次填3个空位来考虑，得出追问2：你能类比求排列数An2和An答案：根据前面求排列数An2和An3的经验，得到：求排列数假定有排好顺序的个空位如图，从n个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数.填空可以分为个步骤完成：第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法；第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法；……第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法.根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为.这样，我们就得到公式A问题1答案：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数Anm（m≤n）是设计意图：通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式．【公式辨析】问题3：观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？答案：排列数Anm的排列数公式右边有m个因数，各因数从追问1：你能利用排列数公式，直接计算出A52，A8答案：根据排列数公式，我们可以得到：A52=5×4=20An特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．这时，排列数公式中，即有．也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成．另外，我们规定，．设计意图：通过辩析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并给出阶乘的概念，规定0！=1．【公式应用】例1计算（1）A73；（2）A74；（3）A问题4：利用排列数公式求排列数A73时，n和答案：利用排列数公式求排列数A73时，n的值为7，m解：根据排列数公式，可得

（1）A7（2）A7（3）A7（4）A6追问1：观察例题的计算结果，从中发现它们的共性了吗？能否将它们进行推广？通过观察发现，A7A64×A推广可得：．因此，排列数公式还可以写成．设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解．并通过对所求结果共性的归纳总结，得到公式的另一种形式．课堂练习１先计算，然后用计算工具检验：（1）A124；（2）A88；（3）A解：根据排列数公式，可得

（1）A12（2）A8（3）A15（4）A12课堂练习2求证：（1）Anm=n证明：（1）Anm=n!即An（2）A8即A8设计意图：选择合适的排列数公式进行运算和证明，促进学生把握公式的特征，并掌握公式的使用条件.例2用0-9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？问题5：这是不是一个排列问题？答案：在0-9这10个数字中，选择三个不同的数字并对其进行排列，是一个排列问题．追问1：在数字的选择上，百位上的数字有什么特殊要求吗？十位和个位上的数字呢？答案：百位做为最高位，百位上的数字不能为0，十位和个位上的数字没有特殊要求．解：如图所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1-9这9个数字中取出1个，有A91第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有A92根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A9追问2：除了上面的方法，还有其他的方法可以解决这个问题吗？答案：有，还可以采用分类加法计数原理进行求解．解法2：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有A9第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有A92第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有A92根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为A9我们还可以利用间接法进行求解：解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为A103，其中0在百位上的排列数为A10总结：求排列问题的方法可以归纳为以下几步：①判断排列问题；②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果．设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法.课堂练习3一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？解：先放第一列火车，有8种不同的的方法；再放第二列火车，可以在剩下的7股岔道中进行选择，有7种不同的方法；第三列火车，再剩下的6股岔道中进行选择，有6种不同的放法；z最后放第四列火车，有5种不同的放法，综上，由分步乘法计数原理，可得：A84设计意图：通过应用，进一步巩固公式，熟悉解决排列问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.【课堂小结】回顾本节课学习的主要内容，回答下列问题；（1）提出一个排列问题，并结合问题说明排列与排列数的区别.（2）排列数公式是如何推导的？（3）如何解决排列问题？答案:(1)在10名同学中，选择两名同学，参加个不同的活动，即为排列问题，这个问题中，排列问题是从10个不同元素中取出2个元素并进行排序，而排列数，是从10个不同元素中取出2个元素进行排序一共有多少排法种数.（2）求排列数Anm可以按依次填假定有排好顺序的m个空位如图，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数An填空可以分为m个步骤完成：第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法；第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法；……第步，