2020-2021学年云南省水富县云天化中学高二下学期期中考试数学（理）试题

云天化中学2020-2021学年高二下学期期中考试理科数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（客观题）两部分，共4页。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的答案无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）开始结束S=1，i=1S=S+2ii=i+1i>4?否是开始结束S=1，i=1S=S+2ii=i+1i>4?否是输出S（第5题图）2．复数的虚部为（）A．B．C．1D．3．“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．从集合中任取一个元素，记为；从集合中任取一个元素中，记为．事件发生的概率为（）A．B．C．D．424223正视图侧视图俯视图（第7题图）A．15B．31C．32D．636．在中，已知，，则等于（）A．B．2C．D．47．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积（）A．B．C．D．8．已知函数，若曲线在点处的切线为，则（）A．－2B．2C．－3D．39．已知，则（）A．B．C．D．10．三棱锥中，底面为边长为6的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．OxyAOxyABNMl（第11题图），射线与抛物线及直线分别交于点，设，则的值为（）A．B．C．D．12．已知是定义域为的非负可导函数，其导数满足，记，，，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知实数满足则的最小值为．14．若函数在区间上的值域为，则的取值范围为．15．过双曲线的左焦点作圆的一条切线，记切点为，切线与双曲线的右支的交点为，若恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为．16．设函数（R），若对任意的实数，不等式都成立，则实数的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设为等差数列，其前项和记为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）在中，分别是内角的对边，已知．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．19．（本小题满分12分）如图，在几何体中，平面，，且，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．AABCDEM20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，求当的面积取得最大值时的值．21．（本小题满分12分）已知函数（R）．（1）讨论的单调性；（2）当时，若方程（R）恰好有两个实根（），求证：．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线．以坐标原点为极点、以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）写出圆的直角坐标方程及对应的参数方程；（2）当直线经过点时，设与圆的两个交点为，求的值．

云天化中学2020—2021学年春季学期期中测试高二年级理科数学参考答案与评分标准时限：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．B2．C．3．A4．C5．B6．D7．A8．D9．C10．A11．D12．B【答案提示】12．由得，即，记，则在递减．记，则，所以在上递减，又，，，所以．结合的单调性得，所以选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．【答案提示】16．，所以在R递减；又易知，所以为奇函数．于是有．记，则．由不等式恒成立得解得．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由得，所以，公差，首项，所以．………………6分（2）．…8分所以．……………12分18．解：（1）由条件结合正弦定理得．……………2分整理得．………3分所以，…………………5分又，所以．……6分（2）由条件得，即，所以．………8分又因为，，所以．…10分ABCDEMFyzxABCDEMFyzx19．（1）证明：取的中点，连接，．因为分别是的中点，所以．又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以．……………4分又因为平面，平面，所以平面．……………5分（2）由，，得，所以．如图建立空间直角坐标系，，，，．……6分易知平面的一个法向量为．……………8分设平面的一个法向量为，由，得可取．………………10分所以，所以二面角的余弦值为．………12分20．解：（1）由题意得，，………………2分所以，椭圆的方程为．……4分（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得．…………5分由题意，，设，则，．………………6分弦长，点到直线的距离，所以的面积……………7分．……9分令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意．………12分21．解：（1）的定义域为，．…1分当时，，所以在递增．…………2分当时，，，所以在递增，在递减．………4分综上：当时，在递增；当时，在递增，在递减．………………5分（2）【解法一】时，方程即为．记，．可得在递减，在递增．…7分由题意，可知．．因为，，在递增，故只需证，即，亦即．①构造函数，则，所以在递减，得，故①式成立，所以成立．…………12分【解法二】时，方程即为．由题意，所以，变形得．……………7分．令，则不等式即为．①…………………9分记，则，所以在递增，所以．故①式成立，所以成立．……………12分22．解：（1）圆的直角坐标方程为．……