基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

关于基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第1页，共65页，2023年，2月20日，星期三公式二:公式一:

=0(C为常数)第2页，共65页，2023年，2月20日，星期三算一算：求下列函数的导数(1)y=x4;(2)y=x-5;注意公式中,n的任意性.4x3-5x-6-2x-3第3页，共65页，2023年，2月20日，星期三公式三:公式四:第4页，共65页，2023年，2月20日，星期三公式五:对数函数的导数第5页，共65页，2023年，2月20日，星期三公式六:指数函数的导数第6页，共65页，2023年，2月20日，星期三记一记第7页，共65页，2023年，2月20日，星期三第8页，共65页，2023年，2月20日，星期三第9页，共65页，2023年，2月20日，星期三第10页，共65页，2023年，2月20日，星期三[点评]运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准．第11页，共65页，2023年，2月20日，星期三求下列函数的导数：(1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y＝e0.[解析]

由求导公式得第12页，共65页，2023年，2月20日，星期三法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x);应用1:求下列函数的导数(1)y=x3+sinx(2)y=x3-2x+3.一、导数的运算法则第13页，共65页，2023年，2月20日，星期三法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:应用2:求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x-2)(2)y=(1+x6)(2+sinx)第14页，共65页，2023年，2月20日，星期三法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:应用3:求下列函数的导数(1)y=tanx第15页，共65页，2023年，2月20日，星期三第16页，共65页，2023年，2月20日，星期三第17页，共65页，2023年，2月20日，星期三[点评]

1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．第18页，共65页，2023年，2月20日，星期三例2:求下列函数的导数:答案:题型一：导数公式及导数运算法则的应用第19页，共65页，2023年，2月20日，星期三(1)求下列函数的导数．①y＝x2sinx

②y＝x2(x2－1)第20页，共65页，2023年，2月20日，星期三第21页，共65页，2023年，2月20日，星期三练一练：（1）下列各式正确的是（）C第22页，共65页，2023年，2月20日，星期三（2）下列各式正确的是（）D第23页，共65页，2023年，2月20日，星期三(3)f(x)=80，则f'(x)=______;0e第24页，共65页，2023年，2月20日，星期三例1

假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有函数关系，其中为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？第25页，共65页，2023年，2月20日，星期三解:根据基本初等函数导数公式表,有所以因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.第26页，共65页，2023年，2月20日，星期三三、解答题6．求下列函数的导数(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tanx；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；第27页，共65页，2023年，2月20日，星期三第28页，共65页，2023年，2月20日，星期三(3)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；第29页，共65页，2023年，2月20日，星期三第30页，共65页，2023年，2月20日，星期三[例3]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．[分析]

题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．[解析]

因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.第31页，共65页，2023年，2月20日，星期三[点评]本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算法则及运算能力．第32页，共65页，2023年，2月20日，星期三例2.日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为：求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%第33页，共65页，2023年，2月20日，星期三1.2.3复合函数求导第34页，共65页，2023年，2月20日，星期三基本初等函数的导数公式第35页，共65页，2023年，2月20日，星期三导数的运算法则：法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:第36页，共65页，2023年，2月20日，星期三练习1、求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x4(3)y=x-2

y=2x

y=log3x第37页，共65页，2023年，2月20日，星期三第38页，共65页，2023年，2月20日，星期三指出下列函数是怎样复合而成：练习1第39页，共65页，2023年，2月20日，星期三二、复合函数的概念第40页，共65页，2023年，2月20日，星期三三.复合函数的导数法则:即复合函数y对x的导数等于:y对u的导数

与

u对x的导数

的乘积.复合函数的导数与函数和的导数间关系为：或第41页，共65页，2023年，2月20日，星期三复合函数求导步骤:第一步，分层（从外向内分解成基本函数用到中间变量u）；第二步，层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）；第三步，做积还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量u还原为原来的自变量x）。第42页，共65页，2023年，2月20日，星期三其实，是一个复合函数，问题：分析三个函数解析式以及导数之间的关系:①②第43页，共65页，2023年，2月20日，星期三例1：求的导数分析：解1：解2：可由y=sinu,u=2x复合而成=2cos2xxxxx2cos)2(sincos)(sin=¢Þ=¢?第44页，共65页，2023年，2月20日，星期三练习

设y=(2x+

1)5，求

y

解把2x+1看成中间变量

u，函数y=u5，和u=2x+1复合而成，所以将y=(2x+1)5看成是由由于第45页，共65页，2023年，2月20日，星期三例2设y=sin2x，求

y

解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sin

x复合而成.而所以这里，我们用复合函数求导法.第46页，共65页，2023年，2月20日，星期三求

y解将中间变量u=1-

x2

记在脑子中.这样可以直接写出下式例

3第47页，共65页，2023年，2月20日，星期三练习3：设f(x)

=sinx2，求

f(x).解第48页，共65页，2023年，2月20日，星期三第49页，共65页，2023年，2月20日，星期三第50页，共65页，2023年，2月20日，星期三【解析】第51页，共65页，2023年，2月20日，星期三解：(2)y′=(sin3x+sinx3)′=(sin3x)′+(sinx3)′=3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′=3sin2xcosx+3x2cosx3.第52页，共65页，2023年，2月20日，星期三【解析】第53页，共65页，2023年，2月20日，星期三复习检测第54页，共65页，2023年，2月20日，星期三复习检测第55页，共65页，2023年，2月20日，星期三复习检测第56页，共65页，2023年，2月20日，星期三复习检测第57页，共65页，2023年，2月20日，星期三第58页，共65页，2023年，2月20日，星期三当堂检测1．函数y=(5x－4)3的导数是（

）（A）y’＝3(5x－4)2

（B）y’＝9(5x－4)2

（C）y’＝15(5x－4)2

（D）y’＝12(5x－4)2C第59页，共65页，2023年，2月20日，星期三2．函数y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是（）（A）y’=Asin(ωx+φ)

（B）y’=－Asin(ωx+φ)

（C）y’=Aωcos(ωx+φ)

（D）y’=－Aωsin(ωx+φ)D第60页，共65页，2023年，2月20日，星期三3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（

）（A）y’=cos(x2+1)－sin3x

（B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x

（C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x

（D）y’=cos(x2+1)+sin3xB第61页，共65页，2023年，2月20日，星期三4．函数y=(1+cosx)3是由

两个函数复合而成．y=u3,u=1+cosx

5．函数y=3si