2022-2023学年河南省洛阳市孟津区高三下学期开学考试数学试题2

洛阳市孟津区2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，，则()A. B. C. D.2、已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是()A. B.C. D.4、如果函数在区间D上是增函数，而函数在区间D上是减函数，那么称函数是区间D上的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”.若函数是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为()A. B. C. D.5、函数的零点所在区间为()A. B. C. D.6、已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程为，设函数，则的图象在点处的切线方程为().A. B. C. D.7、已知向量a，b满足，，，则()A. B. C. D.8、在等差数列中,若,且它的前n项和有最小值,则当时,n的最小值为()A.14 B.15 C.16 D.179、已知关于x的方程的两个实数根，满足，则实数m的取值范围为()A. B. C. D.10、在直三棱柱中，，，，E，F为线段的三等分点，点D在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为()A. B. C. D.11、已知双曲线，直线与T交于A，B两点，直线与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，，则双曲线T的离心率为()A. B. C.2 D.412、某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的.已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是()A.0.999 B.0.9 C.0.5 D.0.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、曲线在点处的切线方程为______________.14、已知正数x，y，z满足，且，则的取值范围是__________.15、某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲?乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为________.16、已知复数满足(i为虚数单位)，复数的虚部为2，且是实数，则__________.三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、已知中,内角所对的边分别为,且.(1)求角B;(2)若________,求的面积.请在①sin;②;③这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.18、已知数列为正项等比数列，，数列满足，.（1）求；（2）求的前n项和.19、在四棱锥中，底面ABCD，，，，.（1）证明：；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.20、已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.21、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整分钟数，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分钟）12345频率0.10.40.30.10.1用频率估计概率，且从第一个顾客开始办理业务时计时.

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）用X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.22、已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的恒成立，求整数k的最大值.

参考答案1、答案：B解析：由于集合，，则.故选B.2、答案：A解析：由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.3、答案：D解析：选项A中两条曲线都不是函数的图象；选项B中，中，中，不符合；选项C中，中，中，不符合；选项D中，中，中，符合，故选D.4、答案：D解析：因为在上单调递增，且在和上单调递减，且这两个区间的交集为，所以其“缓增区间”为.5、答案：B解析：，，，，，且的图象连续不断，在内存在零点.故选B.6、答案：A解析：由已知得，，因为是奇函数，所以，，又因为，所以，，所以的图象在点处的切线方程为，即.故选A.7、答案：D解析：，，，.又，.故选D.8、答案：C解析：数列是等差数列,它的前n项和有最小值,公差,首项为递增数列.又,得.由等差数列的性质知,.当时,n的最小值为16.9、答案：D解析：设，由题意可得，，即，即，解得.故选D.10、答案：C解析：第一步：作辅助线，找到二面角的平面角易知平面ABC，故，又，，所以，.过D作交AC于点M，则，故平面ABC.过M作交AB于点N，连接DN，则，即二面角的平面角.第二步：将二面角的正弦值表示为某个参数的函数设，在中，，所以，，所以，.在中，，则.第三步：利用函数知识求解易知在上的值域为，所以.故选C.11、答案：A解析：在中，令，得，不妨设，同理可得，由对称性可知，四边形ABCD的两条对角线的交点E在y轴上.易知直线AC的方程为，令，得，即.因为，所以是等边三角形，，所以，因为，所以，所以.12、答案：C解析：记事件A：某人患肝癌，事件B：化验结果呈阳性，由题意可知，，，所以，，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是.故选：C.13、答案：解析：由,得,所以曲线在点处的切线的斜率为3,所以切线方程为.14、答案：解析：由，得，.又x，y，z为正数，所以，，所以.因为，当且仅当时等号成立，所以，，所以的取值范围为.15、答案：解析：由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，，，，，共6种，“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，，共3种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率.故答案为：.16、答案：解析：由得，设，则，因为是实数，所以，所以.17、答案：(1)(2)见解析解析：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换.(1)依题意,得.由正弦定理,又因为,所以,故.因为,所以,.(2)若选①:依题意,得,由正弦定理得,所以,又因为,所以,又,所以为等边三角形,故的面积.若选②:,解得.因为,所以又,所以为等边三角形,故的面积.若选③:由,解得,由正弦定理,得,解得,而,故的面积.18、答案：（1）（2）解析：（1）令，得，所以.令，得，所以，又，所以.设数列的公比为q，则，所以.（2）当时，，①又，②所以②-①得，得，时也成立，所以.，所以.19、答案：（1）证明见解析（2）解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则.

又，所以四边形DCBO为平行四边形.

又，

所以四边形DCBO为菱形，所以.

同理可得，四边形DCOA为菱形，所以，

所以.

因为底面ABCD，底面ABCD，所以，

又，平面ADP，所以平面ADP.

因为平面ADP，所以.（2）由（1）知，又，所以，

所以三角形ADO为正三角形.

过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

则，，.

设平面PAB的法向量为，

则.

令，则，，所以.

设直线PD与平面PAB所成的角为，

则，

所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.20、答案：(1).(2).解析：(1)由在双曲线C上，得①，由TP垂直x轴于点P，得，则由P到双曲线C的渐近线的距离为2，得，得，代入①，得，即，从而，故双曲线C的标准方程为.(2)解法一：由题意，，可设直线，则，联立得，得，设，则，从而，则线段AB的中点，且.由题意设，易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，得，即，连接QP，QA，QM，因此.由勾股定理可得，，又，则，化简得，得(舍去)，因此直线l的方程为.解法二：由题意，，可设直线，则，联立得，得，设，则.由题意设，则有，将代入，可得，则为方程的两根，故，从而，解得，因此直线l的方程为.21、答案：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列为Y12345P0.10.40.30.10.1（1）记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A，则事件A对应三种情形:

①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.

所以.

（2）X的可能取值为0,1,2.

对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,

所以；

对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,

所以；

对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以.

所以X的分布列为X0