2022届宁夏回族自治区中卫市高三三模数学（理科）试题

/15/15/2022年宁夏中卫市高考三模试卷数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1．已知集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≥6}，则?AB＝（）A．{x|x≤3} B．{x|3＜x＜6} C．{x|3≤x≤6} D．{x|x＞6}2．i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或13．已知向量a→=(λ，2)A．5 B．6 C．41 D．44．已知命题p：?x∈N，x2＜2x；命题q：?x∈R，sinx+cosx＞1，下列命题中为假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∧q C．（￢p）∨（?q） D．p∨（￢q）5．sin(-A．-14 B．-12 C．16．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α∥β，l∥α，则l∥β D．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β7．已知数列{an}满足点（n，an）在直线4x﹣y+2＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝（）A．2（4n﹣1） B．6×4n C．4n2+8n D．2n2+4n8．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）A．k≤3 B．k≤4 C．k≤5 D．k≤69．已知数列{an+2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，则a6＝（）A．1984 B．1920 C．992 D．96010．已知函数f（x）＝﹣x|x|，且f（m+2）+f（2m﹣1）＜0，则实数m的取值范围为（）A．(-∞，-13) B．（﹣∞，3） C．（3，+11．阿波罗尼斯是古希腊着名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ＞0，且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是着名的阿波罗尼斯圆．若点C到A（﹣1，0），B（1，0）的距离之比为3，则点C到直线x﹣2y+8＝0的距离的最小值为（）A．25-3 B．5-3 C．12．不等式aeax＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(12e，+∞) B．(1e，+∞) C．（1，+二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣3x）n展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x2的系数是．14．若实数x，y满足约束条件x-2y≥2x+y≤3y≥-1，则z＝2x+y的最大值是15．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，过F1且倾斜角为30°的直线l1与过F2的直线l2交于P点，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝9016．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为255，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共7小题，每小题12分，共60分。17．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求函数f（x）的解析式与单调递减区间；（2）求函数f（x）在[0，π2]18．共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4．若从这些共享电动车中任意抽取3辆．（1）求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；（2）求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望．19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．在如图所示的“阳马”P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DA，点E是PA的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）若平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60°，求ADDC20．已知椭圆E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点M(1，32（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y＝kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x2+y2＝r2（r＞0）相切，求k的值．21．如图1．菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，DE⊥AB于E．将△AED沿DE翻折到△A'ED，使A'E⊥BE，如图2．（Ⅰ）求证：A'E⊥平面BCDE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣A'BD的体积；（Ⅲ）在线段A'D上是否存在一点F，使EF∥平面A'BC？若存在，求DFFA'22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2（a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有最大值M，且M＞a﹣4，求实数a的取值范围．23．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，直线y（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，且定点Q(0，-12（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]24．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+2cosαy=-1+2sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设点M（1，0），若曲线C1，C2相交于A，B两点，求1|MA|[选修4-5：不等式选讲]25．已知函数f（x）＝2|x﹣1|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≤6﹣x；（2）设f（x）的最小值为M，实数a，b满足a+2b＝M，求证：a2+b2+2b≥4．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1．已知集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≥6}，则?AB＝（）A．{x|x≤3} B．{x|3＜x＜6} C．{x|3≤x≤6} D．{x|x＞6}选：B．2．i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．选：C．3．已知向量a→=(λ，2)A．5 B．6 C．41 D．4选：A．4．已知命题p：?x∈N，x2＜2x；命题q：?x∈R，sinx+cosx＞1，下列命题中为假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∧q C．（￢p）∨（?q） D．p∨（￢q）选：D．5．sin(-A．-14 B．-12 C．1选：A．6．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α∥β，l∥α，则l∥β D．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β选：B．7．已知数列{an}满足点（n，an）在直线4x﹣y+2＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝（）A．2（4n﹣1） B．6×4n C．4n2+8n D．2n2+4n选：D．8．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）A．k≤3 B．k≤4 C．k≤5 D．k≤6选：B．9．已知数列{an+2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，则a6＝（）A．1984 B．1920 C．992 D．960选：A．10．已知函数f（x）＝﹣x|x|，且f（m+2）+f（2m﹣1）＜0，则实数m的取值范围为（）A．(-∞，-13) B．（﹣∞，3） C．（3，+选：D．11．阿波罗尼斯是古希腊着名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ＞0，且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是着名的阿波罗尼斯圆．若点C到A（﹣1，0），B（1，0）的距离之比为3，则点C到直线x﹣2y+8＝0的距离的最小值为（）A．25-3 B．5-3 C．选：A．12．不等式aeax＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(12e，+∞) B．(1e，+∞) C．（1，+选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣3x）n展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x2的系数是135．答案为：135．14．若实数x，y满足约束条件x-2y≥2x+y≤3y≥-1，则z＝2x+y的最大值是7答案为：7．15．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，过F1且倾斜角为30°的直线l1与过F2的直线l2交于P点，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90答案为：3-16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为255，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为6π答案为：6π．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共7小题，每小题12分，共60分。17．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求函数f（x）的解析式与单调递减区间；（2）求函数f（x）在[0，π2]解：（1）观察图象得：A＝2，令函数f（x）的周期为T，则T＝2×（3π8+π8）＝π，所以ω=2πT=2，由f（-π8）＝0得：2×（-π8）而|φ|＜π2，于是得k＝0，φ所以函数f（x）的解析式是f（x）＝2sin（2x+π由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ解得：kπ+π8≤x≤kπ+5π8所以f（x）的单调递减区间是[kπ+π8，kπ+5π8]（（2）由（1）知，当x∈[0，π2]时，π4≤2则当2x+π4=π2，即x=π8时f当2x+π4=5π4，即x=π2时，所以函数f（x）在[0，π2]上的值域是[-2，18．共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4．若从这些共享电动车中任意抽取3辆．（1）求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；（2）求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望．解：（1）取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率是C31?0.4?0.62＝（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.4），P（X＝0）=C30?0.40?0.63＝0.216，P（X＝1P（X＝2）=C32?0.42?0.61＝0.288，P（X＝3）=C33?0.43所以分布列为X0123P0.2160.4320.2880.064数学期望E（X）＝0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2．19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．在如图所示的“阳马”P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DA，点E是PA的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）若平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60°，求ADDC解：（1）证明：∵侧棱PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，∵ABCD是矩形，∴AB⊥AD，PD∩DA＝D，∴AB⊥平面PDA，ED?平面PDA，∴AB⊥ED，∵E是PA的中点，且PD＝DA，∴ED⊥PA，∴ED⊥平面PAB，∴ED⊥PB，∵EF⊥PB，EF∩ED＝E，∴PB⊥平面EFD．（2）如图，在平面PAB内，延长BA，交FE于点G，连接DG，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线，由（1）知PB⊥平面DEF，∴PB⊥DG，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DG，∵PD∩PB＝P，∴DG⊥平面PBD，∴∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠BDF=π设PD＝DA＝1，AB＝λ，∴BD=1+在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF∴tanπ3=tan∠DPF=BD∴ADAB∴当平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60°时，ADDC20．已知椭圆E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点M(1，32（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y＝kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x2+y2＝r2（r＞0）相切，求k的值．解：（1）抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），则椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），即c＝1，点M(1，32由椭圆的定义可得2a==52即a＝2，b=a则椭圆方程为x24（2）由P在x轴上，直线PA，PB均与圆x2+y2＝r2（r＞0）相切，可得kPA+kPB＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1x即有x1y2+4y2+x2y1+4y1＝0，由y1＝kx1+1，y2＝kx2+1，可得2kx1x2+（x1+x2）（4k+1）+8＝0，①由直线y＝kx+1代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，判别式Δ＝64k2+32（3+4k2）＞0显然成立，x1+x2=-8k3+4k2，x1代入①，可得2k?（-83+4k2）+（-8k3+4k2）（解得k＝1．21．如图1．菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，DE⊥AB于E．将△AED沿DE翻折到△A'ED，使A'E⊥BE，如图2．（Ⅰ）求证：A'E⊥平面BCDE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣A'BD的体积；（Ⅲ）在线段A'D上是否存在一点F，使EF∥平面A'BC？若存在，求DFFA'解：（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵DE⊥AB，∴DE⊥AE，∴A′E⊥DE，∵A′E⊥BE，DE∩BE＝E，∴A'E⊥平面BCDE．（Ⅱ）解：VC﹣A′BD＝VA′﹣BCD，由（Ⅰ）知A′E⊥平面BCDE，∵在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，∴△ABD，△BCD都是边长为4的等边三角形，∴S△BCD=1∵DE⊥AB于E，∴E为AB中点，AE＝EB＝2，∴三棱锥A′﹣BCD中，高A′E＝2，∴三棱锥C﹣A'BD的体积为：VC﹣A′BD＝VA′﹣BCD=1（Ⅲ）解：在线段A'D上存在一点F，使EF∥平面A'BC．理由如下：分别取A′D，A′C的中点F，M，连结EF，FM，BM，∵FM为△A′DC的中位线，∴FM∥DC，且FM=1在菱形ABCD中，EB∥DC，且EB=1∴FM∥EB，且FM＝EB，∴四边形EBMF是平行四边形，∴EF∥BM，∵EF?平面A′BC，BM?平面A′BC，∴EF∥平面A′BC，∵F为A′D中点，∴DFFA'=22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2（a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有最大值M，且M＞a﹣4，求实数a的取值范围．解：（1）f'(x)=1x当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，易得，当0＜x＜1a，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1a，f′（故函数的单调递增区间（0，1a），单调递减区间为（1综上，a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，函数的单调递增区间（0，1a），单调递减区间为（1（2）由（1）知，a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数没有最大值，当a＞0时，函数的单调递增区间（0，1a），单调递减区间为（1函数的最大值M＝f（1a）＝﹣lna﹣3＞a﹣4即lna+a+1＜0，令g（a）＝lna+a+1，a＞0，则g（a）在a＞0时单调递增且g（1）＝0，所以0＜a＜1，故a的取值范围为（0，a）．23．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，直线y（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，且定点Q(0，-12解：（Ⅰ）由|PA→+PB→|=4即2|PO→|由e=ca=32，所以c=则椭圆C的方程为x2（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立y=kx+mx24+y2=1，整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4则Δ＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，即4k2＞m2﹣1，且x1+x2=-8km又设MN中点D的坐标为（xD，yD），因为|MQ→|=|NQ→|，所以又xD=x1+x22=-4km4k所以6m﹣1＝4k2，故6m﹣1＞0，且6m﹣1＞m2﹣1，故16＜m＜∴m的取值范围（16，6（二）选考