平面向量知识点总结(精华)（2022年-2023年）

平面色量基础胆识复习

必修4平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.

向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可

以平移.

举例1已知，则把向量按向量平移后得到的

向量是结臬:如⑵题…，》

(3,0)

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,规定：零向量的

方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与钿共

线的单位向量是±S);

lAffl

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等

向量有传递性；

5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量,、

人叫做平行向量，记作：^b，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一■定是共线向量，但共线向量不一■定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向

量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！(因为有);

0

④三点共线共线.

A.BCO48MC

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.。的相反向

量记作十

举例2如下列命题：(1)若比曲，则小

Ia\—\0a=b

(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.

(3)若，则是平行四边形.

(4)若是平行四边形，则

〕；＜1ABCD,AB=DC

(5)若，，则.

a=bb=ca=c

(6)若，则.其中正确的是结果：(4)

aI/bb//ca!!c---------------------------

⑸

二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如.，注意起点在前，

1

_平面向量基础知识复习

终点在后;

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如.，人,等；

3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、》轴方向相同

的两个单位向量,•为基底，则平面内的任一向量.可表示为

a=xi+yj=（x,y）»称（x,y）为向量a的圣标,（》,）,）叫撷向量。的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐

标相同.

三、平面向量的基本定理

定理设入同一平面内的一组基底向量，&是该平面内任一向量,

cpc2

则存在唯一实数对（九,九），使〃=九0+九e,

I921122

（1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，

a=Ae+Xea

I122

且表达式唯一；反之，是对向量的合成.

a

（3）向量的正交分解：当时，就说..为对向量“的正交

ere2a=＞.e^e°

分解.22

举例3⑴若…），…，…，则结果:

L.上

22

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

B

e=（o.o）'e=（『2）B.c.

A.e=(-l,2)e=(5,7)e=(3,5)(6,10)

।i

D-），看92

1（3）*2分别是

的边，上的中线，且，则

AD.BE/\AB（BCACAD=aBE=b

S,可用向量，表示为.边之果11m细

（4严已知币Ki贝I的

LABCDBCCD=2DBCD=rAB+sACr+s=

值是结果：0.

四、实数与向量的积

实数九与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度和方向规定如

下：.

（1）模：।A_a|=|九|♦|a|；

3（方向：当九＞0时，解的方向与a的方向相同，当九＜0时，

熊的方向与a的方向相反,当九=0时，九。=0，

注意：心0，

2

_______________.._平面向量基础知识复习

五、平面向量的数量积

1.两个向量的夹角：对于非零向量”匕，作0A=q，0B=b，则把

ZAOB=e（Owek7C）称为向重a，0的夹角•

当0=0时,，a，b同向；当0=兀时，a，b反向；当0=兀万时，。垂

直.2

2.平面向量的数量积：如果两个非零向量〃它们的夹角为e，

我们把数量MblcosO叫做a与。的数量积（或内积或点积），记作：

a,b，即0b=|a|.|O|cos。,

规定：零向量与任一向量的数量积是0.

注：数量积是一个实数,不再是一^个向量.

举例4（1）-BC中,IABH'冈=4'的=5,则AB-BC=-------------------

结果:

-《2）已知(,与的夹角为兀，则

nc=a+kb‘d=a-b7cdk

力司[-4

结果：1.

（3）已知,,J贝I1...g吉果：J".

\a\=2|p|=5a-b=-3Ia+b\=-------------'

（4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为

a,h\a\=\b\=\a-b\aa+b

结果：•

’30

3.向量b在向量”上的投影：Iacos。，它是一个实数，但不一定大

于0.

举例5已知，，且，则向量在向量上的投影为

|止3|。|=5a-b=\2ab

•名吉果：u..

5

4.9的几何意义：数量积a/等于“的模|a|与人在a上的投影的积.

5.向量数量积的性质：设两个非零向量.，b，其夹角为0,则：

（1）a_Lboa-b-0；

（2）当〃、同向时，a-b=\a\-\b\，特别地，Q2=a-a=\a\2<^>\a\=yfaz；

a.gal.附是a、〃同向的充要分条件；

当a、b/向时,—=_|3.|加，a/=_|a|.|勿是4、b反向的充要分条

件；

当9为锐角时，词>0,且a、b不同向，a/〉0是0为锐角的必要不

充分条件；

当8为钝角时，a-b<09且a、〃不反向；a-b<0是0为钝角的必要不

充分条件.

3

—31---------非零向量，夹角慧辩弊裂器习ea.b;④---------------

abcos=———a-b<\a\\b\

Iallb\

举例6(1)已知一，，，如果与的夹角为锐角，则：的

a=(A,2A)力=(342*abA

取值范围是.结果：』2或入>0且入心；

33

(2)已知的面积为，且，若।工，则，夹角的

△。尸。SOFFQ1=-<s<-^OF'FQe

取值范围是_________.结果：隹口；

(3)已知，，直明足(其中).

a=(cosx,sinx)b=(cosy,siny)|ka+b\=?»fa-kb\%>0

①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角八的大小.

结果：①人21；②霓小值为一。・°°

a.b=­(^>0)-=60

六、向量的运算

1.几何运算

(1)向量加法

运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.

运算形式：若AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与。的和，即

a+b=ABB€AC

作图：略.

注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.

(2)向量的减法

运算法则：三角形法则.

运算形式：若"=a，ACi，则a-任AB-AC=CA，即由减向量的终

点指向被减向量的终点.

作图：略.

注：减向量与被减向量的起点相同.

举例7(1)化简：①；©；③

结―果—A：B+出斥+CD=；万―----7------③；AB-AD-DC=

(AB-CD)-(AC-BD)=i.ADCB0

(2)若正方形4B8的边长为1,AB“四,贝ij

AC=c9|a+b+c|=

结果：，「

'(3)若是所在平面内一•点，且满足।।।则

OXABC\OB-OC\=\OB+OC-2OA\

△ABC的形状为.结果：直角三角形；

(4)若为的边的中点，所在平面内有一点，满足

DAABC]，，维，AA5C-pP

设则.的梅为•结果：2；

尸A+8尸+C尸=0，认।制厂人大______

4

(5)若点是的外心，且，则的内角为

O/XABCOA+OB+CO=0AA5CC

5

平面向量基础知识复习

结果:

2(1)向量的加b={x,y),则

22，

9

a-b^(xt-x2,yt-y2)

4+力=(玉+%2，〉］+%)

举例8(1)已知点,,，若贝i］当

4(2,3)8(5,4)，C(7,10)'AP=AB+^AC^GR)''

时，点在第一、三象限的角平分线上.结桌：L;

九=-P

2

(2)已知A(2,3)9B(|,4)'且TB=(sinx,cosy)'则.结

十)'

222

果":江或^；

6~2

(3)已知作用在点的三个力…则合力

F=(2,-5)

的终点坐标是.结果：’.

F=F+F+F____________(9,1)

2)实数与向量的积：股=Mx,y)=(入x,入y)•

出若AQ”)，叫Q)，则.二(；2一和％.；)，即一个向量的坐标等

于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

举例9设，且I,，则的坐标分别是

A(2,3)B(-l,5)AC=~ABAD=3ABC、D

结果:11•

(时,(-7,9)

@平面向量数量积:a-b=xjf2+

举例10已知向量

a=(sinx,cosx)'Z?=(sinx,sinx)'c=(-l,0)

(1)若r求向量八的夹角;

X

(2)若『至口，函数w,的最大值为？求大的值•结果:

Xe

8、4

⑴15。⑵i或r.

向量的模:G=|a\2=X2+yi<z>|a\=y+y2・

举例11已知一均为单位向量，它们的夹角为，那么

a,b60\a+3b\=

结果：

*13

⑹两点间的距离：若A(%，x)，8(x,,%)，则|A8|=Ja,_g2+(y三y*，

举例12如图，在平面斜坐标系-中；，平面上任一点关

xOyZxOy=60P

于斜坐标系

的斜坐标是这样定义的：若，其中分为伪与.轴、轴同

xv

OP=xe+yee,e工y

方向的单’2，2

位向量，则点斜坐标为.

P(乂y),」

(1)若点的斜坐标为，求到的距离，

P*(2,-2)PO\PO\

(2)求以“为圆心，1为半径的圆在斜坐标系。中的方程.

结果：(1)2；(2).一

X2+y2+xy-1=0

6

平面向量基础知识复习

七、向量的运算律

1.交换律:a+b=b+a''(pt。)二(九日)。'a・b=b.a；

2.结合律：a+b+c=(a+/?)+c?a-b-c=a-(/?+c)9@a)b=Ma・b)=a・6b)；

3.分配律:(九+日)。=>Ma+b)=九〃+九(a+b)・c=a・c+b・c*

举例13给出下列命题：①；②③

a-(b-c)=a-b-a-ca-(b-c)=(a'b)-c

(a-b)2=\a|-41a||b[+1bh尸x“»尸、尸x

④右，则或；⑤右则；⑥；⑦〃/⑧

〃.b_

a-b=0a=0Z>=0ab=c-ba=c|a|2=ai=~

；⑨“2n”

(ab)2=aib2(a-b)2=ai-2a-b+bi

其中正确的是.结果：①⑥⑨.

说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一

个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时

取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不

能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？

a•S•c）工（。•6）•c

八、向量平行（共线）的充要条件

a//boa^b<=>(a-b)2=(|a\\b\)2oxy-yx=0•

举例14⑴若向量…V二4；当“_____时，“与〃共线且方向

相同.结果：2.

,,

(2)已知.=(]]),b=qX)，u=a+2hv=2a+h且W/v'x=____________"

结果：4.

(3)设，，，则时，共线.结

以(&,12)PB=(4,5)PC=(10,k)k=_____________A,aC

果：，或11.

高量垂直的充要条件

九、

a±boa-b=0<»|a+/?|=|a-b\oxx+yy=0•

…•12"

特别地(AB+ACAB_AC)

,11A切\AC\I[\AB\|AC\\

举例idd)已知'',，若，则.结果：

0A=(-1,2)OB=(3,m)OALOBrn=------------------------

3；

m=~T

“’2

（2）以原点。和A*）为两个顶点作等腰直角三角形as，〃=9o。，则

点的坐标是.结果：（1,3）或（3,-1）；

B

（3）已知向量也”，且由“，贝L的坐标是.结果：

或.

（b,-a）（一仇a）

十、线段的定比分点

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平面向量基础知识复习

i1.定义:设点P是直线P,上异于《、巧的任意一点，若端温匕，

实数入'使ppCPP,则晏数入叫付点尸分有向线段行

P点叫做有向线段看的以定比为九的定比分点.12

2.九的符号与分点尸的位置之间的关系

内分线段”，即点「在线段”上=入〉。；

(2)「外分线段牝时，①点「在线段标的延长线上。九<一1，②

点尸在线段形的反向症K线上OTC一

注：若点。分有向线段”所成的比为则点。分有向线段”所成

的比为..

举例16若点分所成的比为3,则分所成的比为

PAB-ABP_____________

4

结果：2-

3.线段的定比分点坐标公式：

设尸(X,y)，P(x,y),点P(x,y)分有向线段PP所成的比为九，则定比

III22212

Y一X|+Xx.

分点坐标公式为］1+厂(心_1).

Iy=>,+也

「1+入,

^r_X+X

特别地，当入=1时，就得到线段出的中点坐标公式Iv一T’

ly=)；+)’一

r丁

说明：G)在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、

(x,y)(%,y)

八…的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.

*二(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和

终点，并根据这些点确定对应的定比.

举例17(1)若，：且,,则点的坐标为

〃(一3,-2)N(6,—l)MP=--MNP-----------------------

3

结果：(_6一)；

(2)已知，，直线|与线段交于，且，则

4(劣0)8(3,2+a)y=-axABMAM=2MB

a_.结果：2或T.

工一、平移公式

如果点p(x,y)按向量&=仇外平移至P(xJ)，则『=x+/!,；曲线

f(x,y)=0按向量a=仇女)平移得曲线/(尤-九y-幻=0•

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说明：Q)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？

(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

举例18(1)按向量把…平移到“则按向量把点平

a(2,-3)(1,-2)a(-7,2)

移到点.结果：…；

(2)函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是

y=sin2r

，贝I—结果:

y=cos21a=---------(半)

十二、向量中一些常用的结论

1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;

:模