高三数学解答题难题突破 超越方程反解难巧妙构造变简单

2121超越方程解难巧妙构变简单【型述导研超方超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如

x

，xlnxx

方程的根的问题时我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，定函数图象与轴交点情况求解．【例引例1．已知函数

f

在

处取得极小值．（）实数a的；（2）设

数

F

的图象交轴于两点C122

，设线段CD的中点为N

，试问s是否为F

的根？说明理由．【思路引导】（）求导数，再根据f

，解得

，最后列表验证2）即研究

F

0

是否成立，因为

F

1x1

，利用

xlx111

2

x2

得x2

xx2

所以

F

22

42x

=0化

2lntt

中

xtx2

，最后利用导数研究函数

u

2

t

单调性，确定方程解的情况

2222（）（）函数

．∵函数

图象与

轴交于两个不同的点

C12

x1

∴x1

，x

．两式相减得

x2

2x

F

x

．F

x2xxx211

．下解

lnx2x2

x2

x2．lnxx2

．令，∵

0xx，，ln12

2t

．

2020令

u

2t

，

4t

t

．又

，∴

，∴

，从而知

lnx22

，故F

，F2

不成立．故不是F的根．例2．设函数f

（）a

时，求函数

f

的单调区间；（）

x

(0

，其图象上任意一点

Py0

处切线的斜率k恒成立，求实数

的取值范围．（）a0,

时，方程

f

在区间

内有唯一实数解，求实数

m

的取值范围．【思路引导】（）求导数

f'

然后在函数的定义域内解不等式

f'

和f'

的区间为单调增区间，

f'

的区间为单调减区间先构造函数

再由以其图象上任意一点

P0

为切点的切线的斜率k

恒成立，知导函数k

恒成立，再转化为

x2

求解3）把握f

有唯一实数解，转化为m

lnx

有唯一实数解，再利用单调函数求解．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数

f

的单调性的步骤：①确定函数

f

的定义域；②对f

求导；③令

f'

，解不等式得的围就是递增区间；令

f'

，解不等式得的范围就是递减区间．例3．已知函数

（）（）论

的单调性；

（）关于的等式【思路引导】

的解集中有且只有两个整数，求实数的取范围．（1）出

，分两种情况讨论，分别令

得增区间，令

得减区间2），令

，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（）

当

时，

在

上单调递减

单调递增当

时，

在上单调递增，在（）题意

单调递减；，，令，，令

，则

，即

在

上单调递增．又

，

，存在唯一的

，使得

．当

，

在

单调递增；当

，

在

单调递减．，

，，且当

时，

，又

，

，．故要使不等式

解集中有且只有两个整数，的值范围应为

．【步练1．已知函数

f

x

（tRf

的导数为

f

．

（Ⅰ）若

2

是定义域内的增函数，求实数

t

的取值范围；（Ⅱ）若方程

f

x

f

x

x

2

有3个同的实数根，求实数

t

的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需

f

，即t

恒成立，求出

即可得结果）方程等价于tx

2

e，究函数x

e

2x

的单调性，结合图象可得结果．令

h

x．列表得：

1

0

0

增

极大值

减

极小值

增

xx由表可知当

时，

h

取得极大值

；当

时，

h

取得极小值

．又当

，x

，2x0，时h

．因此当

5时，h,2

3；当时，hx2

；当x时

因此实数t取值范围是e

．2．已知函数

f

32

23

的图象的一条切线为

轴1）求实数

的值2）令g

，若存在不相等的两个实数

x,x2

满足

12

，求证：

x12

．【思路引导】（对数求导由可设切坐标为

0

由函数和切线的斜率为

可得方程组解方程组得

值；23（题x3

构造去绝对值后的函数用导数与函数单调性的关系，判断

的单调性，再构造函数

，利用导数判断出

G

的单调性，最后可令x

，利用

G

xxfxxffxxhg

且

g

上单调递减，在

，当

x

时，

x

，记

x

x

x

f

x

，记函数

yf

的导函数为

yf

，则G

f

3．已知函数

f

（

．（）

f

的图象在

处的切线恰好也是

①求实数a的；②若方程

f

在间

内有唯一实数解，求实数的值范围．（2）当

0

时，求证：对于区间

上的任意两个不相等的实

，

，都有f【思路引导】

成立．（先求函数

f

的图象在x处切线，

f

，

f'

因为切点为

，所以切线方程为y2

，于是问题转化为直线与数g

图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程

mx在区间,

内有唯一实数解，参变量分离得

m

lnlnx设txx

，研究x

的单调性极转化为直线y与y有且只有一个交点）当

时，

x

在1则1

g12

于问题转化为

f2

21

，构造函数

，通过函数

的值范围．∵

lnxx

，∴

e，t'

，函数单调递增，

，

t'

，函数单调递减，∵

t

，t

，且

x

，∴

11,1

；证明）妨设

1，f112

12

，∴f2

可化为

f2

1

∴设

f2211

2

，∴

22∴

F'

2

2

恒成立，即

a

2x

在∵

2x

22

，，从而，当

时，命题成立．4．已知函数

f

．（）

，①记

；②若方程

有两个不同实根，求实数的值范围；（）在

上存在一点

使0

成立，求实数

的取值范围．【思路引导】（）对

代入可得

的值；②对

进行二次求导，判断

的单调性得其符号，从而可得

的单调性，结合图象的大致形状可得

的取值范围2）将题意转化

m00

m，令hxxx

，题意等价于

上的最小值小于0，对

进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．

0000（）题可得

m00

，∴

lnx

1x

x

1x

，∴

mxlnxxx00

，令h

lnxx

，则

h

上的最小值小于0，又

，1，当

时即m，h

上递减，所以

e2e

；2，当

即

在

解m

；3，当

m，即m

，此时要求

，所以

ln

，所以

不成立，综上

或

m

e2e

．点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在转化为求函数的最值问题确求导是解的关键确求导的基础上用数与

0

的关系得到函数的单调区间，

也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．5．已知函数f

．（）确定的取值范，使得函数

f

上为单调函数；（）为自然数，则t取些时，方程

f求出相应的实数z的值范围．【思路引导】（）求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据子得t取值范围）合三次函数图像确定t的值围：当t,且tN时方程能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数

的满足的条件：

的取值范围．只需满足

因为f

f

，且

f

，因而

f

，

xxxx所以

f

，即

，综上所述，当t,且tN时满足题意，时实数

的取值范围是

．6．已知函数fg

，直线y是数fx2

的一条切线．（）a的；（）任意的

x

，都存在

x2

f1

，求的值范围；（）知方程

f

有两个根

xx(x)若212

c

，求证

b

．【思路引导】（1）对函数

f

求导，

f'

1axax

，设直线y

与函数

f

相切与点0

0)

，根据导数的几何意义可得，

0x{0lnx0

x，解得{，出a

；（）任意的

x

e]

，都存在

2

f1

，只需要

f1

的值域是

g2

值域的子集，利用导数的方法分别求

f12

的值域，即可求出

的取值范围；（3）据意得{

2x1

,

两

式

相

减

得，

lnxxc11x22

，

所

以b

2

l

xnlx

xx

x1x1x

xx1x2

，

则

t则

，令ht2lnt

，对

h

求导，判断

h

的单调，证明b．

(2)1f

x

以

12f'(1，]时，

f在

上单调递减，所以当

，

e]

时，

fmin

f

，fmin

11f1,g2x22

2

，当

x'

，所以

调递增，所以当

xmin

max

1，依题意得2

2,，以{4171

e，解得2

．(3)

依题意得

{

2xcx

,两式相减得ln

1

，所以x2112

，

方

程

1

可

转

化

为7．已知函数

（为自对数的底数，

，．（）

，

，求

在

上的最大值

的表达式；（）

时，方程

在

上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；

（），，求使【思路引导】

的图象恒在

图象上方的最大正整数．(1)先求函数导数，根据定义域

以及

取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的值范围；(3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问（利用导数求差函数最小值研究小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．试题解析：(1)

时，

,；①当

时，

，

在

上为增函数，此时

，②当故③当

在

时，，上