浙江省2023年中考数学专题检测33锐角三角函数和解直角三角形

PAGEPAGE433锐角三角函数和解直角三角形一、选择题1．∠A是锐角，且sinA＝eq\f(\r(3),2)，那么∠A等于(C)A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】特殊角度的三角函数要牢记：sinA＝eq\f(\r(3),2)，∠A＝60°.2．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，以下用线段比表示cosα的值，错误的选项是(C)A.eq\f(BD,BC)B.eq\f(BC,AB)C.eq\f(AD,AC)D.eq\f(CD,AC)3．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq\r(3)，堤高BC＝10m，那么坡面AB的长度是(C)A．15mB．20eq\r(3)mC．20mD．10eq\r(3)m【解析】坡面的垂直高度与水平宽度的比叫坡比或坡度．即eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,\r(3)).而BC＝10m，那么AC＝10eq\r(3)m，AB＝20m.4．三角函数sin50°，cos50°，tan50°的大小关系是(C)A．sin50°＞cos50°＞tan50°B．tan50°＞cos50°＞sin50°C．tan50°＞sin50°＞cos50°D．cos50°＞tan50°＞sin50°5．如图，在以下网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，那么∠AOB的正弦值是(D)A.eq\f(3,10)eq\r(10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(10),10),第5题图),第6题图)6．如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，sinA＝eq\f(2,3)，那么弦AB的长为(D)A.eq\f(2\r(5),3)B.eq\f(2\r(13),3)C．4D.eq\f(4\r(5),3)【解析】作OM垂直AB于M，sinA＝eq\f(OM,OA)＝eq\f(OM,2)＝eq\f(2,3)，∴OM＝eq\f(4,3)，AM＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\r(4－\f(16,9))＝eq\f(2\r(5),3)，∴AB＝2AM＝eq\f(4\r(5),3).二、填空题7．计算：eq\r(2)sin45°＋6tan30°－2cos30°的值是__eq\r(3)＋1__．【解析】原式＝1＋2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3)＋1.8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出以下结论：①sinA＝eq\f(\r(3),2)；②cosB＝eq\f(1,2)；③tanA＝eq\f(\r(3),3)；④tanB＝eq\r(3).其中正确的选项是__②③④__．(填序号)9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝eq\f(3,4)，那么BC的长为__2eq\r(7)__．【解析】由AB＝8，cosA＝eq\f(3,4)，AC＝AB·cosA＝8×eq\f(3,4)＝6，可求出BC.,第9题图),第10题图)10．如图，两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，假设把甲杯中的液体全部倒入乙杯，那么乙杯中的液面与图中点P的距离是__6__cm.【解析】把甲杯中的液体全部倒入乙杯，设此时乙杯中的液面高xcm.∵甲液体的体积等于液体在乙中的体积，∴即π×(2eq\r(3))2×16＝π×(4eq\r(3))2×x，解得x＝4，在直角三角形中，一直角边为4eq\r(3)，斜边即是8eq\r(3)，∴另一直角边就是12，∴根据三角形的面积公式可知直角三角形的斜边上的高是6，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16－6－4＝6(cm)．11．如图，方格纸中有三个格点A，B，C，那么sin∠ABC＝__eq\f(9\r(145),145)__.【解析】∵S△ABC＝20－eq\f(1,2)×2×5－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×1×4＝9，S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×AD＝9，∴eq\f(1,2)×2eq\r(5)AD＝9，解得AD＝eq\f(9\r(5),5)，故sin∠ABC＝eq\f(\f(9\r(5),5),\r(29))＝eq\f(9\r(145),145).三、解答题12．计算：|－2|＋2sin30°－(－eq\r(3))2＋(tan45°)－1.解：原式＝2＋2×eq\f(1,2)－3＋1－1＝113．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，试求CD的长．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2)，∠ABC＝45°.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°.∴BM＝BC×sin45°＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12,CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°.∴MD＝BM÷tan60°＝4eq\r(3).∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).14．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时．如图1所示，由题得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60°，∴BD＝6，AD＝6eq\r(3).∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14x))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x＋6))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(3)))2，解得x1＝2，x2＝－eq\f(3,4)(不合题意，舍去)，那么巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时15．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶eq\r(3).(1)求加固后坝底增加的宽度AF；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果保存根号)解：(1)分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB交AB于点G，H.∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行EG.故四边形EGHD是矩形．∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝10÷tan45°＝10(米)．在Rt△FGE中，i＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(EG