云南省昆明市某中学教育集团2022届高二升高三诊断性考试(期末考试)数学(理)试题

绝密＊启用前

云南省昆明市第一中学教育集团

2020-2021学年2022届高二升高三诊断性考试（期末考试）

数学（理）试题

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）．

1.已知集合A={O,L2}，集合B={xlx-l~O}，则AnB的真子集个数为（)

A.1B.2C.3D.4

2.若~=2+i，则复数z=()

1-i

A.1-iB.2-iC.3-2iD.3-i

3.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都

可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1"问题．它是1742

年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫

猜想的证明中都做出了相当好的成绩．若将8拆成两个正整数的和，则拆成的

和式中，加数全部为质数的概率为()

21-441

ABc一D一

.7一..7.2

1

4.已知sinx-cosx＝一，则sin2.x=()

2

3311

A.B.C.--

-4--42D．一2

5.一个体积为二12的正三尸棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高为（)

勹i

俯视图

硒

AB.2森C.花D.2

3

6.已知M为直线y=x+l上的动点，N为圆x2+y2+2.x+4y+4=0上的动点，则IMNl

的最小值是（)

A.丑B.2－拉C.1D.'1/2-1

lnlx+ll,,

7.函数f(x)=x+1)的大致图象为（

y

III^

A.B.

C.D.

X

8.设数列{an}的前n项和为S,？，若2Sn=Sn+1+S11+2(nEN勹，且a1=I,a2=2,则

Ss=()

A.-11B.-9C.9D.11

9.已知正四棱锥S-ABCD的所有顶点都在球0的球面上，且SA=,J飞，AB=2,则

球0的表面积为()

A.3兀B.9亢C.12nD.16n

10.在空间直角坐标系0-入:yz中，经过点P(xo,yo,zo)，且法向量为点＝（A,B,C)

的平面方程为A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0,经过点PCxo,Yo，如

且一个方向向量为;=(µ,V,(I))(µV(I)-/=o:的直线l方程为

二＝二＝二红．已知：在空间直角坐标系0-xyz中，平面a的方程为

µV(I)

x+2y+3z=O,经过P(O,O,0)的直线l方程为玉~=z,则直线l与平面a所

23

成角的正弦值为（)

A.-5B.2mC.对D.且

771414

22

11.已知双曲线C：王＿立＿＝1(a>O,b>O)的左、右焦点分别为F1(-C,0)'

22

ab

F2(c,0),P是双曲线C右支上一点，且IPF2l=IF1F2|．若直线P凡与圆x2+y2

=a2相切，则双曲线的离心率为（)

45

A.3B.-3C.2D.3

12.已知定义在R上的函数y=J(x)满足：函数y=J(x)-2021为奇函数，且

对XE(-00,十oo),2f(x)>J(x)恒成立(f(x)是函数J(x)的导函数），

则不等式f(~)<2021ex的解集为（)

2

A.(0,+00)B.(0,2021)

C.(l,2021)D.(-2021,2021)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.糖水不等式：上＜上竺(a>b>O)成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等

aa+c

1_/1+c

式：－＜——(c=f.-2)不成立的c的值可以是（只需填满足题意的一个

2·2+c

值即可）．

14.在丛ABC中，C=90°,飞和＝5,|石|＝4,则忒·丽＝.

2TT2TT

15.已知f(x)=sin（一x-f7）和g(x)=cos（一x七一），则函数f(x)的图象与g(x)

3633

的图象的对称轴之间的最短距离为

16.设抛物线C：沪＝2px(p>O)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点，以F

为圆心，FA为半径的圆交l千B,D两点，若LFBD=30°,6.ABD的面积为

石，则抛物线C的方程为

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知.6.ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且3cosB(acosB+bcosA)

=c.

(1)求cosB;

(2)若AB=2,sinA=sinB,求6.ABC的面积．

18.某科技公司对其主推产品在过去5个月的月科技投入x八百万元）和相应的销

售额y/（百万元）进行了统计，其中i=l,2,3,4,5,对所得数据进行整理，

绘制散点图并计算出一些统计量如下：

55555

区xi=6.8,区wi=10.3,Lyi=15.8,Lxiyi=22.76,汇wiyi=34.15,

i=li=li=ll.i=li=1

55

i(xi云）2=0.46,i(wi元）2=3.56,其中wi=xf,i=l,2,3,4,5.

i=li=l

(1)根据散点图判断，y=bx+a与y=c:>?+d哪一个适宜作为月销售额y，关千月

科技投入Xi的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据(1)的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据

此估计月科技投入300万元时的月销售额．

^^

附：对于一组数据(sl,tl),（s2，心，…，（s,l,切，其回归直线

t=a+13s

n

汇(si-s)(ti-t)

--;;--i=l

的斜率和截距的最小二乘估计分别为B-

n-2'a=i-13;·

L(si-s)

i=l

＂月蚋售·yf百万元.

•

3..

2

。月科技役人瓦厄万元

2

0.5I.S

19.已知数列{a,1}各项均为正数，a1=1,a2=3,且an+3-a11+2=a11+I-an对任意nEN*

恒成立．

(1)若a3=6，求a5的值；

(2)若a3=5,CD证明：数列｛心｝是等差数列；＠在数列{an}中，若a2,am,

ak(m,kEN*,2<rn<k)构成等比数列求符合条件的一组(m,k)的值（满足

题意的一组值即可），说明理由．

20.已知点C在圆(x+1)2+y2=16上，A,B的坐标分别为(-L0),(L0),

线段BC的垂直平分线交线段AC于点M

(1)求点M的轨迹E的方程；

(2)设圆f+y2＝户与点M的轨迹E交千不同的四个点D,E,F,G，求四边形DEFG

的面积的最大值及相应的四个点的坐标．

21.如图在四棱锥