高三数学第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案(人教版A版)

2010年高三第一轮复习直线与圆锥曲线的地点关系教课设计（人教版A版）教课目的：1.掌握直线与圆锥曲线的地点关系的判断方法。会运用数形联合的思想将交点问题转变为方程根的问题来研究能解决直线与圆锥曲线订交所得的弦的有关问题教课要点：直线与椭圆、双曲线、抛物线的地点关系。教课难点：①弦长问题②中点弦问题教课过程：直线与圆锥曲线的地点关系几何角度：直线与圆锥曲线的地点关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点.1）相离2）相切3）订交无公共点一个公共点两个不一样公共点代数角度：直线与圆锥曲线的地点关系的研究方法可经过代数方法即解方程组的方法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是同样的.设直线L的方程为：AxByC0圆锥曲线C的方程为：F(x,y)0AxByC0）获得一个对于变量x（或变量y）联立：0消y（也可消xF(x,y)的一元二次方程：ax2bxc0（1）当a≠0时，则有下表中的结论：（方程的鉴别式△=b24ac）方程的鉴别式△方程组的解的个数交点个数地点关系△﹤000相离△=011相切△﹥022订交2）当a=0时，即获得一个一次方程，则直线L与圆锥曲线订交，且只有一个交点。若C为双曲线，则直线L与双曲线的渐近线平行。若C为抛物线，则直线L与抛物线的对称轴平行或重合。即直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必需条件，但不是充分条件．（对于椭圆来说，这个方程二次项系数一般不为0，可是当直线与椭圆相切时，若已知直线过某点，则当点在椭圆外面时，切线有两条；当点在椭圆上时，切线有一条．）注意：直线与圆锥曲线地点关系问题①常利用数形联合方法解决。②转变为研究方程组解的问题。例1.直线L：y=kx+1,抛物线C:y24x，当k为什么值时L与C有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点。剖析：此题考察直线与圆锥曲线的地点关系，同时考察综合剖析问题的能力、数形联合的思想及分类议论思想。能够由直线L与抛物线C的方程联立方程组解的个数来解决。ykx12x2(2k4)x10①解：将L和C的方程联立2消去y得ky4x当k=0时，方程①只有一个解x1,此时y1.4∴直线

L与

C只有一个公共点（

1,1），此时直线4

L平行于抛物线的对称轴。当k≠0时，方程①是一个一元二次方程，△=(2k

4)2

4k

2

16k

16

16(k

1).（1）

当△＞0时，即

k﹤1且

k≠0时，L与

C有两个公共点，此时称直线

L与C订交;（2）当△=0时，即k=1时，L与C有一个公共点，此时称直线L与C相切；3）当△﹤0时，即k＞1时，L与C没有公共点，此时称直线L与C相离。综上所述，当k=1或k=0时，直线L与C有一个公共点；当k﹤1，且k≠0时，直线直线L与C有两个公共点；当k＞1时，直线L与C没有公共点。评论：当联立所得对于x的方程为二次方程时，才能用鉴别式判断其交点个数；当所得对于x的方程二次项系数带有字母时，应当进行议论。直线与圆锥曲线订交形成的弦长问题直线L的方程为:AxByC0圆锥曲线C的方程为：F(x,y)0与C有两个不一样的交点P1(x1,y1），P2(x2,y2），则（x1,y1），(x2,y2）是方程组AxByC0的两组解，方程组消元（消x或消y）后化成对于x（或F(x,y)0y）的一元二次方程ax2bxc0（a≠0）由根与系数的关系（韦达定理）有x1x2b，x1x2caa因此弦长P1P21k2x1x2(1k2)（x1x2)24x1x2或P1P211y2(11y2)24y1y2k2y1k2)（y1注：①当斜率k不存在时，可求出交出坐标，直接运算（利用轴上两点间的距离公式）②经过圆锥曲线的焦点的弦（也称焦点弦）的长度，应用圆锥曲线的定义，转变成两个焦半径之和，常常比用弦长公式简捷。如：已知过抛物线y22px(p＞0）的焦点的直线交抛物线于A,B两点，设A(x1,y1）B((x2,y2),则有ABx1x2p或利用性质：AB=2p（为直线AB的倾斜角）。sin2例2.已知椭圆：x2y21，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两96点，求弦AB的长.分析：a=3,b=1,c=22，则F（-22，0）。由题意知：l:y1(x22)与x2y24x2122x150。391联立消去y得：设A（x1,y1)、（x2,y2)，则x1,x2是上边方程的二实根，由违达定理，Bx1x232，x1x215，xMx1x232又因为A、B、F都是直线l上422的点，因此|AB|=11|x1x2|2(x1x2)24x1x2218152333评论：也可让学生利用“焦半径”公式计算。例3．已知抛物线方程为y22p(x1)(p0)，直线l:xym过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。分析：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|3.由距离公式|AB|=(x1x2)2(y1y2)2=112|y1y2|2|y1y2|,则有(y1y2)29.k2由xyp,122pyp20.2消去x,得yy22p(x1).进而(y1y2)2(y1y2)24y1y2即4p24p29因为p>0，解得p3.24评论：方程组有两组不一样实数解或一组实数解则订交；有两组同样实数解则相切；无实数解则相离。有关弦的中点问题求以某必定点为中点的圆锥曲线的弦的方程问题，有以下几种方法：1）将弦的两个端点代入圆锥曲线方程，两式相减，即可确立弦的斜率，而后能够利用点斜式写出弦的方程，这类方法叫做“点差法”;2）设弦的方程为点斜式，弦的方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）后获得对于x（或y）的一元二次方程，用根于系数的关系求出中点坐标，进而确立弦的斜率k，而后写出弦的方程;设弦的两个端点分别为（x1,y1），(x2,y2），则由这两点坐标分别知足曲线方程，又（x1x2,y1y2），为弦的中点，进而获得四个方程，由这四个22方程能够解出两个端点，从而求出弦的方程。例4.P(1,1)为椭圆x2y21内必定点，经过P引一弦，使此弦在P（1，1）42点被均分，求此弦所在的直线方程。剖析：可利用点斜式求出直线方程，要点是确立出直线的斜率。解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，因此设其方程为y1k(x1)，弦的两头点（x1,y1），(x2,y2）.y1k(x1)由x2y21消去y得42（2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0∴x1x24k(k1)又x1x22∴4k(k2k211)得12k212k21(x故弦所在的直线方程为y11)2即x2y30解法二：因为此弦所在直线的斜率存在，因此设斜率为k，且设弦的两头点221,x222坐标为（x1,y1），(x2,y2），则x1y1y21，两式相减得4242∵x1x22,y1y22∴x1x2(y1y2)0.2∴ky1y21.x1x22∴此弦所在的直线方程为y11(x1),即x2y30.2评论：解决弦的中点问题有两种方法：一是利用“待定系数法”联合韦达定理得出待定系数k，二是用“设而不求”法，利用端点的曲线上坐标知足方程，作差结构出中点坐标和斜率的关系，点差法在解决有关弦中点，弦所在直线的斜率，弦中点与原点连线斜率问题时能够简化运算过程。曲线上存在点对于直线对称的问题.例5.若抛物线yax21上总存在对于直线xy0对称的两点，求a的取值范围。分析：设抛物线上对于xy0对称的两点为A(x1,y1)，B((x2,y2），AB的方程可设为：yxm.∴yxmax2xm10yax21△=1+4a(m1)﹥0.①又x1x21，则AB中点横坐标为x中1，a2a由

y

x

得AB中点横坐标为

x中

m，yxm

2则m

1

，代入①中得

a﹥

3.a

4评论：已知圆锥曲线上存在对于某条直线对称的两点，求直线或圆锥曲线方程中某个参数的取值范围经常联立直线与圆锥曲线的方程用根与系数的关系和中点坐标公式解决。直线与圆锥曲线有关练习题：1、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[－1，1]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]222、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F7,0,直线yx1与其订交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是3A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.x2y21344352253、已知F1、F2是椭圆x2y21的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在AFB中，1691若两边之和是11,则第三边的长度是（）4、已知A、B是抛物线y22px(p0)上两点，若OAOB，且AOB的垂心恰巧是抛物线的焦点，则直线AB的方程为（）A.xpB.x3pC.x