《志鸿优化设计》2023届高考数学人教A版理科一轮复习题库：第八章立体几何8．6空间向量及其运算

第页课时作业41空间向量及其运算一、选择题1．在以下命题中：①假设向量a，b共线，那么向量a，b所在的直线平行；②假设向量a，b所在的直线为异面直线，那么向量a，b一定不共面；③假设三个向量a，b，c两两共面，那么向量a，b，c共面；④空间的三个向量a，b，c，那么对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．2．对空间任意一点O，假设eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，那么A，B，C，P四点()．A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．与O点的位置有关3．向量a＝(2，－3,5)与向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，λ，\f(15,2)))平行，那么λ＝()．A．eq\f(2,3) B．eq\f(9,2) C．－eq\f(9,2) D．－eq\f(2,3)4．如下图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．假设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，那么以下向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()．A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c5．假设A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值时，x的值为()．A．19 B．－eq\f(8,7) C．eq\f(8,7) D．eq\f(19,14)6．假设向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为eq\f(8,9)，那么λ等于()．A．2 B．－2 C．－2或eq\f(2,55) D．2或－eq\f(2,55)7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在eq\o(AC1,\s\up6(→))上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，那么|eq\o(MN,\s\up6(→))|为()．A.eq\f(\r(21),6)a B.eq\f(\r(6),6)a C.eq\f(\r(15),6)a D.eq\f(\r(15),3)a二、填空题8．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，那么|b－a|的最小值为__________．9．如下图，空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，假设eq\o(EF,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，那么λ＝__________.10．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，那么异面直线C1D与A1三、解答题11．空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).假设m(a＋b)＋n(a－b)与2a－b垂直，求m，n应满足的关系式．12．直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

参考答案一、选择题1．A解析：①中a与b所在的直线有可能重合；②中a与b中可能有一个为零向量；③中举反例“空间直角坐标系〞；④中前提必须是a，b，c不共面．2．B解析：eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴P点在平面ABC内．3．C解析：∵a∥b，∴b＝ma，m∈R.∴eq\f(2,3)＝eq\f(－3,λ)＝eq\f(5,\f(15,2)).∴λ＝－eq\f(9,2).4．A解析：如题图，＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(－)＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.5．C解析：＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，||＝eq\r((1－x)2＋(2x－3)2＋(－3x＋3)2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7)).当x＝eq\f(8,7)时，||取最小值．6．C解析：由得eq\f(8,9)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))，∴8eq\r(5＋λ2)＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝eq\f(2,55).7．A解析：以D为原点建立如下图的空间直角坐标系D­xyz，那么A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).设M(x，y，z)．∵点M在上且＝eq\f(1,2).∴(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，∴x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).∴||＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(21),6)a.二、填空题8．eq\f(3,5)eq\r(5)解析：∵b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(2,5)t＋\f(1,25)))＋eq\f(9,5)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋eq\f(9,5).∴当t＝eq\f(1,5)时，|b－a＝eq\f(9,5)，∴|b－a|最小＝eq\f(3\r(5),5).9．eq\f(1,2)解析：如下图，取AC的中点G，连接EG，GF，那么＝＋＝eq\f(1,2)(＋)．∴λ＝eq\f(1,2).10.eq\f(\r(15),15)解析：以A为原点建立空间直角坐标系，如图，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，那么＝(1，－1，－1)，＝(0,1，－2)，||＝eq\r(3)，||＝eq\r(5)，·＝1，cos〈，〉＝＝eq\f(\r(15),15)，故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为eq\f(\r(15),15).三、解答题11．解：∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，2a－b＝(3,2，－2)∴m(a＋b)＋n(a－b)＝(2n，m＋n,2m－2n)∵m(a＋b)＋n(a－b)与2a－b∴[m(a＋b)＋n(a－b)]·(2a－b＝3×2n＋2(m＋n)－2(2m－2n)＝12n－2∴m＝6n，即当m＝6n时，可使m(a＋b)＋n(a－b)与2a－b垂直12．(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋eq\f(1,2)c，＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴·＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)解：∵＝－a＋c，||＝eq\r(2)|a|，||＝eq\f(\r(5),