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十二章节多元正态分布参数估计与检验第1页/共20页第十二讲多元正态分布的参数估计与检验一、多元正态分布二、参数的估计三、参数的检验第2页/共20页如果维随机向量(随机变量)一、多元正态分布定义(联合)概率密度函数为则称随机向量为维正态随机向量，其中称为均值向量，为协方差矩阵(协差阵)，且对于一般情形仍可定义多维正记为。～态随机向量，当时，第3页/共20页若令多元正态分布的性质：（1）维正态分布由其均值向量和协方差阵唯一确定。（2）对于任一维向量及阶非负定矩阵，（3）设，是常数矩阵，～是维向量，～则必存在维正态随机向量。～有前面的密度表示，而当时，的分布是退化的正态分布。第4页/共20页（4）为维正态随机向量的充要条件为对任一维向量，

是一维正态随机变量。（5）设为多维正态随机向量，则与互不相关的充要条件是与

相互独立。注：

若，则称与互不相关。（6）设，～则的充要条件是存在矩阵使得其中。～第5页/共20页证明充分性由性质3立得。下证必要性。由于是秩为的非负定阵，则必存在正交矩阵使得其中。第6页/共20页令则有令第7页/共20页则由性质3知，～且,～由上式可得若记它是矩阵，即有第8页/共20页（7）若,～且，则～证明由可知是正定矩阵，所以存在且为对称矩阵，这样令则～且第9页/共20页由性质3知的每个分量服从标准正态分布，且相互独立，故分布的定义知～第10页/共20页二、参数的估计在此给出多元正态分布的参数和的估计。为简单计，仅考虑的情形。设是来自多元正态总体的简单样本，令——样本均值向量—样本离差阵第11页/共20页定理18.1则是设是来自多元正态总体的简单样本，且，的极大似然估计，是的极大似然估计。定理18.2则是设是来自多元正态总体的简单样本，且，的一致最小方差无偏估计，是的一致最小方差无偏估计。第12页/共20页三、均值的检验（一）协差阵已知时，均值的检验设是来自多元正态总体的简单样本，其中已知。考虑假设检验问题令则可以证明当成立时，即时，～第13页/共20页而当不成立时，有偏大的趋势。因此，对给定的显著性水平，当时拒绝，否则接受，即拒绝域为第14页/共20页（二）协差阵未知时，均值的检验设是来自多元正态总体的简单样本，其中未知。考虑假设检验问题令则可以证成立时，即时，～明当第15页/共20页而当不成立时，有偏大的趋势。因此，对给定的显著性水平，当时拒绝，否则接受，即拒绝域为第16页/共20页（三）两个正态总体均值相等的检验设是来自多元正态总体的简单样本，考虑假设检验问题是来自多元正态总的简单样本，且两个样本相互独立，协方差阵。根据协方差阵已知和未知分两种情形：第17页/共20页（1）已知检验统计量可以证明当成立时，即时，～而当不成立

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