2021-2022学年浙江省杭州市五校联考高三第二次联考数学试卷含解析

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2a1B．“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题C．x(0,)，使3x04x0成立0D．“若sin12，则”是真命题62．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经使费用效益的意见》构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）中提出，要优先落实教育投入．某研究机A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经的费支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经的费支出增长最多的年份是2012年fx1成立，则实数的取值范围是（）x，若对任意，都有fxk1xexR3．已知函数k1e,1D．A．,1eB．1e,C．e,0A．n5?xy21（a0，b0）的右焦点与圆M：(x2)y5的圆心重合，且圆M被双曲a2b2一条渐近线截得的弦长为22222线的，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．3中小正方形的边长为1），则26．某空间几何体的三视图如图所示（图这个几何体的体积是（）32A．364B．3C．16O是原点，则D．327．已知AB是过抛物线y4x焦点F的弦，（OAOB）2A．－2B．－4C．3D．－3，则A8．已知集合Ax|x22x150Bx|0x7，B等于()R5,73,73,75,7A．B．C．D．，9．已知集合Mx|x23x100Nxy9x，且M、都是全集R（R为实数集）的N子集，则2如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）B．xx3或x5C．x3x2x3x5D．10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个xy位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（）A．170B．10C．172D．1211．若函数f(x)3cosx4sinxxcos在时取得最小值，则（）3A．5443D．5B．C．55Ayy0Byyx1U，，B(RA，则)12．已知集合UA．0,11,D．B．0,C．1,二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将函数f(x)sin2xyf(x)g(x)在区间0,g(x)到函数的图的图像向右平移个单位，得6像，则函数上2的值域为__________．fxexxb（e为自然对数的gxffxbR），若函数12底数，14．函数恰有4个零点，则实数的b取值范围为__________________.1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则_________.15．一个长、宽、高分别为容器体积的最小值为xy23别为，，若，则该双曲线的21(a0,b0)的两条渐近线斜率分kk1kk12离心率为________.16．若双曲线a2b22三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程演算步骤或。且，SSnN*（，且n2）an列的前项和为，Sa1an17．（12分）已知各项均为正数的数nn1nn1（1）求数列的通项公式；an11113n2时，a2a3ana2（2）证明：当123n18．（12分）设函数f(x)2sinx|a3||a1|.f6a（1）若，求实数的取值范围；21（2）证明：xR，f(x)|a3|1恒成立.afxaxa1lnx12aR.19．（12分）已知函数x（1）讨论函数单调性；fx1fxe2x.（2）当a2时，求证：xxxy221ab0的离心率为，右焦点为抛物线y4x的焦点F.520．（12分）已知椭圆C：a2b225（1）求椭圆C的标准方程；4（2）O为坐标原点，过的面积为定值21．（12分）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若、ON斜率之积为，求证：△MONOM5.b13.a、、，角A、B、C的度数成等差数列，bc（1）若3sinC4sinA，求的值；cac（2）求的最大值.acos,sinbcos,sin，其中，0xOy22．（10分）在平面直角坐标系中，已知向量.442baa（1）求的值；，求的值.ac1,1，且bc（2）若参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】选项A，否命题为“若a1，则a21”，故A不正确．选项B，逆命题为“若ab，则am2bm2”，为假命题，故B不正确．0,选项C，由题意知对x，都有3x4x，故C不正确．6，则sin1”为真命题，故“若sin1，则6选项D，命题的逆否命题“若”是真命题，所以D正确．22选D．2．C【解析】观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】1.46703.699041万亿元，2018年中国GDP为90万亿元，4.11%由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为3.55%则从2010年至2018年，中国GDP的总值大约增加49万亿，故C项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．3．D【解析】1先将所求问题转化为k1x对任意x恒成立，即y1R得图象恒在函数exexy(k1)x图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由fx11y1得图象恒在函数y(k1)x图象的上方，ex得k1x，由题意函数ex作出函数的图象如图所示1过原点作函数eb1a1，所以切，解得y的切线，设切点为，则(a,b)aeaaeaxe线斜率为，所以ek10，解得1ek1.故选：D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.4．B【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+21=121，故①中应填n≤1．故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．种此题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．A【解析】2b3由已知，圆心M到渐近线的距离为3，可得，又c2ab，解方程即可.22a2b2【详解】bxay0，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，由已知，c2，渐近线方程为222b2bbc23cb1，所以圆心到渐近线的距离为M，故a22r(2)2a2b2ce2.所以离心率为a故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.6．A【解析】11422323几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是4，选A.37．D【解析】设，yy222xmy1yy4，计算，联立方程得到12A,yB,y，设AB：14412OAOBy2y2yy得到答案12.1162【详解】设，yy222y2y1，故OAOB22yy.1612A,yB,y14412，联立方程xmy1xmy1易知直线斜率不为，设AB：0，y4x2y2y2116得到y4my40，故OAOB，故yy3.2122yy412故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为xmy1可以简化运算，是解题的关键.8．B【解析】解不等式确定集合A，然后由补集、并集定义求解．【详解】Ax|x22x150{x|x3或，x5}由题意∴A{x|3x5}，R(A)B{x|3x7}．R故选：B.【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型．9．C【解析】M，根据一元二次不等式解根据韦恩图可确定所表示集合为N法和定义域的求法可求得集合M,N，根据补集R和交集定义可求得结果.【详解】M，由韦恩图可知：阴影部分表示NRMxx5x20x2x5，Nx9x0x3x3，2.NMx3x2R故选：C.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.10．D【解析】中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.【详解】甲的中位数为80x86，故x6；由茎叶图知，788280y899193977乙的平均数为88，解得y6，所以xy12.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.11．D【解析】利用辅助角公式化简f(x)的解析式，最值，求得f(x)在x函数取得最小值时cos的值．再根据正弦函数的【详解】3434cos解：f(x)3cosx4sinx5cosxsinx5sin(x)，其中，，，sin5555函数取最小值f3，55，故当(kZ)，即22k2k(kZ)时，2所以coscos(2k)cos()sin22故选：D【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．12．A【解析】B，进而求得AB.求得集合B中函数的值域，由此求得UU【详解】B,1B0,1.B1,由yx11，得A，所以，所以UU故选：A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。3,113．2【解析】根据图像的平移变换得到g(x)解析式，再利用整体思想求函数的值域.函数的【详解】g(x)sin2(x)sin(2x)，的图像向右平移个单位得函数f(x)sin2x663yf(x)g(x)sin2xsin(2x)1sin2xcos2xsin(2x)，332234，x0,2x,2333y,1.32.3故答案为：,12【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.1ln214．1,2【解析】令fx1t，则fxt1ft0恰有四个解.由fxe1判断函数2，增减性，求出最小值，列出相应x2不等式求解得出b的取值范围.【详解】令fx1t，则fxt1恰有四个解.2ft0解：，2ft0,0fx，可得在0,上单调递增，上单调递减，在fxe1有两个解，由x则fxf01b0min，可得b1.设ft0的负根为，m11意知，m1b，mb，由题22110，2fb01b，则e22b1ln2.21b1,ln221故答案为：2【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.27π15．4【解析】、宽、高分别为1、2、2的长圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均一个长方体可以在一个,所以容器体积的最小值为π()23=27π3等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为.41+22+22=32216．2【解析】b2由题得kk12b23,再根据e21求解即可.aa22【详解】x,可令kb,kb双曲线x2y21的两条渐近线为ya2b2ba,则kkb23,所以e213,解得b2a2aa21212ae2.故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。a2n1(2)见证明17．(1)n【解析】(1)由题意将递推关系式整理为关于S与Sn1的关系式，求得前n项和然后确定通项公式即可；n(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.【详解】（1）由aSS，得SSSSSS1(n2)，，即nn1nnn1nn1nn1是以Sa1为首项，以1为公差的等差数列，11所以数列Sn所以S1(n1)1n，即Sn2，nn当n2时，aSSn1，2n1nn当n1时，aS1，也满足上式，所以a2n1；11n2(1)2111111nn111（2）当n2时，nan(2n1)n(2n2)，nnn11所以1111111111n1n31322n2a2a3ana2223123n【点睛】aSS给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用n1Sa转化为的递推关系，再求其通项公式；二anannnnn是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.SSnannn,04,（2）证明见解析18．（1）【解析】f6化为|a3||a1|4，利用零点分段法，求得不等式的解集（1）将不等式.21（2）将要证明的不等式转化为证xR，2sinx|a1|12恒成立，由的最小值为，得到只要证2sinxa11|a1|12，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.a2|a1|1，即证a【详解】f6，∴2|a3||a1|6，即|a3||a1|4（1）∵2a3a14，∴a4当a3时，不等式化为a3(3a)(a1)4当1a3时，不等式化为，此时a无解1a3(3a)(1a)4当a1时，不等式化为a0，∴a1,04,综上，原不等式的解集为1f(x)|a3|（2）要证xR，1恒成立a12sinx|a1|即证xR，1恒成立a1|a1|112a2|a1|1，即证∵2sinx的最小值为－2，∴只需证a11a1|a|12|a|21又|a1|1a11aaaaa1∴|a1|12成立，∴原题得证a【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.19．（1）见解析（2）见解析【解析】（1）根据fx的导函数进行分类讨论fx单调性1（2）欲证fxe2x，只需证lnx2e，构造函数gxlnxe2，证明gx0，这时需研究maxxxxxgx的单调性，求其最大值即可【详解】，2的定义域为0,解：（1）fxaxa1lnx1xa1x1ax1x1ax2a11fxa，xxx2x22①当a0时，由fx0得x1，由fx0，得x1，所以fx在0,1上单调递增，在1,单调递减；，得x，或fx0得1x1，由fx0x1a②当0a1时，由1，afx在0,111上单调递增，在1,,所以单调递减，在单调递增；aafx上单调递增；x1③当a1时，fx20,0，所以在x2时，由fx0，得fx01，得x1ax1，由，或x1，④当a1a11单调递减，在1,单调递增.所以fx0,上单调递增，在,1在aa1（2）当a2时，欲证fxe2x，只需证lnx2ex，xx，则gx1ex，gxlnxex2x0,令，x1，使得x0,1xlnxgx0成立，使得.0e因存在x0成立，即有x0000gxgxx当变化时，，的变化如下：0,xx,xx000gx0gx单调递增gx单调递减0gxgxlnxe2x12x2.1所以x0xx0000max00x0,1gx220.x012因为，所以，所以x0max0gxlnxex2gx0，即max1fxe2x成立a2时，.xx所以当【点睛】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.xy221；（2）见解析1）5420．（【解析】c1，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程；a,b（1）由条件可得（2）当MN与轴垂直时，设直线MN的方程为：xt5t5,t0M,N，与椭圆联立求得的坐标，通x4之积为列方程可得进而可得△MON的面积；当与轴不垂直时，设MNxMx,y过、OM斜率t的值，，ON5114之积为可得ykxm，与椭圆方程联立，Nx,yMN，的方程为利用韦达定理和、OM斜率ON2252m25k24，再利用弦长公式求三角形的面积公式求解出MN，以及O到MN的距离，通过.【详解】（1）抛物线y4x的焦点为，F1,02c1，5，c5，e5a5a5，，b2xy21；椭圆方程为542当MN与轴垂直时，设直线MN的方程为：xt5tx5,t0（2）（ⅰ）5t25t2xy221得：Mt,2Nt,2代入，，55545t25t245t22255kktt5t21245t5t2452，解得：t252，5t25；5S△MON1t42，MN的方程为ykxmMx,yNx,y，x（ⅱ）当MN与轴不垂直时，设1122ykxm45kx210kmx5m2200，由xy22215405k4m2①由25m22045k2xx10km，xx45k212124k·k，5OMONyy4，5yy4xx012xx51212125k4xx5mkxx5m20即212125k445k25mk10km5m205m220245k22m5k4整理得：22①得：m0代入xxMN1k24xx122125m2201k210km4245k245k25k24m245k2451k2mO到MN的距离d1k2S△MON1MNd225m5k24m245k225m2m2m22m255为定值.综上：S△MON【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.21．(1)c4；(2)213．【解析】2BAC.(1)由角A,B,C的度数成等差数列，得又ABC,B.33c4由正弦定理，得3c4a,即a.3c42c1，解得23cbac2accosB,即13c2.c4由余弦定理，得22224acb13213,a213sinA,c213sinC.sinAsinCsinB(2)由正弦定理，得33332213sinAsinAac213sinAsinC2