2022年中考数学压轴题附答案

2022年中考数学压轴题

1.问题探究：

1.新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面

线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）.

2.解决问题

已知等边三角形N2C的边长为2.

（1）如图一，若4D工BC,垂足为。，试说明NO是△/8C的一条面径，并求的长;

（2）如图二，若ME〃BC,且A/£■是△/BC的一条面径，求面径ME的长；

（3）如图三，已知。为8c的中点，连接力。，M为上的一点（0<4A/<l）,E是

0c上的一点，连接ME,ME与AD交于点0,且&MN=SA8E.

①求证：ME是△ZBC的面径；

②连接/E,求证：又。〃/E；

（4）请你猜测等边三角形/8C的面径长/的取值范围（直接写出结果）

解：（1）如图一中，

图一

；4B=AC=BC=2,ADLBC,

：.BD=DC,

•♦S&ABD­S^ADCf

线段49是△48C的面径.

VZ5=60°,

..bAD

•・sinoO=彳百，

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,V3AD

,,2-"T

/.J£)=V3.

(2)如图二中,

图二

•:ME"BC,且ME是△48C的一条面径,

S&4ME__工

:•△AMEsLABC,

S&ABC2

.ME

…BC

：.ME=V2.

(3)如图三中，作MNLAE于N,DFL4E于F.

••S^ABD-S&BME，

•:BD=DC,

.1

•♦S&ABD=2sZk/BC，

.1

:・S^EMB=[S△彳8C，

・・・ME是△48C的面径;

②#**S&MOA=S&DOE，

，S△彳£M=SM£D，

11

:LAE-MN=今AE・DF,

22

:,MN=DF,

*：MN〃DF,

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・•・四边形MNFD是平行四边形，

：.DM//AE.

(4)如图四中，作板于凡设8M=x,BE=y,

♦：DM〃AE,

BMBD

•••__—，

BABE

.x_l

"5=9

**xy~2,

在RTAMBF中,•：NMFB=90°,ZS=60°,BM=x,

BF=3，MF=与x,

'.ME=VMF2+EF2=J(畛x)2+(y-^x)2—J/+y2一肛>^2xy—xy,

：.ME>V2,

是等边三角形面径，也是等边三角形面积径，易知力。=6，

等边三角形N8C的面径长/的取值范围鱼</<V3.

2.如图，平面直角坐标系xQy中，一次函数(b为常数，b>0)的图象与x轴、

y轴分别相交于点/、B,半径为4的。。与x轴正半轴相交于点C,与夕轴相交于点。、

E,点。在点E上方.

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（1）若直线与前有两个交点尸、G.

①求NC在的度数：

②用含b的代数式表示k2,并直接写出6的取值范围；

（2）设6）5,在线段18上是否存在点P,使/CPE=45°?若存在，请求出产点坐标;

若不存在，请说明理由.

...NbE=/NCOE=45°,（圆周角定理）

②方法一：

*.*OM.LAB,直线的函数式为：y=—

・・・OW所在的直线函数式为：

^1216

:•交点M(―/),—b)

112116,

：.0M2=(—6)2+(―A)2,

2525

VOF=4,

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：.FM2^OF2-OA/2=42.(——b)2,(——b)2,

2525

'：FM=^FG,

cc12、16c64o

：.FG2-=4FM2^4X[42-(~b)2-(—2]=64-W=64X(1一点序),

2525m

•.•直线与前有两个交点尸、G.

；.4W6<5,

.\FG2=64X(l-^ft2)(4Wb<5)

方法二：

①如图，作。MJ_/8点用，连接。尸，

_4

.♦.5的坐标为(0,b),/的坐标为(,，0),

：.AB=yJOB2+OA2=|b,

・./nsBOb3

•.smN8Z0=存=与=引

3D

・.OMOM3

•'smZMAO=A0=-^=5'

OM—弓b,

.•.在RTZ\OA//中，

FM=y/OF2-OM2=J42-(^/?)2

'：FG=2FM,

；.FG2=4FM2=4(42-1|*2)=64一—票户=64'(1一安贬),

•..直线与前有两个交点尸、G.

；.4Wb<5,

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；.FG2=64义（1一曲2）（4W6V5）

（隹用图）

当b=5时，直线与圆相切，

•••在直角坐标系中，NCOE=90°,

：.ZCPE^ZODC=45°,

存在点P,使NCP£=45°,

连接OP,

•••尸是切点，

：.OPLAB,

：.△APOs^AOB,

,OPAP

"OB一'A0'

20

・・・。尸=〃=4,08=5,ZO=詈，

.4AP16

•-5=亘即"=

T

•：AB=y/OB24-0A2=卜2+（岑）2=孕，

作尸M_L4。交40于点用，设尸的坐标为G,＞）,

*.•AAMPsLAOB,

PMAP

BO~AB

16

y_T

3

：.x=0M=-JOP2-PM2="一点）2=等

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，点尸的坐标为(三~,—

当b>5时，直线与圆相离，不存在尸

3.如图，在Rt&IBC中，Z/fC5=90°,以斜边Z8上的中线C。为直径作。。，与BC交

于点/，与/B的另一个交点为E,过M作垂足为M

(1)求证：MN是。。的切线：

'：OC=OM,

：.40CM=40MC,

在RtZ\Z8C中，CD是斜边ZB上的中线,

:.CD=%B=BD,

:・/DCB=/DBC,

：./OMC=NDBC,

：.OM〃BD,

■:MNtBD,

・・・OM_LMN,

•・・O/W过o,

・・・"N是O。的切线；

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•・・C。是G）O的直径，

：.ZCED=90°,ZDMC=90°,

即CEA.AB,

由（1）知：BD=CD=5,

・・・〃为BC的中点，

3

Vsiri5=百，

..cosB=耳,

在中，BM=BD・CGSB=4,

:・BC=2BM=8,

Q9

在RtACEB中,BE=BC・cosB=等，

327

：.ED=BE-BD=节一5=g.

4.已知NMPN的两边分别与OO相切于点4B,OO的半径为九

（1）如图1,点C在点48之间的优弧上，NMPN=80°,求N4CB的度数；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形NPBC为菱形，//尸8的度

数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交OO于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含『的式子表示）.

【解答】解：（1）如图1,连接040B,

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图1

,：PA,尸8为。。的切线，

孙。=/尸80=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360°,

^APB+AAOB=\^°,

VZAPS=80°,

：.ZAOB^\00°,

.•.//C3=50°；

（2）如图2,当NZP8=60°时，四边形ZP8C是菱形,

连接CM,OB,

囹2

由（1）可知，NNO8+//P8=180°,

VZAPB=60°,

ZAOB=\20°,

AZACB=60°=AAPB,

•.•点C运动到PC距离最大，

；.PC经过圆心，

■:PA,尸8为。。的切线，

：.PA=PB,NAPC=NBPC=3G°,

又•：PC=PC,

.♦.△/PC丝△BPC（.SAS）,

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AZACP=ZBCP=30°，AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°，

：.AP=ACf

:・AP=AC=PB=BC,

・・・四边形ZP8C是菱形；

(3)・・・。。的半径为八

.\OA=r,OP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

,：NN。尸=90°-ZAPO=60a,

而的长度==^r,

,阴影部分的周长=P4+P£>+尤=倔廿+分=(V3+I+J)r.

5.如图，均为。。的切线，P8C为。。的割线，4DLOP于点D,△/小？的外接圆与8c

的另一个交点为£.证明：NBAE=NACB.

【解答】证明：连接04,OB,OC,BD.

"COA1.AP,ADA.0P,

，由射影定理可得：PA2=PD'PO,心=PD・0D.…（5分）

又由切割线定理可得PA2^PB-PC,

:.PB，PC=PD'P0,

：.D.B、C、。四点共圆，…（10分）

NPDB=4PCO=NOBC=NODC,NPBD=ACOD,

:UBDsACOD,

PDBD

（15分）

CD—0D'

二.BACD=PD，OD=AN,

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.BDAD

"'AD~~CD'

又NBDA=NBDP+9G=ZODC+90°=ZADC,

:.△BDAsAADC,

:.NBAD=ZACD,

：.AB是△ZOC的外接圆的切线，

6.如图，点/为y轴正半轴上一点8两点关于x轴对称，过点”任作直线交抛物线y=|x2

于P，。两点.

（1）求证：ZABP=ZABQ-,

（2）若点4的坐标为（0,1）,且/尸8。=60°,试求所有满足条件的直线尸0的函数

解析式.

【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

设点力的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-/）.

设直线尸0的函数解析式为了=履+3并设P,0的坐标分别为（必，yp）,（X0,夕0）.由

y=fcx4-1

Iy=|%2'

%2—kx—t=0,

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32

于是为「殉=-23BPt=-^XPXQ.

BCyp+t京P?+t京2p一夕p%Q声p(Xp-XQ)Xp

BDyQ+t|x(j2+t^XQ2~XpXQ|X(2(XQ-Xp)