高中数学圆的方程专题复习

.z.高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的*些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程

⑵过直线与圆的交点的圆系方程

⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：圆与直线相交于两点，为坐标原点，假设，**数的值。分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘假设充分挖掘此题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即….①依题意，在以为直径的圆上，则圆心〔〕显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)*＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不管m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(*＋2y－1)－(*＋y－5)＝0，①即，∴直线过定点P〔9，－4〕注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。例4圆C：〔*－1〕2＋〔y－2〕2＝25，直线l：〔2m+1〕*+〔m+1〕y－7m－4=0〔m∈R〕.〔1〕证明：不管m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；〔2〕求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.〔1〕证明：l的方程〔*+y－4〕+m〔2*+y－7〕=0.得∵m∈R，∴2*+y得∵m∈R，∴*+y－4=0，y=1，即l恒过定点A〔3，1〕.∵圆心C〔1，2〕，｜AC｜＝＜5〔半径〕，∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.〔2〕解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2*－y－5=0.评述：假设定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、假设直线与曲线有且只有一个公共点，**数的取值*围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值*围是或.变式练习：1.假设直线y=*+k与曲线*=恰有一个公共点，则k的取值*围是___________.解析：利用数形结合.答案：－1＜k≤1或k=－例6圆上到直线的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆的圆心为，半径．设圆心到直线的距离为，则．如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又．∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，∴，即，或，也即，或．设圆的圆心到直线、的距离为、，则，．∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，则易发生以下误解：设圆心到直线的距离为，则．∴圆到距离为1的点有两个．显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是解：∵圆的圆心为〔2，2〕，半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.例8(1)圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．(2)圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程．可设圆的参数方程为〔是参数〕．则〔其中〕．所以，．(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以．．所以．．(2)(法1)由得圆的参数方程：是参数．则．令，得，．所以，．即的最大值为，最小值为．此时．所以的最大值为，最小值为．(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如下图，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为．令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为．例9、对于圆上任一点，不等式恒成立，**数的取值*围．设圆上任一点∴，∵恒成立∴即