概率论与数理统计- 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征4.1数学期望返回主目录4.2方差4.3

协方差及相关系数4.4矩协方差矩阵第四章随机变量的数字特征4.1数学期望---随机变量的平均值4.1数学期望返回主目录解：平均成绩为:

若用X表示成绩，则

引例：某班有N个人，其中有个人为分，求该班的平均成绩。,1Nnkii=å=1、离散型随机变量的数学期望第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录的和为随机变量X的数学期望,记为E(X)，即E(X)=。定义4.1.1设离散型随机变量X的分布律为：若级数绝对收敛，则称级数4.1.1数学期望的定义第四章随机变量的数字特征§1数学期望说明返回主目录X变化的平均值．的数学期望是数，它刻划了X)1(的求和顺序无关．的和与其级数时，才能保证级数绝对收敛只有当级数变化的平均值，因此，机变量的数学期望表示的是随由于随机变量ååå¥=¥=¥=111)2(nnnnnnnnnpxpxpxXX2、连续型随机变量的数学期望第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录数学期望也称为均值。记为连续型随机变量的数学期望第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录0limxf(x)dxl®å0limxP{x<X}l®=å第四章随机变量的数字特征§1数学期望例1返回主目录：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；Y平较高？试问哪一个人的射击水第四章随机变量的数字特征§1数学期望例1（续）返回主目录比较甲、乙两人的平均环数:解：的好．，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看§1期望第四章随机变量的数字特征返回主目录例2其密度函数为解：§1期望第四章随机变量的数字特征返回主目录例3§1期望第四章随机变量的数字特征返回主目录例3§1期望第四章随机变量的数字特征返回主目录例3第四章随机变量的数字特征§1数学期望例4(数学期望不存在的例子)返回主目录，其密度函数为分布服从设随机变量CauchyX由于ò+¥¥-+=dxxx211pò+¥+=0211dxxxp第四章随机变量的数字特征§1数学期望(数学期望不存在的例子)返回主目录ò+¥+0211dxxxp()+¥+=021ln1x2p()不绝对收敛，这表明积分ò+¥¥-dxxxf不存在．因而)(XE+¥=书中82页例3自学.第四章随机变量的数字特征§1数学期望例5

对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。

假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且返回主目录第四章随机变量的数字特征§1数学期望例5（续）返回主目录例6第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录

某商店对某种电器的销售采用先使用后付款的方式。记使用寿命为X（以年计），规定：设寿命X服从的指数分布，试求该商店一台收费Y的数学期望。解：例6第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录例6第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录4.1.2、随机变量函数的数学期望定理4.1.1：第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录（1）若X的分布率为且绝对收敛,则

(2).若X的概率密度为，且绝对则收敛，设Y=g(X),g(x)是连续函数，定理4.1.2：第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录

若(X,Y)是二维随机变量，是二元连续函数，

且绝对收敛；则

(1)若(X,Y)的分布律为，(2).若(X,Y)的概率密度为且绝对收敛，则§1期望第四章随机变量的数字特征返回主目录§1期望第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征§1数学期望例7返回主目录解：的分布律为：设随机变量X第四章随机变量的数字特征§1数学期望例7返回主目录例8第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录例8第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录例9返回主目录第四章随机变量的数字特征§1数学期望(X,Y)联合分布律解：).(,XYEXE）（求例9返回主目录第四章随机变量的数字特征§1数学期望例10第四章随机变量的数字特征§1数学期望解：

设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。第四章随机变量的数字特征返回主目录例11由定理4.1.2（2）知第四章随机变量的数字特征返回主目录例11第四章随机变量的数字特征返回主目录例11（续）例12(1)第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录分析：设y为预备出口的该商品的数量，Z表示国家的收益第一步：确定收益Z与需求量X、货源y的关系；第二步：固定y，Z=g(X),求第三步：求y，使E(Z)达到最大.例12(1)第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录解：设y为预备出口的该商品的数量，

用Z表示国家的收益（万元）1.确定收益Z与需求量X、货源y的关系:例12(1)续第四章随机变量的数字特征§1数学期望2.固定y，求E（Z）：例12(1)续第四章随机变量的数字特征§1数学期望例12(1)续第四章随机变量的数字特征§1数学期望例2(2)第四章随机变量的数字特征返回主目录

设某种商品每周的需求量Y是服从区间[10，20]上的均匀分布的随机变量，经销商店进货的数量X也是服从区间[10，20]上的均匀分布的随机变量，且X，Y相互独立。商店每销出一单位商品可得利润1000元；若供不应求，商店可从外部调剂供应，每单位商品仅获利润500元。试求商店所获利润的期望值。分析：Z为商店所利润，第一步：确定利润Z与需求量Y、进货量X的关系:Z=g(X,Y);第二步：求E（Z）=例12(2)续第四章随机变量的数字特征返回主目录解：Z为商店所获利润，例12(2)续第四章随机变量的数字特征例12(2)续第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征返回主目录

设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货的数量为区间[10，30]中的整数，商店每销出一单位商品可得利润500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，商店可从外部调剂供应，每单位商品仅获利润300元。为使商店所获利润不小于9280元，试确定最少进货的数量。分析：设y为经销商店的进货量，Z为商店所获利润，第一步：确定利润Z与需求量X、进货量y的关系；第二步：固定y，求E（Z）；第三步：求y，使(答21)补14.1.3数学期望的性质第四章随机变量的数字特征§1数学期望若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)返回主目录第四章随机变量的数字特征§1数学期望若X,Y独立，则E（XY）=E(X)E(Y)返回主目录第四章随机变量的数字特征§1数学期望例13返回主目录解：的分布律为：设随机变量X）。（求32-XE§1期望第四章随机变量的数字特征返回主目录例14解：）（求21212),52(XXEXXE-例15第四章随机变量的数字特征§1数学期望对N个人进行验血，有两种方案：（1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验；（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；返回主目录（例15续）第四章随机变量的数字特征§1数学期望解:方法一:总化验次数=每个人的化验次数之和.返回主目录只可能取两个值

或，

，；设X表示第二个方案下的总化验次数，表示第j个人的化验次数，则第四章随机变量的数字特征§1数学期望（例15续）方法一例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小；这时，工作量将减少40%.返回主目录(例15续)方法二第四章随机变量的数字特征§1数学期望解：设X表示第二个方案下的总化验次数，表示第i个组的化验次数，则返回主目录总化验次数=各组化验次数之和.第四章随机变量的数字特征§1数学期望（例15续）方法二例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小；这时，工作量将减少40%.返回主目录例16第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。求EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。解：设

易见

分析:停车的次数X=各车站停车次数之和例16(续)第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录解：

20)10/9(}0{==iXPP{每个旅客在各个车站不下车}=0.9小结:第四章随机变量的数字特征§1数学期望返回主目录

把一个复杂（分布）的随机变量X分解成一些简单随机变量（称为计数变量）的和，即再用数学期望的线性性质求X的期望，即可使复杂问题简单化。第四章随机变量的数字特征§1数学期望例17用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P{第k次生产出的产品是正品}=假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设返回主目录第四章随机变量的数字特征§1数学期望例17（续）返回主目录4.2方差§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。4.2.1方差的定义和计算1.定义§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录当X是连续型随机变量时

，

由定义可知，X的方差D(X)是随机变量函数的数学期望。当X是离散型随机变量时，2.方差的计算公式：由定理4.1.1知：§2方差第四章随机变量的数字特征方差常用下面公式求得：返回主目录证明：()2EXXEDX-=常用下面公式§2方差第四章随机变量的数字特征例1返回主目录：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；Y平较高？试问哪一个人的射击水§2方差第四章随机变量的数字特征例1（续）返回主目录．比较两个人的平均环数解：甲的平均环数为乙的平均环数为的方差分别为的，但两个人射击环数是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看§2方差第四章随机变量的数字特征例1（续）返回主目录76.02.9)5.0102.093.08()(222222=-++=-=EXEXDX()()()4.02.9104.02.992.02.98222-+-+-=DY624.0=，由于DXDY<甲稳定．这表明乙的射击水平比第四章随机变量及其分布例2解：返回主目录§2

方差第四章随机变量及其分布例2(续)解：返回主目录§2

方差§2方差第四章随机变量的数字特征例3（书中第91页例2）返回主目录()22EYEYDY-=§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录例3（续）§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录例3（续）()22EYEYDY-=第四章随机变量的数字特征返回主目录令称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。则E(Y)=0，D(Y)=1.§2

方差3.随机变量的标准化：设随机变量X的期望E(X)，方差D(X)>0存在,证：4.2.2方差的性质第四章随机变量的数字特征证3）：§2

方差§2方差第四章随机变量的数字特征若X,Y独立，则E(X-EX)(Y-EY)=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)=0返回主目录故：§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录证：第四章随机变量及其分布例4解：返回主目录§2

方差第四章随机变量及其分布例4返回主目录§2

方差第四章随机变量及其分布例4返回主目录§2

方差第四章随机变量的数字特征1）.两点分布返回主目录§2

方差4.2.3

几种重要随机变量的数学期望及方差方法1：用定义第四章随机变量的数字特征2.二项分布返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征方法2：用期望和方差的性质

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征返回主目录

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征返回主目录

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征返回主目录

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征4.均匀分布返回主目录

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征返回主目录5．正态分布

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征返回主目录结论返回主目录第四章随机变量的数字特征

几种期望与方差第四章随机变量的数字特征返回主目录6.指数分布，其密度函数为服从指数分布设随机变量X§2方差第四章随机变量的数字特征例5返回主目录()22EYEYDY-=第四章随机变量的数字特征例5返回主目录解：()5)(22=+=EYYDEY第四章随机变量的数字特征例6解：返回主目录§2方差()22EXEXDX-=l==EXDX第四章随机变量的数字特征例7解：返回主目录§2方差第四章随机变量的数字特征例7返回主目录§2方差第四章随机变量的数字特征例8解：返回主目录§2方差第四章随机变量的数字特征例8返回主目录§2方差3、定理§2方差第四章随机变量的数字特征定理：（切比晓夫不等式）设随机变量X有数学期望,对任意

>0,不等式成立，或返回主目录证明：（只证X是连续型的情形）§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录这两个不等式给出了随机变量X的分布未知情况下，事件的概率的一种估计方法。（Chebyshev）不等式第四章随机变量的数字特征返回主目录§2

方差

（2）设相互独立的随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，则根据切比晓夫（Chebyshev）不等式有估计：例9

（1）设随机变量X的方差为2，则根据切比晓夫（Chebyshev）不等式有估计：令则§2方差第四章随机变量的数字特征例10假设一批种子的良种率为，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与之差的绝对值不超过0.02的概率。§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录证：方差的性质：§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录§2方差第四章随机变量的数字特征返回主目录我们有：由此例及方差的性质，{}()为常数CCXP1==的充分必要条件为．0=DX第四章随机变量的数字特征例11解：返回主目录§2方差§2方差第四章随机变量的数字特征例11续先求：返回主目录§2方差第四章随机变量的数字特征例11（续）则：思考题：若返回主目录§2方差第四章随机变量的数字特征若返回主目录例12§2方差第四章随机变量的数字特征例12（续）返回主目录第四章小结返回主目录1、数学期望：2、随机变量函数的数学期望设Y=g(X),g(x)是连续函数，若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)性质返回主目录若(X,Y)的概率密度为则第四章小结第四章小结返回主目录3、方差性质定义：计算公式：()22EXEXDX-=§3.协方差及相关系数§3协方差第四章随机变量的数字特征问题的提出：返回主目录若X,Y相互独立，则E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY=0那么，当E(X-EX)(Y-EY)时，X，Y一定不独立。此时，X，Y会具有一定关系。我们主要讨论：X，Y是否具有线性关系。§3.协方差及相关系数§3协方差第四章随机变量的数字特征返回主目录1、协方差的定义及计算2、协方差的性质相关系数:4、独立与不相关的关系2、相关系数的性质协方差:1.相关系数的定义3、不相关及其等价条件§3协方差第四章随机变量的数字特征定义4.3.1若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，记COV(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]，称COV(X,Y)为随机变量X,Y的协方差.

返回主目录特别COV（X，X）=E[X-E(X)][X-E(X)]=D(X)4.3.1协方差(covariance)1.协方差(covariance)的定义及计算由定义可知，协方差是二维随机变量函数的数学期望。用定理4.1.2可计算协方差§3协方差第四章随机变量的数字特征返回主目录(1)E(XY)=E(X)E(Y);注意2:D(aX+bY)=特别(3)COV(X,Y)=0.小结:X,Y独立三个必要条件:可见,若X,Y独立,则COV(X,Y)=0.注意1:协方差常用的计算公式：

COV（X，Y）=E(XY)-E(X)E(Y)§3协方差第四章随机变量的数字特征返回主目录2、协方差的性质COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)证3）第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录求E(X)，E(Y),D(X),D(Y),COV(X,Y),D(2X-3Y).例1：设（X，Y）的概率密度为解：第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例1(续）第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例1(续）第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例1(续）另外例2返回主目录第四章随机变量的数字特征(X,Y)联合分布律解：求E(X)，E(Y),D(X),D(Y),COV(X,Y),D(2X-3Y).§3协方差例2返回主目录第四章随机变量的数字特征§3协方差929253)]([)(22=-=-=XEXEXD）（95925310)]([)(22=-=-=YEYEYD）（例2返回主目录第四章随机变量的数字特征§3协方差0925925)()()(,=-=-=YEXEXYEYXCOV）（第四章随机变量的数字特征§3协方差例3返回主目录()，记，，，是二个随机变量，已知，设1cov41===YXDYDXYXYXYX-=-=22hx，,),(,)(,)(hxhxCOVDD试求：()YXDD2-=x()YXDYDX，cov44-+=解：方法1：用性质()YXDD-=2h()YXDYDX，cov44-+=第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录()()YXYX--=22covcov，，hx()()()()YYYXXYXX，，，，cov2covcov4cov2+--=()DYYXDX2cov52+-=，例3(续)第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例3(续)方法2()YXDYDX，cov44-+=§3协方差第四章随机变量的数字特征返回主目录称为随机变量X,Y的相关系数。COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)4.3.2相关系数1.相关系数的定义2、相关系数的性质及意义证明：第四章随机变量的数字特征§3协方差第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录而

第四章随机变量的数字特征故即

方差的性质4第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征§3协方差总之：相关系数的性质P{Y=a+bX}=1的含义:

第四章随机变量的数字特征§3协方差第四章随机变量的数字特征相关系数的意义:第四章随机变量的数字特征相关系数的意义:第四章随机变量的数字特征相关系数的意义:X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。的量．之间线性关系紧密程度与量相关系数是表征随机变YX存在着线性关系；之间以概率与时，当，11YXYX=r之间的线性关系越弱；与时，越接近于当，YXYX0r()．不相关之间不存在线性关系与时，当，YXYX0=r第四章随机变量的数字特征§3协方差第四章随机变量的数字特征§3协方差例6返回主目录将一枚硬币重复抛掷

n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数为(A)–1,(B)0,(C),(D)121XnYnYX-==+，即Q01<-=\b.1-=\XYr）正确。故（A解：相关系数的性质§3协方差第四章随机变量的数字特征返回主目录3、不相关及其等价条件定理4.3.2

X,Y不相关的四个等价条件：

X,Y不相关是指：X与Y之间没有线性关系。§3协方差第四章随机变量的数字特征若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y),即X,Y不相关

。返回主目录(2)若，或EXY-EXEY0，

即X，Y相关，则X，Y一定不独立。4、独立与不相关的关系特别注意：若，即EXY-EXEY=0，

则X，Y不相关，但不一定有X，Y相互独立。结论的逆否命题:第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录X，Y不相关，X，Y不相互独立的例子:试证：X，Y不相关，但X，Y不相互独立。例4：设（X，Y）的概率密度为证明：先证X，Y不相关,即E(XY)=E(X)E(Y):第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录同理即X，Y不相关。第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录所以X，Y不相互独立。再证X，Y不相互独立:第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例5试证：X，Y不相关，但X，Y不相互独立;2)求D(X-Y)()的分布律为：，设YX第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例5（续）不相关性:第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例5（续）即X，Y不相关。但即X，Y不相互独立。注意：X，Y不相关，即.2XYYX=之间具有关系：与但第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例5（续）第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例7解：

第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征则X，Y独立=0X，Y不相关。返回主目录二维正态分布的性质：§3协方差第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例8（第110页）设解：第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例8（续）第四章随机变量的数字特征§3协方差返回主目录例8（续）第四章随机变量的数字特征例9返回主目录第四章随机变量的数字特征例9续返回主目录第四章随机变量的数字特征例9续返回主目录第四章随机变量的数字特征例10返回主目录第四章随机变量的数字特征例10返回主目录第四章随机变量的数字特征例10返回主目录第四章随机变量的数字特征例10续返回主目录§4矩协方差矩阵1、矩的定义§4矩第四章随机变量的数字特征返回主目录若存在，称之为X的k阶原点矩。

若存在，称之为X的k阶中心矩。若存在，称之为X和Y的阶混合原点矩。§4矩第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征§4矩例1返回主目录第四章随机变量的数字特征§4矩例1返回主目录2、协