2021年全国统一新高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)【转发请注明来源】

2021年全国统一高考数学试卷（新高考口卷）一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的・2-11•复数市在复平面内对应的点所在的象限为（）D.第四象限)D.{1,3}第一象限B.D.第四象限)D.{1,3}2.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4}，则(A.{3}B.{1,6}C.{5,6}3.若抛物线y2=2pXp>0)的焦点到直线y=x+l的距离为©,则P=()A.1B.2C.2a/2D.4北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径/•为6400km的球,其上点/的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为&,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为TOC\o"1-5"\h\zS=2加；（1-cosa）（单位:km2）,则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%正四棱台上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.20+12>/3B.28>/2C.yD.空丰某物理量的测量结果服从正态分布N（10b）,下列结论中不正确的是（）b越小,该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大b越小，该物理量在一次测量中大于10概率为0.5b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等b越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等TOC\o"1-5"\h\z已知d=lo&2,b=log83,c=|，则下列判断正确的是（）A.c<b<ciB.b<ci<cC.a<c<bD.a<b<c已知函数/（x）的定义域为R,/（x+2）为偶函数，/（2x+l）为奇函数，则（）A./=0B./（-1）=0C.于（2）=0D./（4）=0二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分•在每小题给岀的选项中,有多项符合题目要求•全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.下列统计量中，能度量样本…,x”的离散程度的是（）A.样本心吃,…，兀的标准差B.样本…,x”的中位数样本毎,吃，…,兀的极差D.样本心卞,…，兀的平均数如图,在正方体中,O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,/V为正方体的顶点.则满足MV丄OP的是（）

已知直线+—F=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a.b)，则下列说法正确的是()A.若点力在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点2在圆C内，则直线/与圆6■相离C.若点力圆C外，则直线/与圆6■相离D.若点力在直线/上,则直线/与圆C相切・+d设正整数”=心・2°+勺・2+…+Et・2E+%2*，其中a.e｛O,l｝，记埶町二^+耳+…+绞.・+dB.fi?(2n+3)=6?(n)+lD.6>(2"-1)=”B.fi?(2n+3)=6?(n)+lD.6>(2"-1)=”C.co(Sn+5)=a)(4n+3)三•填空题：本题共4小题f每小题5分•共20分.22已知双曲线+卡=l(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为TOC\o"1-5"\h\z写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):.①f(XlX2)=fMf(X2)；②当XG(0，S时,f'(x)>0；(Df(x)是奇函数.已知向量a+b+c=6,a=1,卩|=同=2,c"+厶.c+c・q=•已知函数几力=|『_］帆<0宀>0,函数/⑴的图象在点Ag,/(xJ)和点^(x2,/(x2))的两条IamI切线互相垂直,且分别交p轴于/V两点，则「討取值范围是.0VI四、解答题：本题共6小题，共70分•解答应写岀文字说明、证明过程或演算步g记S”是公差不为0的等差数列｛©｝的前/?项和，若①=：卫屮4=S4.(1)求数列｛%｝的通项公式暫；(2)求使S”>色成立的门的最小值.18.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为“、b、c,b=a+l,c=a+2..(1)若2smC=3smA,求△A3C的面积;(2)是否存在正整数。,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值；若不存在,说明理由.19.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,=04=JI0C=3.BC(1)证明：平面丄平面ABCD;(2)求二面角B-QD-A平面角的余弦值.已知椭圆C的方程为匚+买=l@〉b>0),右焦点为尸(Q0),且离心率为@.a~b~3(1)求椭圆C的方程；(2)设/V是椭圆C上的两点，直线MV与曲线P+y2=b\x>0)相切•证明：M,/V,尸三点共线的充要条件是|MN|=*.—种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设才表示1个微生物个体繁殖下一代的他，P(X=/)=p,(/=0,l,2,3).(1)已知Po=0-4,pY=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X);(2股Q表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝概率Q是关于x的方程:p。+p.x+p2x2+几丘=x的一个最小正实根，求证：当E(X)<1时，p=l，当E(X)>1时，p<l;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义•已知函数f(x)=(x-l)ex-ax2+b.讨论/⑴的单调性；从下面两个条件中选一个,证明：『⑴有一个零点1®—<a<—./?>2a;22@0<a<^,b<2a.2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国口卷）参考答案与试题解析一•选择题：本题共12小题f每小题5分•共60分•在每小题给岀的四个选项中f只有一项是符合题目要求的•2-11.复数厂〒在复平面内对应的点所在的象限为（）1-31D.第四象限A.第一象限B.第二象限C.D.第四象限2-i【思路分析】利用复数的除法可化简r，从而可求对应的点的位置.11]11]2^2Jr【解析】：—=（2~1）（1+31）=^=—,所以该复数对应的点为&二1-3110该点在第一象限，故选：A.设集合》={1,2,3,4,5、1-3110该点在第一象限，故选：A.设集合》={1,2,3,4,5、6}"={1,3,6}、3={2,3,4},贝（）A.{3}B.{1,6}C.{5,6}【思路分析】根据交集、补集的定义可求Ac（（；.B）.【解析】：由题设可得二{1,5,6},故Ac（£B）={l,6}，故选：B.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点到直线y=的距离为血，则厂（A.1B.2C.2迈D.{1,3}）D.4【思路分析］首先确定抛物线的焦点坐标,然后结合点到直线距离公式可得〃的值.【解析】：抛物线的焦点坐标为£,o］,【解析】：抛物线的焦点坐标为£,o］,其到直线x-y+l=0的距离:\L丿2Vi+Tp=2（p=-6舍去）故选:B.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果•在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径/•为6400km的球,其上点Z的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为心,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为TOC\o"1-5"\h\zS=2加；（1-cosa）（单位:km2）,则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%［思路分析］由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【解析】：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：164002;?■尸（l—cosa）_l—cosG_—6400+36000〜°仁―42%•故选:C-4兀尸~2~2~°正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.20+125/3B.28>/2C.yD.今2［思路分析］由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积,再由棱台的体积公式即可得解.【解析】：作出图形,连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高〃=。22_（2羽-迈丫=V2,下底面面积5=16,上底面面积二=4,所以该棱台的体积卩=杯（\+二+应?）=卜血x（16+4+屈）=丰血.故选：D.6.某物理量的测量结果服从正态分布W（10,b‘），下列结论中不正确的是（）b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大b越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等b越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等［思路分析］由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【解析】：对于A心为数据的方差，所以b越小，数据在“=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5'故B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.故选:D.已知d=lo&2,b=log83,c=|，则下列判断正确的是（）A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<hD.a<b<c【思路分析】对数函数的单调性可比较Jb与c的大小关系，由此可得出结论.【解析】：ci=log52<log5>/5=^-=logs2V2<logs3=b,即avc<b.故选:C.已知函数/（x）的定义域为R,/（x+2）为偶函数，/（2x+l）为奇函数，则（）A./=0B./（-1）=0C./（2）=0D./（4）=0【思路分析】推导出函数/（刃是以4为周期的周期函数，由已知条件得岀/（1）=0,结合已知条件可得岀结论.【解析】:因为函数/（-v+2）为偶函数,则f（2+x）=f（2-x）,可得/（x+3）=/（l-x）,因为函数/（2x+l）为奇函数，则f（l-2x）=-f（2x+l），所以,f（l-x）=-f（x+l）,

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即/(x)=/(x+4),故函数/(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=/(2x+l)为奇函数，则F(0)=/(1)=0,故/(-1)=-/(1)=0,其它三个迦页未知.故选：B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分•在每小题给岀的选项中,有多项符合题目要求•全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分・下列统计量中，能度量样本坷£,…，兀的离散程度的是()A.样本坞人,£的标准差B.样本心丕,…,兀的中位数C.样本兀,丕,…,兀的极差D.样本小耳,.・.,£的平均数【思路分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，明陛是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.［解析】：由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知,极差考查的是娄的离散程度;由极差的定义可知,极差考查的是娄的离散程度;由平均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC如图,在正方体中,O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,/V为正方体的顶点.则满足MN丄OP的是()【思路分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【解析】：设正方体的棱长为2,对于A，如图(1)所示，连接4C,则MN//AC,故ZPOC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,匹角三角形。PC,oc=QCP=1,故ZPOC=”琴.故MTV丄OP不成立f故A错误.(或者易得OP在上底面的射影为MN,故MN丄OP不成立)

对于B,如图（2）所示，取NT的中点为0，连接，0Q，则O0丄ATzPQ丄MNf由正方体SBCM—NAZZT可得SN丄平面ANDT,而O0u平面ANDT,故SN丄O0，而SNRMN=N，故O0丄平面SA7M,又AWu平面SATO/,OQLMN，而OQQPQ=Q,所以伽丄平面OP0,而POU平面OP0,故MV丄OP,故B正确・对于C,如图（3）,连接3Dz则加//MNz由B的判断可得OP丄3D,故OP丄MN，故C正确.图（图（3）T对于D,如图（4）,取4Q的中点0,AF的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK、OK,贝0AC//MN,因为DP=PC,故PQf/AC,故PQHMN,所以ZQPO或其补角为异面直线PO、MN所成的角，因为正方体的棱长为2,故P0==JI,OQ=yjAO2+AQ2=Jl+2=,PO=^PK2+OK2=74+T=V5,QO-<PQ2+OP-,故ZQP°不是直角,故PO、MN不垂直,故D错误•故选:BC已知直线/：处+纱一尸=0与圆C:x2+y2=r，点，则下列说法正确的是（）A.若点力在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点力在圆C内，则直线/与圆6•相离C.若点力在圆C外，则直线/与圆。相离D.若点力在直线/上,则直线/与圆C相切【思路分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2^h\r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【解析】：圆心c（o,o）到直线/的距离d=［、,&厂+/r若点A（a,b）在圆C上，则a2+b2=r2，所以d=/【，=|厂|,yja・+lr则直线/与圆C相切，故A正确；若点A（a,b）在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=/【，>|厂|,\!a■十tr则直线/与圆C相离，故B正确；若点人仏®在圆C外，则a2+b2>r，所以d=~^==<\r\,yjcr+/?"则直线/与圆C相交，故C错误；若点A@e）在直线/上,则/+b2-r=0即/+戻=r2,所以d=■7=|r|,直线/与圆U相切，故D正确.故选：ABD.>Ja2+b2设正整数”=%2°+"2+・・・+%「2"1+%2“，其中qw{O,l}，记埶町=绻+4+…+绞.则A.co（2n）=a）｛n）C.飒8料+5）=飒4n+3）［思路分析］利用巩〃）的定义可判断ACD选项的正误,利用特殊值法可判断B选项的正误.【解析】：对于A选项，6y（〃）=c/o+q+・・・+c“，2/?=•21+•22+•••+ak_Y-2k+cik-2A+1,所以，血⑵?）=+q+•••+ak=co{n）,A选项正确;对于B选项,取〃二2,2/i+3=7=1-2°+1-21+1-22,"（7）=3,而2=0-2°+121,则力（2）=1,即q（7）h吠2）+1,B选项错误；对于C选项,8"+5=a。•2’+珂•2°+•••+色•2"'+5=1•2°+1•2’+a。•2’+珂•2°+•••+$•2®,所以，<i?（8"+5）=2+c/°+qak,4“+3=兔・2'+32'+・・・+线・2心+3=1・2°+1・21+。0・2'+"2'+・・・+@・2用，所以，埶4〃+3）=2+ao+q+・・・+c”，因此，q（8〃+5）=<y（4n+3）,C选项正确；对于D迦页，2”一1=2。+21+.・.+2"-1，故血（2”—1）=〃,D选项正确.她:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.2213.已知双曲线二—啓=1（°>0,b>0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为crb"【思路分析】由双曲线离心率公式可得.=3，再由渐近线方程即可得解.（T22【解析】：因为双曲线4-7T=>0上>0）的离心率为2,所以该双曲线的渐近线方程为y=±-x=土屈.故答案为：y=土羽x.【归纳总结】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/（%）：.①/（心丫2）=/（不）/（花）；②当XG（0,+oO）时,f（x）>0；@）f（x）是奇函数.【思路分析】根据幕函数的性质可得所求的f（x）.【解析】：取f（x）=x4,则/（X宀,满足①，广（x）=4f,x>0时有f（x）>o,满足②，广（X）=4f的定义域为R,又广（―x）=—4+=-f\x）,故广（X）是奇函数,满足③.故答案为：f（x）=x4（答案不唯一，/⑴=亍”（/?gnJ均满足）【归纳总结］熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造.【思路分析］由已知可得@+厶+丁=0，展开化简后可得结果.

【解析】：由已知可得(a+5+c)=a~+b~+c+2(a+B・c+c・a)=9+2(d・怡+5・c+c・d)=0,因此,a・b+b・c+c・d=一一•故答案为:一㊁.【归纳总结】三个数的完全平方的式子要熟悉.16.已知函数/(x)=fT，X]<0宀>0,函数/⑴的图象在点Ag,/(xJ)和点^(x2,/(x2))的两条IamI切线互相垂直，且分别交p轴于/V两点，则「討取值范围是.\醐\【思路分析】结合导数的几何意义可得Ai+X2=0,结合直线方程及两点间距离公式可得|AM|=JV|xJ,|BN|=J1+严任|，化简即可得解.【解析】：解法一:由题意,/W=【解析】：解法一:由题意,/W=|"-1|=<ex-l,x>0t则广(x)n-e\x<0e\x>0\AM\_Jl+才勺・|兀|\AM\_Jl+才勺・|兀||BN|J1+严.|xj=讥(0,1)・解法二:(浙江王海雷补解)由题/W=e"-1,x>0一e”+1,xv0'所以点心,1-沪)和点3(®严-1),kAM=-e\kBN=ex\所以一^=-l,x1+x2=0,所以AM:y-l+eh=一护(x-xj.M(0,eXixL-eXl+1)z所以|AM|=Jxf+(e'1x1)~=Jl+戶•闻,同理=Jl+f’E•|x,|,所以故答案为：0J故忍“=-e"9k©=ez9又AM丄AN=>kAM・/(an=-eVl+A：=一1,得珀+“=0,如图易得AAEMs△BFN,且有|^|=\OE\,所以冬=罔=罔—£\BN\\BF\\OE\而0<tanZAOE<e°=l,所以霧e(O,l).故填：(0,1).\BN\【归纳总结】解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件召+耳=0,消去f变量后,运算即可得解.四、解答题：本题共6小题，共70分•解答应写岀文字说明、证明过程或演算步g17.记s”是公差不为0的等差数列｛©｝的前77项和，若①=：卫屮4=S4.(1)求数列匕｝的通项公式暫;(2)求使S”>色成立的门的最小值•【思路分析](1)由题意首先求得码的值,然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【解析】：⑴由等差数列的性质可得:=5①，则：。严5殆,二4=0,

设等差数列的公差为d，从而有：64=仏一力）仏+〃）=—沪，S4=al+a2+ai+a4=（偽一加）+（q一〃）+。3+（©一〃）=一2〃,从而：-十=-2d,由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：陽=厲+02-3）〃=2〃—6.⑵由数列的通项公式可得：©=2-6=-4,则：s„=hx（-4）+x2=n2-6n,则不等式S”>a”即：n2-5n>2n-6,整理可得：（〃一1）（〃一6）>0,解得:〃<1或“>6,又“为正整数,故〃的最小值为7.［归纳总结］等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为“、b、c,b=a+l,c=a+2..（1）若2smC=3smA,求△A3C的面积;（2）是否存在正整数。,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出Q的值；若不存在,说明理由.【思路分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB,再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知,角C为钝角,由cosCvO结合三角形三边关系可求得整数°的值.【解析】：（1）因为2sinC=3sin4,则2c=2（a+2）=3a，则a=4,故b=5,c=6,（2）显然c>（2）显然c>b>o,若^ABC为钝角三角形,则C为钝角，解得一1V。<3,则0<«<3,由三角形三边关系可得d+c/+l>c/+2,可得。>1,vr/eZ,故d二2.19.在四^Q-ABCD中，底面4BCD是正方形，若AD=2,QD=QA=怎、QC=3.BC（1）证明：平面丄平面ABCD;（2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【思路分析】（1）取4D的中点为0,连接QO.CO,可证0O丄平面ABCD.从而得到面04D丄面ABCD.（2）在平面ABCD内，过0作OT//CD，交BC于T,则OT丄AD,建如图所示的空间坐标系,求出平面04D、平面的法向量后可求二面角的余弦值.因为0A=0D,OA=OD,则0O丄AD,^AD=ZQA=y[S.故00=^/^=2.在正方形ABCD中,因为AD=2,故DO=1,故C0=,因为0C=3,故g=Q02+0C‘，故aQOC为直角三角形且0O丄OC,因为OCC\AD=O,故0O丄平面ABCD,因为QOu平面@4£>,故平面©4D丄平面ABCD.(2)解法一:在平面ABCD内，过0作OT//CD,交BC于T,则OT丄AD,结合(1)中的0。丄平面4BCD,故可建如图所示的空间坐标系.则£)(0,1,0),0(0,0,2),3(2,-1,0),故呢=(-2,1,2),丽=(-2,2,0).设平面0FD的法向量/i=(x,y,z),,取x=l,贝!Jy=1,i耳•BQ=Of-2.r+y+2z,取x=l,贝!Jy=1,i故23.D5y=±23.D5y=±X2.[—+=13“而平面04D的法向量为不=(1,0,0),故cos〈g)=u22二面角B-QD-A的平面角为锐角,故其余弦值为亍•解法二:(浙江王海雷补解)过B作丄QD于点M由(1)可知：平面0AD丄平面ABCD•.•34丄AD.•.朋丄面0AD在AB0D中，BQ=jM+AB，=3,QD=£,BD=2忑coszbqd/^QD—d'左S5心丑2xQBxQD5BQ5即sinZBMA=—=,cosZBMA=-BM33o即二面角b-qd-a的平面角的余弦值为-已知椭圆C的方程为二+冥=l@>b>0),右焦点为尸(血0),且离心率为《.crb"3(1)求椭圆C的方程；(2)设M,/V是椭圆C上的两点，直线MV与曲线F+y2=b\x>0)相切•证明：M,/V,尸三点共线的充要条件是|MN|=*.［思路分析】(1)由离心率公式可得a=V3,进而可得，,即可得解；(2)必要性:由三点共线及直线与圆相切可得直线方程,联立直线与椭圆方程可证=;充分性：设直线MW:y=Ax+b,("<0),由直线与圆相切得b2=k2+l,联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得a/FTF•返匚=荷,进而可得心±1,即可得解.1+3S【解析】：(1)由题意,椭圆半焦距c=且e=-=^，所以a=$a3又夕=/一，=1,所以椭圆方程为#+尸=1;(2)由(1)得，曲线为x2+r=l(x>0),当直线MN的斜率不存在时，直线MN-x=l.不合题意;当直线MN的斜率存在时，设，必要性:若M,/V,尸三点共线，可设直线MN:y=R(x—©)即kx-y-y/2k=0.由直线MN与曲线%-+y2=l(x>0)相切可得===1，解得心±1,Jk2+1TOC\o"1-5"\h\z(2)、3V23可得4.「—6+3=0/所以X]+=,X.•=—-■2"4所以=Jl+1•J(X]+)■-4x,x2=y/3,所以必要性成立；充分性:设直线MN:y=kx+b^kb<0)即也—y+b=0t\b\由直线MN与曲线x2+r=l(x>0)相切可得寻==1，所以b2=k2+ltVF+iy=kx+b联立x2r]可得(1+3疋)F+6肋x+3夕一3=0,联立6kb3戻—3(6kb、l+3k2-4.^141+3L所以=J1+R'・((召+_4(6kb、l+3k2-4.^141+3L=0,所以k=±l,k=-1=0,所以k=±l,k=-1z所以直线MN:y=x-y/2^y=-x+y/2所以k=lb=-迈杯\b=忑所以所以直线MN过点F(V2.0),M./V,尸三点共线，充分性成立;所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.【归纳总结］解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用,注意运算的准确性是解题的重中之重.—种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设才表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=/)=/7(/=0,l,2,3).(1)已知几=0.4,必=0.3，必=0.2,必=0.1，求E(X);(2股Q表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率Q是关于x的方程:p°+pYx+p2x2+必=x的一个最小正实根，求证：当E{X)<\时，p=l，当E(X)>1时，p<l;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【思路分析】(1)利用公式计算可得E(X).(2)利用导数讨论函数的单调性，结合/⑴=0及极值点的范围可得/(.Q的最小正零点.(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【解析】：(1)^(X)=0x0.4+1x03+2x0.2+3x0.1=1.(2)设f(x)=p3^+p2x2+-1)x4-p0,因为P3+P2+A+Po=1，故/(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+pQ,若E(X)<1,则“+2戸+3必<1,故p2+2p3<pQ.=3/V2+2Ax-(/A+/?o+Pi)，因为f(0)=一(卩2+“>+卩3)<°，r(l)=p2+2p3-/?o<0,故广W有两个不同零点心花，且^1<0<1<^2,且xw(yo,xJu(花,4oo)时，/(x)>0；xe(xl9x2)时，f(x)vO;故/(x)在(-迪不),(心+8)上为增函数，在(坷,如)上为减函数，若忑=1,因为/(X)在(耳,+8)为增函数且/(1)=0,而当xe(o,x2)时，因为/(X)在(码,石上为减函数，故/(0>/(兀2)=/⑴=0,故1为p°+Pd+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,若兀>1，因为/(1)=0且在(0,x2)上为减函数，故1为p°+pm+p2x2+/;3x3=x的一个最小正实根,综上，若E(X)<1，则p=l.若E(X)>1，则门+2伐+3几>1，故P2+2p、>Po.此时r(O)=-(p2+po+p3)<O,f(1)=必+2〃3一“>0,故广(对有两个不同零点兀，且兀<0<x4<1,且xw(-oo,七)U(X4，+°°)时,f(x)>0;xe(x5,x4)时,f(x)<0;故/(X)在(-8宀)，(“，+°°)上为增函数，在(“，兀)上为减函数，而f(l)=0,故/(“)vo,又f(O)=Po>O，故f(x)在(0,“)存在一^零点"，且p<\.所以P为Po+P1X+p2X2+/；3X3=X的一1最小正实根，此时P<1,故当E(X)>1时，P<1.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.已知函数f(x)=(x-l)ex-ax2+b.讨论/⑴的单调性；从下面两个条件中选一个,证明：『⑴有一个零点1®—<a<—、b>2a;22@0<ci<^,b<2a.［思路分析］⑴首先求得导函数的解析式,然后分类讨论确定函数的单调性即可；⑵由题意结合⑴中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【解析】：(1)由函数的解析式可得:f'(x)=x(ex-2a),当*0时,若