2021年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷文科数学试题及详细答案

6.6.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）选择题1•已知全集U={1，2,3,4,5}，集合M=心}，N={3,4}，则cu(MUN)=()A.{5}C.A.{5}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设iz二4+3i,A.—3-4iA.—3-4iB.-+4iC.3-4iD.3+4i3.已知命题p:^xwR,sinx<1；命题q:VxgR,elx|>1，则下列命题中为真命题的是（）3.A.B.「pAqA.C.pAC.pA「qD.「(Pvq)xx4•函数f（x）=sin3+cos的最小正周期和最大值分别是（）A.3k和迈D.6兀和2C.6D.6兀和2x+y>4,5•若x,y满足约束条件<x—y<2,则z=3x+y的最小值为（）、y<3，A.18B.10A.18B.10b.£b.£C.D.4C.5kC0S2—C0S2=12121A.2

7.在区间(0,2)随机取1个数，则取到的数小于1的概率为()3A.3A.41C.3B.31D.68.下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+A.y=x2+2x+4C.y=2C.y=2x+22-xD.y=lnx+各lnx9•设函数f(x)=M，则下列函数中为奇函数的是(f(x-f(x-1)-1f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+110•在正方体ABCDC.f(x+1)-1D.f(x+1)+110•在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD】所成的角为兀A.2兀C.4兀B.~3冗D.6x211.设B是椭圆C:—+y2=1的上顶点，点P在C上,则PB的最大值为5A*212.设a主0，若x=a为函数f(x)=a(x—a)2(x—b)的极大值点，则A.a<bB.a>bC.ab<a2二、填空题D.ab>a2D.2c.j513.已知向量a=(2,5)，b=(九,4)，若a//b，则九二x2y214.双曲线才—丁=1的右焦点到直线x+2y-8二0的距离为15.记AABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为<3,B二60°,a2+c2=3ac，则b二.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可)•图①囚②图③图運1图屈某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为求x，y，s2，s2；12判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果s2+s2y-x>2、：飞0壬，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).18•如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD丄底面ABCD,M为BC的中点，且PB丄AM.证明：平面PAM丄平面PBD；若PD=DC=1，求四棱锥P—ABCD的体积.19•设｛a｝是首项为1的等比数列，数列｛b｝满足b=n.已知a,3a,9a，成等差数nnn3123列.求｛a｝和｛b｝的通项公式；nnS记S，和T分别为｛a｝和｛b｝的前n项和.证明：T<丁.nnnnn220.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.求C的方程，已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值.21.已知函数f(x)二x3-x2+ax+1.讨论f(x)的单调性；求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.22.在直角坐标系xOy中，OC的圆心为C(2,1)，半径为1.写出OC的一个参数方程；过点F(4,1)作G>C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.23.已知函数f(x)=1x-aI+1x+31.当a=1时，求不等式f(x)>6的解集;若f(x)>—a，求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一选择题1•已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2},N={3,4}，则C（MUN）二（）UTOC\o"1-5"\h\z{5}{1,2}{3,4}{1,2,3,4}设iz二4+3i，则z二（）-3-4i-+4i3-4i3+4i已知命题P:3x&R,sinx<1；命题q:VxgR,elx|>1，则下列命题中为真命题的是（）paq「paqpa-iq-（Pvq）答案：A解析：根据正弦函数的值域sinxg[—1,1],sinx<1，故3xgR，p为真命题，而函数y二e^为偶函数，且x>0时，y二ex>1，故VxgR，y二e|x|>1恒成立.则q也为真命题，所以paq为真，选A.xx4•函数f（x）=sin3+cos的最小正周期和最大值分别是（）

B.3兀和26兀和\：'2D.6兀和2答案：解析：f(x)=、；2sin(—+)34f(X)max-Z2兀厂Tf(X)max-Z3故选C.”x+y>4,5•若x,y满足约束条件<x-y<2,则z=3x+y的最小值为()、y<3，TOC\o"1-5"\h\z181064答案：Cy轴截距最小值.根据y轴截距最小值.根据根据约束条件可得图像如下，z=3x+y的最小值，即y=-3x+z,图像可知y=-3x+z过点B(1,3)时满足题意，即z.二3+3二6.minTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀5兀6.cos2-cos2=(1212A.2B.<3B.<3丁CPD.答案:D解析:・•.选D.兀5兀兀/兀兀、兀.兀・•.选D.cos2—cos2=cos2—cos2(一)=cos2—sin2=cos—121212212121267•在区间（O,*）随机取1个数，则取到的数小于1的概率为（3TOC\o"1-5"\h\z4231316答案:

解析：可知取到的长度范围在区间（0,2）随机取1个数，可知总长度d二2，取到的数小于1可知取到的长度范围1”1、出32d—，根据几何概型公式P————,・••选B.3d1328.下列函数中最小值为对于C，y对于C，y—2x+22-x—2x+，令t—2x>0，A.y—X2+2x+4B.yB.y—IsinxI+4|sinx|y—2x+22-x4y—lnx+一lnx答案：C解析：对于A,y—x2+2x+4—x2+2x+1+3—(x+1)2+3>3.不符合,对于B，y—Isinx对于B，y—IsinxI+4IsinxI令t—IsinxIg[0,1],4.・・y—t+t根据对勾函数y=1+4=・・・y・・・y—t+寸>2屮-4—2x2—4,当且仅当t—2时取等，符合,min对于D，y—lnx+土lnx令t—lnxgR根据对勾函数yg（-®-4]U[4,），不符合.9•设函数f（x）-i+x，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1

f(x-1)+1f(X+1)-1f(X+1)+1答案：解析：f(X)=匕=-1+丄,+X1+Xf(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x)=为奇函数.X所以选B.1。•在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为A，~2冗亍冗4D6答案：解析：做出图形，卩//必1，所以/pBC为异面直线所成角，设棱长为1.BL，B1P二2込，心亭，BP送BCBC2***+BP2-CP2cosZPBC=11-12BP-BC1*1*1*1*1z>z>X2T11.设B是椭圆C:y+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为5A.2D.2答案:解析:X2方法一：由C:丁+y2=1,B(0,1)则C的参数方程:x=\5cos0y=sin0IPB1=(sin0-1)2+(5cos0)2=\/—4sin2B—2sin0+6答案：答案：答案：答案：12525151PB|2=—4(y+77)2+—，当且仅当y—时1PB1的最大值为丁，故选A.0444042设a丰0，若x—a为函数f(x)—a(x-a)2(x-b)的极大值点，则a<ba>bab<a2ab>a2答案：D解析：ff(x)—2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2—a(x-a)(3x-2b-a)当a>0时，原函数先增再减后增.原函数在f'(x)—0的较小零点时取得极大值.a+2b即a<，即a<ba2<ab.3当a<0时，原函数先减再增后减.原函数在广(x)—0的较大零点时取得极大值.a+2b即a>,a>b,a2<ab，故选D.3二、填空题已知向量a—(2,5),b—(九,4)，若a//b，则九—.答案：85解析：8TOC\o"1-5"\h\za//b可得2x4—5九=—由已知可得5x2y2双曲线才—丁—1的右焦点到直线x+2y-8—0的距离为.

<5解析:x2y213—8I=1的右焦点为(3,0)到直线x+2y—8=0的距离d=f—=.45，12+2215.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为运，B=60°,a2+c2=3ac，则b=.答案：2迈解析：由面积公式S=2acsinB=，且B=60°，解得ac=4，又由余弦定理b2=a2+c2—2accosB，a2+c2=3ac，且b>0解得b=2迈.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）•图①圈②图③图①圈②图③答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC丄平面ABC，pa=pc=、込，BA=BC=<5，AC=2,俯视图为⑤.

俯视图为③，如图(2),PA丄平面ABC,PA=1,AC二AB二J5,BC=2，俯视图为④.(I)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s2和s2・12求x，y，s2，s2；12判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果s2+s2y-x>壬，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).见解析-9.8-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7“x==10；101010.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5y==10.3.10s2=L(0.04+0.09+0.04+0.01+0.04+0.01+0.04+0.09)=—x0.36=0.03610s2=丄(0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0.09+0.04+0.01+0.04)210=—x0.4=0.04.10(2)y—x=10.3—10=0.32S2+S22S2+S2110c'0.036+0.04=2=2U0.0076.•・•则0.3=U0.09>2g076=£0.0304,所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高;没有显著提高.18•如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PD丄底面ABCD，M为BC的中点，且PB丄AM.证明：平面PAM丄平面PBD；若PD=DC=1，求四棱锥P—ABCD的体积.答案：答案：见解析解析：3333答案：答案：19.设｛a｝是首项为1的等比数列，数列｛b｝满足b=n.已知a,3a,9a，成等差数nnn19.设｛a｝是首项为1的等比数列，数列｛b｝满足b=n.已知a,3a,9a，成等差数nnn3123列.求｛a｝和｛b｝的通项公式；nnS记S，和T分别为｛a｝和｛b｝的前n项和.证明：T<丁.nnnnn2答案：见解析解析：设｛a｝的公比为q，则a=qn-1，nn因为a，3a，9a成等差数列，所以1+9q2=2x3q，解得q=11233故a=G)n-1n3S=

n1-丄3]辛=-(1-丄)1123n3又b=-，则T=-+-+-+…+n—1n+-3n—13n11123两边同乘怎，则T=++++33n323334n—1+3nn3n+1两式相减，得2T3n11111n=—++++■■•+——33233343n3n+1(1—)即2T=34—丄=丄(1—丄)-丄3n[13n+123/3n+1331整理得Tn=4-37)—n2x3n2n+32x3n2T—S=2(3—nn42n+32x3n)-2(1-3)=-4n+32x3n20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.求C的方程，已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值.

见解析解析：(1)由焦点到准线的距离为P，则P二2.2)设点,y0)，Q(xQ,yQ)抛物线2)设点,y0)，Q(xQ,yQ)F(1,0).・・•PQ=9QF.(xQ(xQ-手,丁y0)=9(1-xQ，-yQx-畧=9-9xQ4<y-y=-9xQ09+墨x=4Q10y=益Q10yy11则k=」Q=0一=<=OQxQ9+222+召24y40・•・直线OQ斜率的最大值为1.21.已知函数f(X)=x3-x2+ax+1.1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.答案：见解析解析：(1)f'(x)=3x2-2x+a(i)当A=4-12a<0，即a>3时，ff(x)>0恒成立，即f(x)在f(x)在xgR上单调递增.(ii)当A=4-12>0，即a<1时，f'(x)=0解得，x=，x=1+丁冃3132f(x)在(f(x)在(―乂,1—\-1—3a)丿，(土户，+Q单调递增，在(斗至，土Q)单fl-yfl+3a.(-叫§)一小一％31-71-3^1+小一虫(3'3)31+J1—3tS〔3严)广⑴+0—0+单调递増极大值单调递减极小值单调递増调递减，综上所述：当a、3时，f(x)在R上单调递增；当av3时，f(x)在)单调递减.1—\：1—3a1+\1+)单调递减.②当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-4)，化简为kx-y-4k+1=0,|2k-1-4k+1|此时圆心C(2,1)到直线的距离为d==r=1，化简得21k1=k2+1,两边平方有4k2=k2+】，所以k=^-3代入直线方程并化简得x-空3y+"3-4=0或x+y-弋3-4=0化为极坐标方程为5'^pcos0-J3psin9=4--J3opsin(9+——)=4-、、[36或pcos9+J3psin9=4+£3opsin(9+—)=4+J3.623.已知函数f(x)=1x-aI+1x+31.(1)当a=1时，求不等式f(x)>6的解集;(2)若f(x)>-a，求a的取值范围.答案：见解析解析：当a=1时，f(x)>6o|x-1|+|x+3|>6，当x<-3时，不等式o1—x—x—3>6，解得x<-4；当—3<x<1时，不等式o1-x+x+3>6，解得xe0；当x>1时，不等式ox-1+x+3>6，解得x>2.综上，原不等式的解集为(―卩―4]U2+8).(2)若f