2023年高三复习专项练习：第42练　平面向量的概念及线性运算

专题5平面向量与复数

第42练平面向量的概念及线性运算

基础对点练

考点一平面向量的概念

1.设非零向量。，8满足|a+臼=|a—臼，则（）

A.aLbB.|a|=|Z>|

C.a//bD.|a|>|6|

答案A

解析方法一利用向量加法的平行四边形法则.

在。ABCQ中，设还=a,AD=b,

由|a+臼=|a—加知，|启|=|加|,

从而四边形ABCD为矩形，

5PABLAD,故

方法二V\a+b\=\a-b\,

/.\a-\~b\2—\a—b\2,

:.J+廿+2a-b=a2-\-b2—2a-b,

Aa-i=O.

2.（2022•成都适应性考试）设。是非零向量，人是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.a与相的方向相反

B.。与方。的方向相同

C.\—Xa\^\a\

D.|一痴闫加

答案B

解析当A>0时,a与相的方向相同，A错;a与前。的方向相同，B正确；当囚<1时

C错；|一〃|=囚|。|,D错.

3.如图所示，在正六边形ABCDE尸中，威+H>+谆噂于（）

DE

BA

A.（）B.BE

C.ADD.CF

答案D

解析根据正六边形的性质，

易得，BA+CD+EF

=BA+AF+EF

=泳+无=乐

考点二平面向量的线性运算

4.（2022•北京海淀区模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，DC=^AB,BC=CD=DA,DE±AC

于点E,则助等于（）

C^B-^AC

\―►1-►

D-AB+-AC

答案A

解析由题意及图得

DE=^DA+^DC=^（DC+CA）+宏

—*1—►1—*1—►

=DC-^AC=^AB-^AC.

5.（2022・泰安模拟）如图，在AABC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别交直线A8,

AC于不同的两点M,N,若AC=nAN,则/%+〃等于（）

4

N

M

3

A.1C.2D.3

答案C

~*■1-►1―►

解析由题意得AO—AB+QAC

1f1f

=W〃AM+R?AN,

22

又0,M,N三点共线,所以；相+%=1.

即m+n=2.

6.（多选）（2022・襄阳质检）设点M是4ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若而=3魂+：/，则点M是边BC的中点

B.若而=2赢一元，则点M在边BC的延长线上

C.若而=一曲一说，则点M是△ABC的重心

D.若Q/=x油+嬴，且x+y=g,则aMBC的面积是△4BC面积的3

答案ACD

解析若赢+,^，则点M是边8c的中点，故A正确；

若而=2泰一/，即有Q/一施=赢一元,

即前=函

则点M在边C8的延长线上，故B错误；

若赢=一前一血

即届+旬M+丽=0,

则点M是△ABC的重心，故C正确;

如图，AM=xAB+yAC,

且x+y=3.

可得2启=21赢+2）翁,

设4N=2AM

则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的热故D正确.

考点三共线定理及其应用

7.已知筋=a+5b,肝=-3。+6"CD=4a-b,则（）

A.A,B,。三点共线

B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线

D.A,C,。三点共线

答案A

解析由题意得砺=诙+而=。+55=嘉，又砺，行有公共点8,所以A,B,。三点共

线.

A

8.（2022•德州模拟）已知以=,而+］无，若A,B,C三点共线，则区为（）

的

221

A-B.二C-D.2

352

答案C

解析'.'^-PB+tPC,且A,B,C三点共线，

2

则

解得T，

-►2-A1—►

即B4=§P8+yC,

即:（属一两）=|（PC-PA）＞

即2瓦1=彳乙

Tf1

ITABI2-

H.a

9.（多选）（2022.深圳模拟）设a,b是不共线的两个平面向量，已知PQ=a+sinab,其中

aG（0,2兀），QR=2af若P,Q,R三点共线，则角a的值可以为（）

媚B-T啜D岁

6666

答案CD

解析因为“，》是不共线的两个平面向量，所以2a—bWO.即原W0,因为P,Q,R三点、

共线，所以的与原共线，所以存在实数2,使户。=2原，所以a+sin。功=2M—乃，所以

1=22,解得sina=—g.又a£(0,2兀),故a的值可为f或9A

sina=­A,oo

10.（2022•青岛模拟）已知m。不共线，6A=a,OB=b,OC=c,历=d,OE=e,设WR,

如果3a=c,2b=d,e=t（a+b）,若存在实数1使C,D,E三点在一条直线上，则/=.

答案!

解析由题设知，CD=d—c=2b—3a,

CE=e—c=(t-3)a+协,

又C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得无=人而,

即Q—3）。+加=—3ka~\~2kb,

整理得。一3+36。=（2%一。儿

因为a,b不共线，

t—3+3左=0,

所以有解得

2J=0,

能力提升练

11.如图，在直角梯形A8CD中，AB//DC,ADLDC,AB=2AD=2DC,E为8c边上一点,

且病=3说，F为AE的中点，则而等于（）

DC

C.一涉+领D.一颖+汕

答案c

解析如图，取A8的中点G,连接。G,CG,易知四边形。CBG为平行四边形,

AG13

所以反'=(5b=Zb—危=Zb一我,

~~►—►―►2―

所\^AE=AB+BE=AB+-BC

=赢+|(而-3财=|油+|病，

—►—►—►1―A-►

所以BF=A尸-AB=pE-A8

=乜抽+痴）-AB=-IAB+\AD.

2K33733

12.（2022・湖南师大附中月考）如图，在平面四边形A8CO中，已知ZVlBC的面积是△ACD的

面积的3倍.若存在正实数x,y使得启=《一3讷+（1-；）屐）成立，则:+：的值为（）

A.10B.9C.8D.7

答案A

解析如图，连接8。，设AC与BD交于点O,过点8作BELAC于点E,过点力作DFX.AC

于点F.

若△ACB的面积是△AOC的面积的3倍，则3DF=BE.

根据相似三角形的性质可知，3DO=OB,

所以3（5^+最））=亦+赢，所以前＞=；b+沥＞.

设彳^=流=4嘉+当力.

44

因为就=g—3）曲+（1病，

所以1」=3（1—3）,所以3+1=10.

y\r/xy

13.已知。，E,F分别为△A3C的边BC,CA,A8的中点，且诙=a,CA^b,给出下列命

题：®AD=^a~b；®BE=a+^b；③#=一、+；岳@Af）+BE+CF=0.

其中正确命题