2023年高三复习专项练习：第56练　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

专题7立体几何与空间向量

第56练基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

基础对点练

考点一基本立体图形

1.（多选）给出下列命题正确的是（）

A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三

角形

C.一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台

D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的

答案BD

解析只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，所以A错；由

圆锥的性质可知B正确；直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与

一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以C错；

由圆柱的定义可知D正确.

2.（多选）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的面

积可能为（）

A.16B.64

C.32D.无法确定

答案AB

解析根据题意，正方形的直观图如图所示，

则原正方形的边长为AB=A'B'=4,

所以该正方形的面积5=4X4=16；

若直观图中平行四边形的边A'D'=4,

则原正方形的边长为A£»=2A'D'=8,

所以该正方形的面积5=8X8=64.

3.（2022•上海市徐汇区模拟）在四面体ABC。中，AB=BC=CA=\,D4与直线AB,C4均垂

直，且。4=小，一只蚂蚁从AABC的中心沿表面爬至点D,则其爬过的路程最小值为（）

A返R返+立

A.3B.2十6

「还D返

J33

答案A

解析因为D4J_AC,

A8CAC=A,AB,ACU平面ABC,

所以D4_L.平面ABC,又D4U平面D4C,所以平面D4CJ_平面ABC,

将底面ABC以AC为轴旋转，旋转至平面D4C与平面ABC共面，且平面D4C与平面ABC

位于AC的异侧，如图，点。为△ABC的中心，此时0。的直线距离即为最短距离，

D

设。到直线AC的距离为d,

则d="十一曲J，

所以。。=胡》+（小+*）=隼

考点二表面积与体积

4.正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2小，则它的表面积为（）

A.4（3小+4）B.12（小+2）

C.12（2巾+1）D.3（小+8）

答案B

解析正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2小，

则高为产叱2小）2-（2义2）2=2,它的表面积为S忌+6S.=2X6X；X2X2Xsin；+

6X2X2=125+24=12（75+2）.

5.（2022•苏州模拟）陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之

一.传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽.中国是陀螺的老家，从中国山

西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺.如图，一个正放的陀螺，下半部分为圆锥,

上半部分为同底圆柱.其总高度为8cm,圆柱部分高度为6cm,已知该陀螺由密度为0.7g/cm3

的木质材料做成，其总质量为70g,则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为（）

A.2.0cmB.2.2cm

C.2.4cmD.2.6cm

答案B

解析由题意知该陀螺由密度为0.7g/cn?的木质材料做成，其总质量为70g,

可得该陀螺的总体积为7言0=1OCXcnP）,

设底面半径为r,则兀/X6+$，2x（8-6）=100,

解得22.2（cm）.

6.某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，正方体ABC。-A内接于这个圆锥的

内切球，则该圆锥的体积与正方体ABCQ—ABiG。的体积的比值为（）

A.4兀B.邛WtC.4y[3itD.24小兀

答案B

解析根据题意，设圆锥的底面半径为r,

则2口=4兀，得r=2,

・,•圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，

其内切圆半径为4X坐X；=¥，

设正方体的棱长为d则¥乂2=54,得〃==

64

・••正方体的体积为

又圆锥的高〃=、42—22=2小,则体积为嚓，

，圆锥的体积与正方体ABC。一AliGA的体积的比值为罕兀

7.(多选)(2022.济南一中模拟)下列说法正确的是()

A.若球的表面积为36兀cm?,则其体积为36n:cm3

B.正三棱柱底面边长为2,侧棱长为3,则其表面积为18

C.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm，则其表面积为(6OJ5+

24-721)cm2

D.正四棱锥的底面边长为3ML侧棱长为5,则其体积为24

答案ACD

解析对于A,设球的半径为R,

因为球的表面积为36ncm2,

可得4兀代=36兀，解得R=3cm,

44

所以球的体积丫=铲/?3=铲乂33=36兀(cnP),

所以A正确；

对于B,因为正三棱柱底面边长为2,侧棱长为3,

可得其表面积S=S5E+SM=2义乎X22+3X2X3=2方+18,所以B不正确；

对于C,正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,

可得正六棱台的斜高//'=<21cm,

则上底面面积为Si=6X乎X22=8'3(cm2),下底面面积为S2=6X9X6?=54小(cm2),

侧面积为S3=6xgx(2+6)X，Ii=24#T(cm2),

2

所以六棱台的表面积5=51+52+53=(6()73+24^21)cm,所以C正确；

对于D,由正四棱锥的底面边长为3W，可得对角线长为6,又由侧棱长为5,所以正四棱锥

的高/i川52—32=4,

所以体积y=〈S/2=gx3陋X36X4=24,所以D正确.

8.已知正四棱台两底面边长分别为4cm,8cm,侧棱长为8cm,则它的侧面积为cm2.

答案48仃

解析作出正四棱台的一个侧面，如图，

AED

设E,尸分别为AO,BC的中点,

过。作。G_LBC于点G.

由题知A£)=4cm,BC=8cm,CD=8cm,

#DE=2cm,FC=4cm,解得GC=2cm,

在RtADGC中，DG=782—22=2代(cm),

即斜高为24话cm,

所以所求侧面积为4X1X(4+8)X2V15=

48-\/T5(cm2).

9.如图所示，在三棱柱ABC—AiSG中，若E,尸分别为A8,AC的中点，平面EBCiF将

答案7：5

解析设三棱柱ABC—43G的高为九底面积为S,体积为匕则丫=%+匕=5/?,

因为E,F分别为AB,AC的中点，

所以%：丫2=7:5.

10.(2022・连云港模拟)市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上

方可以看作一个圆锥组成的组合图形，经过测量，圆台上底面的半径为4cm,下底半径为

2cm,深为6cm,上方的圆锥高为9cm,则此冰激凌的体积为cm3.

答案104兀

解析设圆台上底面半径n=4cm,下底面半径ri—2cm,圆台的体积丫|=3兀(外+*+

rir2)X/j|=17t(16+4+8)X6=567t(cm3),

圆锥的体积吻=；兀义片X〃2=%X16X9=487t(cm3),

所以冰激凌的体积V=56兀+48兀=104兀(cap).

—能力提升练

11.(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台002,在轴截面A8CQ

中，4B=AO=8C=2cm,且C£)=2AB,下列说法正确的有()

A.该圆台轴截面ABCO的面积为3小cm?

B.该圆台的体积为“?7tcm3

C.该圆台的母线A£>与下底面所成的角为30。

D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm

答案ABD

解析由AB=AD=BC=2cm,且C£>=2AB,

可得CC=4cm,高OQ2=N4―仁斗=小cm,则圆台轴截面48co的面积为4X(2+

4)X巾=35(err?),故A正确;

圆台的体积丫=上:(1+4+2)*小=4Xr(cm3),故B正确；

圆台的母线40与下底面所成的角为NAD。，其正弦值为登，

所以乙4。0|=60。，故C错误；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,侧面展开图的圆心角为。

27t-2

=-4~=lt9

设AD的中点为P,连接CP,

可得NCOP=90。，0C=4cm,OP=2+l=3(cm),

则CP=、42+32=5（cm）,所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5cm,故D

正确.

12.（多选）（2022・济南模拟）如图所示，正方体A8CD—A'B'C'的棱长为1,E,尸分别

是棱，CC'的中点，过直线"的平面分别与棱5夕，DD'交于点M,N,以下四个

命题中正确的是（）

A.WEF=0

B.\ME\=\NE\

C.四边形MENF的面积的最小值与最大值之比为2:3

D.四棱锥4-MEN尸与多面体A8C£）-EJWW的体积之比为1：3

答案ABD

解析对于A选项，如图，连接BD,"D',MN.由题意得EF1.BD,EFLBB',BDCBB'

=B,

所以EEL平面BOD'B',又MNu平面8。。'B',所以EFLMN,

因此疝.寿=0,故A正确；

对于B选项，由正方体性质得，平面BCC'B'〃平面A。。'A',

平面8CC'B'n平面EMFN=MF,平面A。。'4'C平面EMFN=EN,所以MF〃EN,

同理得ME〃N尸，又EFLMN,所以四边形MENF为菱形，

因此|丽=|曲，故B正确；

对于C选项，由选项B易得四边形MENF的面积S=：MN.EF,

所以当点M,N分题为BB',DD'的中点时，四边形MENF的面积S最小，

此时MN=EF=正，即面积S的最小值为1；

当点M,N分别与点B（或点夕）,£>'（或。）重合时，四边形MENF的面积S最大，

此时MN=5,即面积S的最大值为半，

所以四边形MEN尸的面积最小值与最大值之比为2:#,故C不正确；

对于D选项，四棱锥A一例EN尸的体积为

V\~Vw-AEF+Viv-AEF=goB-SAAEF=；X也Xj=/；

因为E,尸分别是AA',CC'的中点，所以8W=。'N,DN=B'M,于是被截面MENF

平分的两个多面体是完全相同的，

则它们的体积也是相同的，因此多面体48C£>—EA/FN的体积H-HWABCD-ABCAT=],

所以四棱锥A—MENF与