2023年高三复习专项练习：第63练　立体几何小题综合练

第63练立体几何小题综合练

1.（2022.温州模拟）三个平面将空间分成〃个部分，则〃不可能是（）

A.5B.6C.7D.8

答案A

解析按照三个平面中平行的个数来分类：

（1）三个平面两两平行，如图1,可将空间分成4部分；

（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分;

图1图2

（3）三个平面中没有平行的平面：

①三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分；

②三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空间分成8部分;

③三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分.

综上，"可以为4,6,7,8,不可能为5.

2.（2022・铁岭模拟）设a,£是两个不同平面，,〃，n是两条不同直线，下列说法正确的是（）

A.若m_La,n//P，则a〃4

B.若a_L£,机_1_〃，则"〃尸

C.若mJ/a,m//n,则a_L£

D.若zn_La,〃_L£,a_L^>则机〃”

答案C

解析如图，以正方体为例，

A项，令A8=根，BC=n,平面BCGB|=a,平面AOQ4与平面ASCQi都可以是平面夕,

a与“可能平行也可能相交，A错；

B项，令平面BCGBi=a,平面AiSG2=尸，AB=m,BB尸〃,此时〃与尸相交，B错；

C项，m//a,由线面平行的性质定理，a内有直线/〃〃?，m//n,则〃〃/,〃_L夕，贝!I/_1_夕，则

al.p,C正确;

D项，令平面BCGBi=a,平面AiBiGQi=£,AB—m,BB\=n,但机与"相交，不平行，

D错.

3.正方体ABCO-ABiG。的棱长为2,E是棱。。的中点，则平面AGE截该正方体所得

的截面面积为（）

A.5B.2小

C.4祈D.2#

答案D

解析如图所示，设尸为B8的中点，连接A尸，FCi,EF,设G为CG的中点，连接EG,

GB,

由EG〃AB且EG=AB,得四边形ABGE是平行四边形，则AE〃BG且AE=BG,

又BG〃GF且BG=GF,得AE〃GF且AE=GF,则A,E,C,.F共面，

故平面ACiE截该正方体所得的截面为平面AFQE.

又正方体ABCQ—AiBCQi的棱长为2,AF=FCi=EC尸EA,ACi=2小，EF=2巾，EFLACi,

故S°AFC、E=3乂2小乂2小=2乖.

4.（2022•咸阳模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称

轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥尸一4BC中，A3为底面

圆的直径，C在底面圆周上且为弧A3的中点，则异面直线必与8c所成的角的大小为（）

p

c

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案C

解析如图，设底面圆的圆心为。，分别取AC,尸。的中点。，E,连接PO,CO,OD,OE,

DE,

P

因为△APB是等腰直角三角形，N4PB=90。，

设圆锥的底面圆半径04=1,则%=爽，PC="

则DE^^PA^Y，且DE//PA,

又NAC8=90°,且AC=BC=&,

1近

而OD=,BC=*,且OD//BC,

所以NEDO为异面直线与8c所成的角或其补角，

在RtZ\PC。中，因为E为PC的中点，

16

所以OE=；PC=苧，

所以△OOE是正三角形，即异面直线刑与8c所成的角为60。.

5.（2022•北京二中模拟）如图，四边形A8CC是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A,B的一

点，则下面结论中错误的是（）

A.AE±CE

B.BEIDE

C.OE_L平面BCE

D.平面AZ)E_L平面BCE

答案C

解析因为四边形ABC。是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BC,都是母线，

又E是底面圆周上异于A,B的一点，于是得AELBE,而BCL平面ABE,AEU平面4BE,

则BCLAE,

因为BCnBE=8,BC,BEU平面BCE,则AE_L平面BCE,CEU平面BCE,因此得AE_LCE,

同理，BELDE,A,B正确；

点。不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE,QE是两条不同直线，若。E,平

面BCE,因为AEJ■平面BCE,

与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，C不正确；

因为AE_L平面8CE,而AEU平面ADE,于是平面AZ)E_L平面BCE,D正确.

6.设正四面体A8C。的棱长为a,E,F分别是BC,A。的中点，则万的值为()

A.%2B.%2

C.a2D.坐a?

答案A

解析由题意，正四面体48。如图所示，

因为E,尸分别是8C,的中点,

所以矗=g(赢+元)，AF=^AD,

又因为正四面体ABC。的棱长都为a,所以〈赢，AD)=(AC,AD)=60°,

-A-A1-A-A1-A1-A-A-A-A|

故AEAF=2(AB+4C)5AO=a(ABAO+ACAO)=4(a2cos60°+a2cos60°)

1,

=4a-

7.已知三棱锥A—BCD的外接球为球O,△BCD是边长为3小的正三角形，若三棱锥力一

8CO体积的最大值为名卢，则球O的体积为()

C.10071D.64兀

答案A

解析设三棱锥4一BCD的高为h,当球心0在三棱锥A-BCD的高线上时，三棱锥A-BCD

的体积最大，此时（xTx3小X3小X乎刀=笆卢，解得〃=9.设球。的半径为R,

如图，AM是正三棱锥的高，BM=,X坐X3，§=3,OB=OA—R,

则（9—R）2+32=R2,解得R=5,所以球。的体积为去IR3=空兀

A

8.已知在四面体A8CO中，4C=3,其余棱长均为2,则该四面体外接球的表面积是（）

28兀

A.一“B.8兀C.12兀D.32兀

答案A

解析取8。的中点E,连接AE,CE,

在△ACE中，AE=CE=®4c=3,可得NAEC=§.

四面体外接球的球心必在过△A3。和△C8O的外接圆圆心且与所在面垂直的直线上，

设△CB。，△ABD外接圆的圆心分别为。|,01,

作OOil.平面C8O,。。2，平面A8O,则。即为四面体48co外接球的球心，连接0E,如

图，

在RtZ\00iE中，0芯=早，Z0E0i=1,所以0。尸1,

在Rt^OOC中，0C=乎，所以。（？=12+呼＞=/

所以四面体A8C。外接球的表面积为4兀*：=等.

9.（多选）（2022.辽宁六校联考）己知正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角6=30。，侧棱长为

24米，则（）

A.正六棱锥的底面边长为2米

B.正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值吗

C.正六棱锥的侧面积为48平方米

D.正六棱锥的体积为16立立方米

答案BCD

解析由题设，可得如图所示的正六棱锥.G为AB的中点，。为底面中心，则NPG0=6=

30°,且改=PB=PC=PD=PE=PF=2y^,

设PO=h,则尸G=2/i,若底面边长为r,则OA=r,AG=；,

PO2+OA2=h2+t2=20,

PG2+AG1=4h2+^=20,解得PO=h=2,且r=4,

由正六边形的性质知，AB^BC^CD=DE=EF=FA=~=4,A错误;

正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为3,B正确;

S^PAB=^PG-AB=S,故侧面积为48平方米，C正确；

由S正六边形ABCOEF=6X^OGAB=24yf3,故此正六棱锥的体积V=gp06正六他彩ABCDEF=16小，D

正确.

10.（多选）（2022•石家庄模拟）正方体ABCO—4BiG2的棱长为6,M,N为底面4BiGA

内两点，病=筋1+痴5+乂工>。引0,1］）,异面直线BN与CG所成角为30。，则下列结论

正确的是（）

A.CMVBD

B.直线MN与。£>i为异面直线

C.线段长度的最小值为3也一2小

D.三棱锥B—的体积可能取值为16

答案AC

解析由病=筋|+痴后得病=病一后|=义⑷5+47万）=乂73,owawi,

所以点”的轨迹是线段AG,

因为8Bi〃CG,直线BN与CG所成角为30。，所以/B|8N=30。，

所以BN是以BBi为轴，B为顶点，顶角为60。的圆锥的母线，该圆锥侧面与上底面

的交线为以8为圆心，88tan30。=2正为半径的圆在正方形AbBiG。内的圆弧，即为点N

的轨迹.

因为A4|_L平面ABC。，BOU平面ABC。，则A4|_LBO,又BQ_LAC,A41nAe=A,AA,,

ACU平面ACCtAi,

所以BZ）_L平面AACiC,而CMU平面A4C1C,所以BO_LCM,A正确；

在平面ASG。内作直线与线段4G,和N点轨迹圆弧分别交于点M,N,则。Q与MN

相交，B错；

田到直线AiG的距离是乎X6=3近，所以MN的最小值为36一2小，C正确；

设N点轨迹圆弧交BICI于点P,在正方形AISCQI中知P到直线AC的距离等于N到Ai例

距离的最大值，此最大值为坐X（6-2g）=36一水,

因此SAsAiMW的最大值为^X（3吸一#）X6a=18-肘5,

三棱锥B-4MN体积的最大值为:X（18—6^）义6=12（3一小）＜16,D错.

11.（2022・唐山模拟）圆台的轴截面上、下底边边长分别为2和4,母线长为2,则圆台的体积

是.

7v§兀

答案

3

解析如图所示，不妨设圆台的轴截面为A3CQ,过A,B分别作AELCO,BF_LCD于E,

F,

2

DE4FC

由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此。E=CF=y=l,

；.4E=、22-12=小.

由圆台的体积公式丫=/^（审+/+/?/）,

其中，/?=半=2,「=粤=1,h=AE=y[3,

：.义小XQ2+P+ZXl）：^5.

12.（2022•洛阳模拟）在三棱锥P-ABC中，AB=2#,BC=\,AC=5,侧面物8是以P为

直角顶点的直角三角形，若平面办8,平面ABC,则该三棱锥体积的最大值为.

答案2

解析由题意，AB2+BC2=AC2,则ABLBC,又平面平面ABC,平面平面ABC

=4B,8CU平面ABC,

...BCL平面以B,故要使三棱锥的体积最大，只需S△阴B最大，

此时，在三棱锥尸一A8C外接球截面圆上有雨=P2,又侧面是以尸为直角顶点

的直角三角形，

.,.△/MB为等腰直角三角形，则办=23=2小，

三棱锥体积的最大值为最CS△阴B=：X1x1x2^/3X2^3=2.

13.已知正四棱锥S—ABC。的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,S。所成

的角的余弦值为.

答案由

解析设AC,BD的交点、为O,连接EO（图略），则N4EO为AE,SO所成的角或其补角.设

正四棱锥的棱长为“，则顾=多，EO=^a,OA=^a,

尾+附一。A2

所以ZAEO=

cos2AEEO

14.（2022・西安模拟）已知四面体ABC。的所有棱长均为啦，M,N分别为棱AC,BC的中点,

F为棱4B上异于A,2的动点.则下列结论中正确结论的序号为.

①线段MN的长度为1：

②若点G为线段上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线。都是异面直

线；

③的余弦值的取值范围是0,乎）；

④AFMN周长的最小值为镜+1.

答案①④

解析在棱长为1的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为