2023年高三复习专项练习：第75练　双曲线

第75练双曲线

础对遮练

考点一双曲线的定义

1.已知M（—3,0）,/V（3,0）,\PM\~\PN\=4,则动点尸的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线的左支

C.一条射线D.双曲线的右支

答案D

解析根据双曲线的定义可得|PMTPNI=4<|MN|,所以动点P的轨迹表示双曲线的右支.

2.已知。为坐标原点，设吊，/2分别是双曲线看一丁=1的左、右焦点，尸为双曲线左支上

的任意一点，过点R作/分尸尸2的角平分线的垂线，垂足为“，则|。印等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析延长FiH交P出于点B,/QPB的角平分线为雨，如图，

F\BVPA,所以〃为尸|B的中点，|PFi|=|8P|.在中，。是QB的中点，H为FiB的

中点，可得|。”|=；|86尸如F2lTPFtl）=a=3.

考点二双曲线的标准方程

3.已知双曲线过点P（—2,平）和尸2（华，4）,则双曲线的标准方程为（）

A-9-l^=113g一金=1

昂弋=1D导一卷二1

答案B

22

解析因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为nv（+ny=\（mn<0）.因为

4m=1,

两点在双曲线上，所以

112

~g~m+16〃=1

于是所求双曲线的标准方程为］—f1=L

4.已知双曲线C的一个焦点为(0,5),且与双曲线3―尸=1的渐近线相同，则双曲线C的标

准方程为()

A-/一：=1B.9七=1

C止一q=1D汇一止=1

C-2O51”5201

答案D

解析双曲线m一产=1的渐近线方程为

1

y=±2x,

由题意设双曲线C的方程为

由焦点坐标(0,5)可得序+/=25,①

渐近线方程为y=±1x,

再由C与双曲线亍「-9=1的渐近线相同，所(以11②

由①②可得序=5,〃=20,

所以双曲线C的方程为520-1

考点三双曲线的性质

5.若椭圆吉+「=1和双曲线最一舟=1有相同的焦点，则实数〃的值是()

A.±5B.±3C.5D.9

答案B

解析由题意，可知椭圆盘+9=1的半焦距。|=取二示，双曲线、一太=1的半焦距Q=

、〃2+16,

所以734—〃2=山2+16,则实数〃=±3.

6.双曲线（一/=1的渐近线与圆/+尸—4），+3=0的位置关系是（）

A.相切B.相离

C.相交D.不确定

答案A

解析双曲线的一条渐近线为即/x—y=O,圆的标准方程为f+O-2）2=l,圆心

（0,2）到直线小x—y=0的距离为]=1,所以渐近线与圆相切.

7.（多选）（2022.济南模拟）设吊，尸2分别是双曲线C：高;一看；=1的左、右焦点，且因BI

=4,则下列结论正确的有（）

A.m=2

B.当”=0时，C的离心率是2

C.点Q到渐近线的距离随着n的增大而减小

D.当〃=1时，C的实轴长是虚轴长的两倍

答案AC

解析对于选项A,由双曲线的方程可得a2=m+〃，b2—m—n,所以c2=/+b2=,〃+〃+/W

—n=2m,又因为2c=4,所以c=2,所以。2=2"?=4,可得帆=2,故A正确；

对于选项B,当〃=0时，双曲线C：^—，=1,此时〃2=/=2,02=4,所以离心率e=、^

=也，故B不正确；

对于选项C,由选项A得，,"=2,则/=2+”，b2—2—n（—2<n<2）,渐近线方程为>=令,

又焦点尸i（—2,0）,则点B到渐近线的距离</=[^=人=/工（一2<〃<2）,所以点B到渐

近线的距离随着〃的增大而减小，故C正确；

对于选项D,当〃=1时，a=y/2+l=事,。=<2—1=1,所以实轴长为2小，虚轴长为2,

C的实轴长是虚轴长的小倍，故D不正确.

8.设尸1，尸2分别是双曲线,一方=13>0">0）的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使

=90。,且|AF||=3|ABI，则双曲线的离心率为（)

A坐B.年

Cr^-D.y[5

答案B

解析依据双曲线的定义知|AFi|—|AF2|=2a,

又•••|AQ|=3|AF2|,

...|AFi|=3a,\A.F^—a,

；NQAF2=90°,

...在RtAFMF2中，由（3a）2+〃2=（2c）2,

得e=#=^

9.设双曲线C：/一，=1（">°，匕>。）的左、右焦点分别为B，&，离心率为小.P是C上一

点，且FiPLF2P.若的面积为4,则a等于（）

A.1B.2C.4D.8

答案A

解析设|PQ|=m,\PF^—n,P为双曲线右支上一点，则='〃=4，"L"=2a,小

+层=4/,又6=彳=小，所以。=1.

10.（2022•南京模拟）已知双曲线「一_?=13>0）的离心率6=坐，点Q,尸2分别是它的下焦点

和上焦点.若P为该双曲线上支上的一个动点，则IPQI与P到一条渐近线的距离之和的最小

值为.

答案5

解析双曲线q-fnim>。）的离心率0=坐，

所以e?=l+｝解得a=2,

所以F|（O,f）,F2（O,小）.

双曲线》一f=l的渐近线方程为y=±2x,由P为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线

的定义可得，\PFi\-\PF2\=2a=4,所以|PFI|=4+|PF2|.

设点P到渐近线y=2x的距离为乩贝iJ|PQ|+d=4+|PB|+d,过F2作渐近线y=2x的垂线,

垂足为M,

所以|尸2丘==1>

所以|PQ|+d=4+|PB|+d24+|F2M=5.

所以IPQI与P到一条渐近线的距离之和的最小值为5.

力提升练

11.（2022・邯郸模拟）设Fi,B是双曲线C：y-f=l的两个焦点，。为坐标原点，点P在C

4o

的左支上，且""+且国=2小，则△PQF2的面积为（

)

\OP\|OP|

A.8B.85C.4D.4小

答案A

,OXOP,~F\POP

解析由--------+--------

I两,0>l

（话+不）5>丽5>说

\OP\\OP\

=2小，不妨设a（—2小，0）,6（2小，0）,

所以|。2|=加周，所以点P在以内尸2|为直径的圆上，

即△PF|F2是以尸为直角顶点的直角三角形.

故|PFIF+|PF2|2=|FIE|2,

即IPF1F+IP尸2产=48.

又|P&ITPFil=2a=4,

222

所以16=（|PF2|-|PFI|）=|PFI|+|PF2|-2|PF1||PF2|=48-2|PFI||PF2|,

解得1PBl|PF2|=16,

所以SAPFR=》B||PF2l=8.

12.已知M（孙泗）是双曲线C：上一点，Q,6是双曲线C的两个焦点.若宿加2

<0,则加的取值范围是（

A[-5回

\313）

D/-建，

答案A

解析根据双曲线的标准方程，可知Q（一小，0）,&（小，0）.因为M（xo,州）在双曲线上,

9

所以，一％=1,即焉=2+2%,所以MF「MF2=（一小一M）,一泗）♦（小一沏，一yo）=焉一3+此=

3）/—1.由3j§—i<o得）^<|,解得一坐<yo<坐.

13.（2022•福州模拟）如图所示，从双曲线了一方=l（G>0,b>0）的左焦点"引圆『+尸=〃2的切

线，切点为T,延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|

—阳7]与b~a的大小关系为（）

一AMx

A.\MO\-\MT\>b-a

B.\MO\—\MT\=b-a

C\MO\—\Ml\<b—a

D.不确定

答案B

解析设Fi是双曲线的右焦点，连接尸尸i,OT,

_；

O分别为尸尸，FFi的中点，

又由双曲线定义得，

|PF|-|PQ|=2a,\F7]^\OF]2-\O7]2^b.

故|MO|—IM"=今月人|-|A/f]+|F71=*|P

FIHPQ+|F71=〜

14.已知双曲线C：「一方=l（“>0,b>0）

,过c的