2023年高三复习专项练习：阶段滚动检测(四)

阶段滚动检测（四）

（时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的）

1.设全集U=R,集合A={xW—x—2W0},B={A|lgx>0},则等于（）

A.{x|xW—l}

B.{小<1或x》2}

C.{x|xWl或x>2}

D.{x\x<-1}

答案D

解析因为4=国/一方-2忘0}={川口-2）。+1）忘0}={川-1<%・2},

B={x|lgx>0}={刈gx>lg1}={4r>l},

所以AUB={x|x>一1},所以［0（AUB）={Rx<-1}.

2.若复数Z满足Z（l—i）=l+i,i为虚数单位，则22。23等于（）

A.-1B.IC.-iD.i

答案C

解析由z(l—i)=l+i,

(l+i)(l+i)2i.

得z=(l—i)(l+i)="i

所以z2O23=i2O23=i4X5O5+3=j3=_i_

4

3.“tana=3”是“cos2a=一殳'的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

cos%—sin2a1—tan2cc—84

解析若tana=3,贝ijcos2a=cos2a—sin2a

cos%+sin2a1+tan2a105,

4,,cos2a—sin2a1—tan2a

右cos2a=-5,由cos2«=cos72«-sin『os%+sin

4

可得tana=±3,所以"tana=3"是"cos2a=-5”的充分不必要条件.

4.在数列｛如｝中，如=2"+*若对任意“6N*,都有如Ns成立，则实数k的取值范围为()

A.[12,24]B.(12,24]

C.[3,12]D.(3,12]

答案A

解析由题意可知，斯=2〃+(对任意〃CN*,都有的243成立，

当％W0时，可知数列｛小｝为递增数列，不符合题意；

当Q0时，若对任意“GN*,都有斯》俏成立，

4+专》6+专,

a22a3,42,

则.解得

442内,8+上26+/,%<24,

12WZ24,

此时，数列｛斯｝在(1,2)上为递减数列，在(3,+8)上为递增数列，或在(1,3)上为递减数列,

在(4,+8)上为递增数列，故符合题意，

二实数左的取值范围为[12,24].

5.函数共幻=瞿竦的图象大致为()

11R

答案D

解析函数段)=普三的定义域为｛x|x¥l｝,

I'甩

zln|2—%—l|ln|l—x|〜

式2—幻=|l—(2-x)|=HI=於)'

故函数/(x)的图象关于直线x=l对称，排除B,C选项,

,•/@=21n1<0,排除A选项.

6.在下列命题中：

①若向量”，〃共线，则向量a,b所在的直线平行;

②若向量a，8所在的直线为异面直线，则向量a，B一定不共面；

③若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面；

④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数尤，y,z使得p=

xa+yb+zc.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析a与。共线，a,〜所在的直线也可能重合，故①不正确；两条异面直线的方向向量可

通过平移使得它们在同一平面内，故②不正确；三个向量a,力，c中任意两个一定共面，但

它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a,b,c不共面时，空间任意一向量p才能表

示为p=xa+yb+zc,故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.

7.我们知道，函数y="Y）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/（x）为

奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=/U）的图象关于点P（a，6）成中心对称图形的

2x-1

充要条件是函数y=/（x+a）—b为奇函数.根据以上推广，则函数火力=宣丁图象的对称中心

是()

A.(-1,2)B.(-1,0)

C.(1,2)D.(1,0)

答案A

2x_1,2x+2«­12x+2a~1—bx—ab—b

解析.加0=总;pg(x)=7U+a)-/?=«+“+]为奇函数，定

x+a+1

(2—b'ix—3

义域为{x|x#一。一1},关于原点对称，故a=-1,g(x)=-------------，g(x)=—g(—x),

(2—6)L3一（2丁「故b=2,即对称中心为（—1,2）.

X

!og2X—2x,x>0,

8.函数।淄有且仅有2个零点，则正数①的取值范围是（）

sinpr十］>-

(471「47、

Ml,3B-3>3.

陪I）「47

D.

3,3

答案B

解析当x>0时，«r)=log2X-2x,fU)=^2—2,令，(x)=0得*=方焉,

所以当0<x<21n2时，/（无）>°，./（x）=log2%—2x单调递增,

当喘工时，f（x）<。，/U）=log2X—2x单调递减,

由于X=而土=而~5<1，当0令<1时，/U）=log2X—2x<o,

所以7U）极大值=/（5为卜。，即当x>0时，,"）=log2X-2x没有零点.

所以当一兀WxWO时，yU）=sin（x+g）有且仅有两个零点，

由于一TiWxWO时，一兀①+1W5+胃忘号,

令/=cox+*

则函数y=sin（一兀口+9⑼音）有且仅有两个零点,

TT47

所以一2兀v—Tia）+§<—兀，解得Q矛

-47

--

所以正数①的取值范围是3

-3,

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列与不等式有关的命题正确的是（）

A.若〃〃#0且则!

B.若〃，从相均为正实数，且">〃，则

b-vm。

C.若a>b>c且ac<Qy则ch1<ab2

D.若〃>0,/?>0,则（。+!）（匕+£）24

答案BD

解析当。=-1,8=2时满足且MW0,但母，A错；

a,b,机均为正实数，且历>m则——工=丫所以〃/>工，B正确；

a>b>cac<09若/?=0,则不等式仍2<a〃不成立，C错；

当々>0,比>0时，当且仅当4=b=l时等号成立，D

正确.

10.下列说法错误的有（）

A.若〃，儿。成等差数列，则/,廿，d成等差数列

B.若〃,b,C成等差数列,则log2〃，log2b,log2c成等差数列

C.若a,b,c成等差数列，则”+2,h+2,c+2成等差数列

D.若a,Dc成等差数列,则2",2〃,2,成等差数列

答案ABD

解析对于A』,2,3显然成等差数列，但是1,4,9显然不成等差数列，故A不正确；

对于B,0,0,0显然成等差数列，但是log?。，\0g2b,log2c这三个式子没有意义，故B不正确；

对于C,因为a,b,c成等差数列，所以26=a+c,因为2(6+2)-(a+2+c+2)=2匕一。一。

=0,

所以a+2,b+2,c+2成等差数列，故C正确；

对于D,l,2,3显然成等差数列，但是2"=2,2〃=4,2。=8,显然2。,于2。不成等差数列,故D不

正确.

11.(2022・荷泽模拟)已知函数火x)=sin2xsin2x,则()

A.函数7(x)在(0,号上单调递增

B.7(X)max="

C.函数式x)的最小正周期为2兀

D.对任意“GN*,sin2xsin22xsin24x---sin22,,x:^^7

答案ABD

解析V/(x)=sin2xsinlr=2sin3xcosx,

・"(x)=2(3sin2xcos2x—sin与)=2sin2x(3cos2x-sin2x)=2sin2x(4cos2x—1)

=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-1),

-jr27c

f(x)=0在x£(0,兀)上的根为为=§，x2=y,

当(仇与u俘，兀)时，fa)＞o,

当xG仔，引时，/(x)＜。，

...函数外)在(0,穿和管，兀)上单调递增，在俘，曾上单调递减，故A正确;

2

又人工+兀)=5m2。+兀用112(x+7C)=sinxsin2x=fix)9

故函数/U)是周期为兀的函数，故C错误；

w=°,徐惇＞普限信=0(当一限

故兀v)max=平，故B正确；

Vsin2xsin22xsin24x,,*sin22wx

2

=(sin3xsin32xsin34x,,,sin32wx)3

=[sinx(sin2x-sin2x)(sin22.r-sin4x),**(sin22/,-,xsin2nx)sin22nx]3

w(sinxX平X平X…义芈Xsin22"x》

\oooJ

12.正方体ABC。-ABICQI的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC\,8©的中点，贝U()

：s

A.直线OiD与直线AF垂直

B.直线4G与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为1

2

D.点C到平面AEF的距离为w

答案BCD

解析对于A,若。Q_LAF,因为O|QJ_平面ABCD,贝！IDyDLAE,又AEAAF=A,所以

。0_1_平面4£/，则DiDA-EF,贝UC1C±EF,故错误；

对于B,如图所示，

取BiCi的中点H,连接Ai",GH,易知4"〃AE,又AiHQ平面AEF,AEU平面AE尸，所

以44〃平面AEF,同理G4〃平面AEF,

又AiHCGH=H,4H,GHU平面4HG,所以平面4”G〃平面AE凡因为AQU平面AiHG,

所以AiG〃平面AE凡故正确；

对于C,如图所示，

连接Ad,DR因为E,尸分别为BC,CG的中点，贝UEF//ADl9所以A,E,F,9共

面，则截面AEFDi为等腰梯形，又EF=yfi,ADi=2®AE=事,

等腰梯形的高为九=，4£^^^=平，所以等腰梯形AEFG的面积为

9

-

2

EFh=x=f

对于D,因为S&AEF=2,2^2x2^2SAAEC=TECAB=；X1X2=1,且VF-AEC=

,XSAAECXI2

VC-AEF,所以点C到平面AEF的距离为d=—j--------=§,故正确.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

27r

13.已知单位向量小，〃的夹角为行,则依+3〃|=.

答案由

解析由单位向量〃的夹角为年27r，

得加+3川=yjirv+9n2+6mn

=N1+9+6X1X1x(-£)=巾.

14.当。一1时，y=的最小值是.

答案4

解析由x>—1,可得x+l>0.

/+2x+5(Ll)2+2Q—l)+5

可令1=x+l(，>0),即x=，一1,则x+1-

当且仅当f=2,即冗=1时，等号成立.

15.若奇函数人犬)在其定义域R上是减函数，且对任意的x£R,不等式y(cos2%+sin%)+/(sin

x—4)&0恒成立，则a的最大值是.

答案一3

解析不等式式cos2x+sinx)+/(sinx—〃)W0恒成立,

等价于Xcos2x+sinx)W—/(sinx—恒成立，

又・・7(»是奇函数,

—/(sinx—a)=y(­sinx-\-d),

，原不等式转化为Reos2x+sinx)(/(—sinx+〃)在R上恒成立，

V函数火x)在其定义域R上是减函数，

/.cos2x+sin-sinx+a,

即cos2x+2sinx》a,

cos2x=1—2sin2x,

cos2x+2sinx=—2sin2x+2sinx+1,

当sinx=-1时，cos2x+2sinx有最小值一3,因此aW—3,的最大值是一3.

16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,。为AB的中点，且2〃cosA=bcos

C+ccosB,CD=CB=yJl,则4=,△ABC的面积为.

答案?或60°)

解析因为2〃cosA=AcosC+ccosB,

即2sinAcosA=sinBcosC+sinCeosB

=sin(3+C)=sinA,

1TT

所以cosA=],4£(o,71),所以A=,

过点C作CE_LAB于点E,因为CD=CB=巾,由三线合一得，E为BZ)的中点，

设AC—y,AO=£>B=x.则DE=EB=^,AE=苧，由勾股定理得，CE=-\jBC2—7,

因为A=],所以tanA=.£>==A/3,解得x=l,所以AE=2，AC=2.AE=3,AB—

T

2x=2,所以S&^c=gABACsin1=3X2乂3义坐=斗士

四、解答题（本题共4小题，共40分）

17.（10分）在①«x）的图象关于直线工=若对称，②/（x）=cosox一小sincox,③/（x）勺（0）恒成

立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的/存在，求出口的值，若切不

存在，请说明理由.（注：若多选按第1个计分）

设函数/U）=2cos（s+“o>0,0<衿3,,是否存在正整数”，使得函数

危）在［。，,上是单调的？

57r

解若选①，令GX+9=E,AEZ,代入x=蕊，

5兀

解得9=ht—?■,kWZ,

因为oWeW^,所以当&=1时，0=袭，

所以./（x）=2cos（3X+，

„「八JtT,,Tt「兀71（0.兀

当XG［O,句时，s+胪［不—+gj-

若函数段）在［o,上单调，则有詈+卜，

解得0〈①痣，

7T

所以存在正整数”=1,使得函数人x）在|_0,小上是单调的.

若选②，y（x）=cos蛆一小sincax=2cos（Gx+§,又OWgW生

所以9=鼻，

八兀i।兀「兀兀①,兀

［o,5」时，口工+/隆万~十卦

若函数於（在［o,,上单调，则有詈+畀兀，

4

解得0<gWy,

所以存在正整数。=1,使得函数40在［o,包上是单调的.

若选③，因为兀¥）Wy（O）怛成立，即y（X）max=y（O）=2cos9=2,所以COS3=1,

JT

因为OWeW］,所以0=0,y（x）=2coscox,

当xW0,5时,①%w［o,啜I，

若函数./U)在［o,，上单调，则有詈Wm

解得0<coW2,

所以存在正整数。=1或2,使得函数於)在［0,1JT上是单调的.

18.(10分)已知等差数列｛A,,｝的首项Ai为4,公差为6,在｛A,,｝中每相邻两项之间都插入两

个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列｛小｝.

(1)求数列｛如｝的通项公式；

⑵若ah，ak2,ak,„…是从｛%｝中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列,

ki=i,比=5,令仇=2成“+2〃，求数列｛儿｝的前〃项和7；.

解(1)设数列｛斯｝的公差为乩

由题意可知，“1=4=4,〃4=A2=4+6=10,

所以田=4+(4—l)Xd=10,

解得d=2,

所以+(〃-l)d=4+(〃-1)X2=2"+2.

⑵设等比数列气，由“，…的公比为q,

所以巴“-4-3"',

又出,=2kn+2,

所以2心+2=4-3”-1,

所以d=2成”+2〃=3"一।,

7],=4X30+8X31+12X32H---\~4n-3"',

37j,=4X3'+8X32+12X33H---F4(n-l)-3n-1+4n-3rt,

4(1—3")

两式相减，得一27；=4X30+4X3i+4X32H---|-4-3,,-1-4/?-3,,=-T―3一4/r3"

1—3

=一2(2〃-1>3〃-2,

所以。=(2〃-1>3〃+1.

19.(10分)已知在正三棱柱A8C—486中，AB=2,其4=小，。为AC的中点.

B

(1)当危=3引时，求证：D£±BCi；

(2)在线段A4上是否存在点E,使平面ABE与平面BED的夹角等于30°?若存在，求出AE

的长；若不存在，请说明理由.

(1)证明如图，连接DG,因为ABC-AiSG为正三棱柱，所以4ABC为正三角形，

又因为。为AC的中点，所以BOLAC,

又平面43C_L平面ACGAi,平面ABCCl平面ACCi4=AC,所以3£)_L平面ACG4,所以

BD1.DE.

f1——►r-

因为AE=/E4i,AB=2,A4i=迅，所以AE=苧，AD=1,

所以在RlZ\ADE中，ZADE=30°,

在RtADCCi中，NGOC=60。，

所以NEDG=90。，即EDLDCi,又8QG£>G=O,DG,BDU平面BDG,

所以ED,平面BDG,又BGU平面8£>G,所以DfiLLBC].

(2)解假设存在点E满足条件，设AE=/z.

取4G的中点。，连接。功，则。。11.平面45C,所以£>DiJ_A。，DDJBD,

分别以D4,05,0。所在直线为无轴,y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(l,0,0),

5(0,小，0),E(l,0,〃)，

所以加=(0,小，0),5E=(1,0,〃)，赢=(一1,小,0),AE=(0,0,〃),

设平面BED的一个法向量为〃]=(即，yi,zi),