高中数学选择性必修二 4.1.1数列的概念与简单表示教学设计

4.1.1数列的概念与简单表示教学设计

课题4.1.1数列的概念与简单单元第一单元学科数学年级高二

表示

教材本节课是2019版高中数学（人教版）选择性必修第二册，第四章《数列》里的内容，这一

分析节课主要学习数列的概念与简单表示。主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、

数列和函数之间的关系等。

数列是刻画“离散”过程的重要数学模型，在日常生活中有着重要的应用。学习数列对

深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占

有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，

更是本节课教学的重点。

数列的概念、通项公式在学习过程中起着承上启下的作用。一方面，在数列的概念的归

纳提炼及具体问题的解析过程中常会用到函数思想。通过学习本章能进一步加深对函数的认

识、深化对函数思想方法的运用；另一方面，它们是本章的后续内容一一等差数列，等比数

列的基础；同时，通过这部分内容的学习，可以使学生强化运算能力、提升分析归纳能力。

1数学抽象：数列的概念与简单表示、数列的分类

逻辑推理：求数列的通项公式

教学2

目标3数学运算：运用数列通项公式求特定项

与4数学建模：数列的概念

核心

5直观想象：数列与函数的关系

素养

6数据分析：学习数列的概念与简单表示、数列的分类及数列与函数的关系，同时类比已学

过的函数模型及其特征，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力

重点数列的概念及通项公式

难点数列的函数特征

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课

东晋诗人陶渊明劝学的故事，广为人知。他曾通过古诗等具体

有名言如下：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；情景引入的情景，激发学

辍学如磨刀之石，不见其损,日有所亏。”生兴趣，引导学

如果每天用精密仪器对“春起之苗”进行测量，生运用数学思

则每天的苗的高都按日期排列，可以组成一个数维，发现问题、分

列。析问题，发展学

问题：什么是数列？生数学抽象、数

学运算、数学建

模等核心素养。

讲授新课

在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据

问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方

法来刻画研究对象。例如：

1,王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身通过具体例子的

高.将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：分析，帮助学生

75,87,96,103,110,116,120,128,138,观察、分析、归

145,153,158,160,162,163,165,168.①纳、总结出数列

记王芳第i岁时的身高为九，那么期=75,的概念。

h2=87,,,,,h17=168.

19尸！：

我们发现，中的i反映162发展学生数学抽

151

153—

了身高按岁数从1到17的顺象、数学建模的

145h—

序排列时的确定位置，即b=ISS核心素养

128

120

75是排在第1位的数，h2=116—

110-

87是排在第2位的数……103

96

87

h17=168是排在第17位的

75

数，它们之间不能交换位置.

所以，①是具有确定顺序

的一列数.由特殊到一般

地研究

2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90,%勺

产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个下注：把满月分

中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：成240份，则

5,10,20,40,80,96,112,128,144,160f从初一到十五

176,192,208,224,240.②每天月亮的可

2X.4S♦1t见部分可用一

(((((<4

个代表份数的

1

■1••、••4

数来表示。

记第，天月亮可见部分的数为其，那么Si=5

s2=10,•••,s15=240.这里，Si中的i反映了月

亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的

确定位置，即Si=5是排在第1位的数，S2=10是

排在第2位的数……s*=240是排在第15位的数，

它们之间不能交换位置.

所以，②也是具有确定顺序的一列数.

3.-|的n次基按1次嘉、2次赛3次累、4

次鼎……依次排成一列数：

2，4，8，16,…⑦

思考

你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺

序的一列数吗？

归纳

上述例子的共同特征是什么？

数列的概念

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数

通过数列概念的

称为数列，数列中的每•个数叫做这个数列的项.

解读，并与集合、

数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1

函数概念作比

项，常用符号由表示，第二个位置上的数叫做这个

较，深化对数列

数列的第2项，用表示……第”个位置上的数叫

概念的理解。发

做这个数列的第n项，用与表示.其中第1项也叫

展学生数学抽

做首项.

象、逻辑推理和

①是按照年龄从小到大的顺序排列的，

数学建模的核心

②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，

素养

③是按幕指数从小到大的顺序排列的，它们都

是从第1项开始的.

数列的一般形式是

a2,…，an,-,简记为｛an｝.

思考：

数列与集合｛%,。2,…，/i｝有什么区别?

提示：

数列集合

各项必须是数集合中的元素可以是数字，

也可以是其他形式

数列中的数是有顺序的。集合中的元素具有无序性，

如1,2,3与2,3,1表如｛1,2,3)=｛2,3,1)

示不同的数列

同一个数在一个数列中可集合中的元素具有互异性，

以重复出现，如1,1,1,-如1,1,1,…组成的集合

只能写为

数列与函数

由于数列｛aj中的每一项an和它的序号”有

下面的对应关系：

序号123n

111I以前我们学过

项由a?…«n…的函数的自变

量是连续变化

所以数歹Maj是从正整数集NY或它的有限子的，而数列是

集｛1,2,…，〃｝)到实数集R的函数，其自变量自变量为离散

是序号n,对应的函数值是数列的第〃项即，记的数的函数

为册=f(n).也就是说，当自变量从1开始，按

照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值

f(l),f(2),f(n),...就是数列｛an｝.

另一方面，对于函数y=J[x),如果(n

N*)有意义，那么

/(I),/(2),...,f(n),...

构成r一个数列｛人〃)｝.

与其他函数一样，数列也可以用表格和⑷象来

表示.例如，数列①可以表示为表4.1-1

*4.1-1

它的图象如图4.1・1所示.

0123456789101112131415161718«

从表4.1-1和

数列的表示:图4.1-1中，你

通过前面的学习，你能用几种方法表示数列？能发现数列①

答案：①一般表示法的，a2,…，an,•••中的项随序号

例如：2,4,6,8,-简记为{2〃}的变化呈现出

②通项公式法（或称为解析表示法）的特点吗？

例如：数列3,6,9,12,-

用通项公式法表示为：an=3n（ne

N,）

③列表法（略）

④图象法（是一群孤立的点）

例如：数列T,1,-1,1,-1,1,—

⑤递推公式法（下一节学习）

与函数类似，我们可以定义数列的单调性.从

第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递

增数列；从第2项起，每一项都小了它的前一项的

数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫

做常数列.

数列的分类:

分类

名称含义

标准

按项有穷数列项数有限的数列

的个

无穷数列项数无限的数列

数

从第圭项起，每一项都

递增数列

大于它的前一项的数列

按项从第2项起，每一项都

递减数列

的变小于它的前一项的数列

化趋常数列各项相等的数列

势从第Z项起，有些项珏

摆动数列它的前一项，有些项小于

它的前一项的数列

数列的通项公式：

如果数列｛aj的第n项an与它的序号n之

间的对应关系可以用一个式子来去小，那么这个式

子叫做这个数列的通项公式.

注：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集

N*或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝为定义域的函数

解析式.

(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一

样，并不是所有的数列都有通项公式.

(3)数列的通项公式不唯一

例如：-1,1,-1,1,…可以写成例题巩固

n

an=sin(rur+今和an=(-l)

例如数列③的通项公式为即=(一犷.显然，

通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可

以写出数列的各项.

例题巩固：

例1根据下列数列｛为J的通项公式，写出数列

的前5项，并画出它们的图象.

,1、n2+n/与、(n-l)7r

a

(1)n—2(2)an—cos2，

解:(1)当通项公式中的n=l,2,3,4,5时,数列

｛斯｝的前5项依次为1，3,6,10,15.

图象如图4.1-2(1)所示.

115F|;二ZTZ

■,一.tt■

■Jz

I61nX_-ttr

।I-rt■

1012345n1

图4.1-2

(2)当通项公式中的n=l,2,3,4,5时，数列｛斯｝

的前5项依次为1,0,-1,0,1

图象如图4.1-2(2)所示.

例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个

通项公式：

(1)1>-->->-…；

234

(2)2,0,2,0,….

解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号

的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的

一个通项公式为

(一1严】

…n

(2)这个数列的前4项的奇数项是2,偶数项

是0,所以它的一个通项公式为

册=(-1严1+1,

注：(-1尸或常常用来表示正负相间

的变化规律.

课堂练习：

1概念辨析

(1)数列｛an｝与an相同吗？

(2)数列斯=/(n)与函数y=f(x)有什么关系？

提示：

(1)数列｛斯｝与册是不相同的.

｛.｝表示数列:a1,a2,a3,…，an,…

而即表示数列｛即｝中的第n项.

(2)当neN*或N*的有限子集时，y=f(x)就是

数列的通项公式，否则，y=/(x)与an=f(n)

完全不同.

y=/(x)的图象是线，而即=/(九)的图象是

y=/(N*)上的点("(D),(2,/(2)),-

2以数列2,4,6,8,10,…为例，你能用几种方

法表示这个数列？

答案：

①通项公式法：an=2n(neN*)

②列表法

n123・・・k・・・

册246…2k…

③图象法

3根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式

]111

①2义4'3义5'4X6'5义7'…；

②-3,7,-15,31,…；

③2,6,2,6,…

2468

④一，一二，-，,

3579

⑤或，V5,2V2,VT1,-

解：

①均是分式且分子均为1,分母均是两因数的

积，第一个因数是项数加上1,第二个因数比第一

个因数大2,Aa=—

"n(n+l)(n+3)

②正负相间，且负号在奇数项，故可用(-1)"来

表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次累减1,

...%=(-1尸(2计1-1)•

③为摆动数列，一般求两数的平均数管=4,

而2=4—2,6=4+2,中间符号用(-1)”来表示.

2,n是奇数

n

an=4+(-l)•2或%=

6,n是偶数

④由题意得数列的通项公式为

斯=(一1严】悬(n€N"

⑤数列即V2,Vs,Vs,VT1,-

据此可得数列的通项公式为即=厮=1.

4已知数列｛an｝的每一项是它的序号的算术平方根

加上序号的2倍.

(1)求这个数列的第4项与第25项；

(2)253和153是不是这个数列中的项？如果

是，是第几项？

解：

⑴由题设条件，知an=gi+2?i.

a4—V4+2x4=10

a2s=