广东省珠海市2022届高三上学期数学期末考试试卷

广东省珠海市2022届高三上学期数学期末考试试卷

阅卷人

、单选题(共8题；共16分)

得分

1.(2分)已知集合4={久|一1<%<2},B=[0,4).则4UB=()

A.(―1,+8)B.(-1,4)C.(0,4)D.(1,4)

【答案】B

2.(2分)若复数z=件,则|z|=()

/一I

A.1B.3C.V5D.5

【答案】A

03则大小关系为

3.(2分)设a=log37T，b=Iog23,c=0.2,a,b,c()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

4.(2分)数列｛5｝满足的=1,a2=2且%+2=%+(—1)”,nWN*,则该数列的前40项之和为

()

A.-170B.80C.60D.230

【答案】C

5.(2分)已知/(%)是定义域在R上的奇函数，且满足+—当x€(0,1)时，/(%)=

2X+1,则/。喻3)=()

A.-ZB.ZC.4D.-4

【答案】A

TT

6.(2分)在AABC中，AB=近，乙4BC=0BC=3,AD为BC边上的高；O为AD上靠近点A的

三等分点，且而=4万+〃正，其中九则；1一〃=()

A.1B.1C.1D.1

【答案】C

7.(2分)双曲线C：5一£=1的右支上一点M关于原点O的对称点为点N,F为双曲线的右焦

点，若MO=OF,/-FMN=则双曲线C的离心率6为()

A.V2B.V3C.V2+1D.V3+1

【答案】D

8.(2分)已知/(x)=/—(a+2)xeXT+(a+l)e2(xT)恰有三个不同的零点，则实数a的范围为

()

A.(0,1)B.(-1,1)C.(0,e)D.(-1,0)

【答案】D

阅卷入

多选题(共4题共8分)

得分

9.(2分)以下结论正确的是()

A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1

B.在检验A与B是否有关的过程中，根据数据算得个的值，个越小，认为“A与B有关”的把握

越小

C.随机变量X〜B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则n=45

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好

【答案】A,B,D

10.(2分)关于函数/(x)=2sin(2x+9,下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移/个单位得到

B.y=f(x)的图象关于直线久=一警对称

C.y=f(x)的表达式可以改写为了㈤=—2cos(2x-公

D.若函数f⑺在[弋，词的值域为[-低,2],则m的取值范围是后,J]

【答案】B,D

11.(2分)已知O为坐标原点，M为平面上一动点，且满足OM=1.若M的轨迹为曲线C,点P

在直线I：2x+y-3=0上，过点P作曲线C的两条切线，A、B是切点.下列结论中错误的为

()

A.曲线C上不存在到直线1的距离为1的点

B.切线长PA的最小值为等

C.直线1上存在点P,使NAPB=50。

D.四边形P40B面积的最小值为1

【答案】A.D

12.（2分）如图，在直棱柱486-4遇停1£）1中，各棱长均为2,Z.ABC=则下列说法正确的是

（）

A.三棱锥儿-ABC外接球的表面积为竽兀

B.异面直线AB1与86所成角的余弦值为/

C.当点M在棱8当上运动时，|MD|+|M4|最小值为川5+28

D.N是平面4BCD上一动点，若N到直线44与BC的距离相等，则N的轨迹为抛物线

【答案】A,C,D

阅卷入

三、填空题供4题；共5分）

得分

13.（1分）非负实数x,y满足2xy-x—6y=0,则久+2y的最小值为.

【答案】0

14.（1分）若函数/（x）=Inx+E在x=1处的切线与直线工+2y—1=0垂直，则。=.

【答案】-1

15.（1分）接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自2021年1月9日起实施全民免费接

种新冠疫苗.截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活

疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种.若5人去接种新冠疫苗，恰

有3人接种同一种疫苗的概率为.

【答案】黑

16.（2分）在数列｛a"中，给定由，且函数/（x）=一an+isinx+（5+2）x+1的导函数有唯一

的零点,则。2一ai=;设函数g（x）=Sx+sin（7rx）一8$（兀%）且0（。）1++…

+g(ci9)=18,则CZ5=

【答案】2；1

阅卷入

四、解答题(共6题；共60分)

得分

17.(10分)等差数列前n项和为S”，且。3+。6=16,59=80

(1)(5分)求数列｛与｝的通项公式；

(2)(5分)设数列｛丁二一｝的前n项和为7\,若7\>条，求n的最小值.

an+lan+215

【答案】⑴解：设等差数列的公差为d,首项为的,则产』=2:16,将%,

所以数列｛Q"的通项公式为斯=2n-l

11111

(2)解：an_J_1an_J_2-(2n+l)(2n+3)-2(2九+1-2n+3)，

7nY)+U)+…=器一2^)

772

由题得3(2n+3)>15,解得">6，

因为nCN*,所以n的最小值是7.

18.(10分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=。(百sinC+cosC).

(1)(5分)求B；

(2)(5分)已知BC=28，D为边AB上的一点，若BO=1,乙4CD=*求AC的长.

【答案】(1)解：,.,a=b(V^sinC+cosC)，，sin4=sinB(旧sinC+cosC)，

即sinBcosC+cosBsinC=V3sinBsinC+sinBcosC，

所以cosBsinC=V3sinBsinC>因为sinC>0,

所以cosB=V3sinB»所以tanB=苧，

因为Be(0,兀)，所以B=看.

(2)解：因为BC=2次，BD=1,4B=1,根据余弦定理得

CD2=BC2+BD2-2BC■BD-cosB=l+12-2xlx26X字=7，CD=V7.

77TT

BDC=+44*.s\x\Z-BDC=sin（a+Z./1）=cosA.

在ABDC中，由正弦定理知，丽繇=品，.•.盥=子，.••cosA=孚，

•*A_2热_CD•_721

•,tsn/1=―■"-==-2~,

19.（10分）为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革,

某高中为了提升教育质量，探索了一种课堂教学改进项目.某研究机构为了解实施新项目后的教学

效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行统计，得到样

本的频率分布直方图，如图所示.

附参考数据：若X〜N伽,a2）,则P（〃—c<XW〃+c）=0.6827；P（〃-2<r<X«〃+2o）=

0.9545；P（〃-3<T<XW〃+3（T）=0.9973.

（1）（5分）若这些学生课堂测试成绩的分数X近似地服从正态分布N（〃，100）,其中〃近似为样

本平均数元（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），求P（64<XW94）；

（2）（5分）为做进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩位于分组

［50,60），［60,70），［80,90）的学生中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数位于

[80,90)的人数f的分布列和数学期望.

【答案】(1)解：根据频率分布直方图得：

x=(55X0.01+65X0.02+75X0.045+85X0.02+95X0.005)X10=74,

由题意知X〜N(74,100),

0.6827+0.9545

P(H-8<X<n+26)

P(64<XW94)=20.8186

（2）解：由于［50,60）,［60,70）和［80,90）的频率之比为：1：2：2,

故抽取的10人中［50,60），［60,70）和［80,90）分别为：2人，4人，4人,

随机变量f的取值可以为0、1、2、3,

「6=°）=昔=+P（f=1）=3=2,

c10c10

P（f=2）=空=喘，P（f=3）=多/

L10L10

f的分布列为:

0123

1131

r

62To30

•',£，（O=0X1+1X1+2X^+3X^=|

20.（10分）如图，在四棱锥P-ABC。中，四边形为平行四边形，P在平面的投影为边

TT

4。的中点O,NABC=5，BC=4,AB=1,PO=3.

（1）（5分）求证：平面POC；

（2）（5分）在线段PB上，是否存在一点E,使得平面POC与平面EOC的夹角的余弦值为呼,

10

若存在，指明点E的位置，若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明：在AOCO中，由余弦定理可得：。。2=cz）2+0。2-2•C。••cos/CZM=

7T

1+4—2x1x2xcos可=3,

0C=V3>.*.0C124-CD2=OD2,CD1OC,

由题易知PO1平面ZBCO,CDu平面4BCD,

：.P01CD,

vocnpo=o,，CDI平面POC,

•.•四边形4BCD为平行四边形,

：.AB//CD,：.AB1平面POC.

(2)解：取BC的中点F,连接OP,则OF,OP,OC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图:

则B(8，2,0),P(0,0,3).C(-V3,0,0)，OB=(V3,2,0),

OC=(-V3,0,0),'BP=(-V3,-2,3),

设丽=4乔=(一百/l,-2A,3A)(0<A<1),

OF=OB+BE=(V3-V3A,2-24,34),

易知平面POC的一个法向量为沅=(0,1,0)，

设平面OCE的法向量为元=(x,y,z),

则(OV-n=-V3x=0

'1州•n=(V3-V3A)x4-(2-2A)y+3/lz=0'

令z=-2得运=(0,冷，-2),

,/一一\|I七I_3同

由题得|cos〈m,n)\=4=解得a=|,

所以当点E为线段BP上靠近点P的三等分点时，满足题意；

故答案为：证明见解析，存在，点E为线段BP上靠近点P的三等分点.

21.(10分)已知椭圆C：《+*l(a>b>0)的长轴长为4,左顶点A到上顶点B的距离为

遮，F为右焦点.

(1)(5分)求椭圆C的方程和离心率；

(2)(5分)设直线1与椭圆C交于不同的两点M,N(不同于A,B两点)，且直线BM_LBN

时，求F在1上的射影H的轨迹方程.

【答案】(1)解：由题意可得：2a=4,a2+b2=5，a2=b2+c2f

可得Q=2,c=用,b=1,

9

所以椭圆C的方程为号+y2=i，

离心率为e=£=堂

a2

2

（2）解：当直线斜率存在时，可设&y=k%+m代入椭圆方程号+产=1，

得：(4/+l)x2+Skmx+4(m2—1)=0.

—8km

x+x=

124fc2+l

设M（%i，%），N（%2，y）'则

24(m2—1)*

X1X

24/C2+1

因为直线BM,BN垂直，斜率之积为一1,所以kBM-kBN=-l，

72

kx/z+Mm-DGi+Ql+C7n-1)

所以々BM“BN-xlx2-

-8km

xi+x二2

24fcz+l

将，代入,整理化简得:(m—l)(5m+3)=0,

4(zn2-1)

%1%2=?

4fcz+l

所以?n=1或m=—­=•

由直线Z：y=kx+my当m=l时，直线1经过（0,1）,与B点重合，舍去,

当m=—5时，直线1经过定点E（0,-|）,

当直线斜率不存在H寸，可设1：x=t，则用（3N（t,4一5

因为kBM,心可=一1，所以」1一3一1Jl-^7+1,解得t=0,舍去.

综上所述，直线1经过定点E（0,

而F在1上的射影H的轨迹为以EF为直径的圆，

其E（0,_|）,F（百，0）,所以圆心（亭，_A）,半径「=争,

2

所以圆的方程为（％_例+@+需=集即为点H的轨迹方程.

22.（10分）已知函数/（x）=eX-ksin（2x）在区间（0,分内存在极值点a.

（1）（5分）求实数k的取值范围;

⑵（5分）求证：在区间（0,*）内存在唯一的/?,使/（/7）=1,并比较0与2a的大小.

【答案】⑴解:函数/（%）=/一依由（2%）在区间（0,今）内存在极值点a,则八%）在（0,今）有零点

a,且在零点a两边符号相反，

由题意/(%)=e%—2kcos2x=cos2x•"^方―2々)，％€(0'5),

乙4*

令g(x)=^，%€(0,9，9’(久)=也嗤翳也>0在久6(0,9恒成立，所以g(x)在区间

(0,9内单调递增，且g(0)=l,/(0)=1-2/c,且当％一与时，g(x)T+8,八x)-+8,可知

2k>1,EPk>|.

⑵证明：要证在区间(0,刍内存在唯一的0使/⑹=1,

只需证九(x)=ex-ksin(2x)-1在(0,*)上有唯一零点0,

则h(x)—ex—2/ccos(2x).

由(1)可知，h(x)在(0,a)上递减，在(a,百)上递增，

又因为xC©,分h(x)=ex-2fccos(2x)>0>即h(%)在%€(今，5)上递增，

综上，心)在(0,a)上递减，在(a,刍上递增，

而九(0)=0>/i(a),h(^)=e2-l>0,故八(x)在(0,舒上存在唯一零点，

故存在唯一的。e(0,.使九⑹=0.

由(1)知心=2kcos(2a)>1,

■JT

/•h(2a)=e2a—/csin(4a)-1=e2a—easin(2a)—1,ae(0,/),

则/(a)=?2a-？叼①(2戊)—1,aG(0,1),

@(a)=2e2a—ea[sin(2a)+2cos(2a)]=ea\2ea-sin(2a)-2cos(2a)],

令t(a)=2ea—sin(2a)—2cos(2a),则t'(a)=2[ea-cos(2a)+2sin(2a)]>0在(0，力恒成立，所

以£(a)在(0,。上单调递增,则£(a)>£(0)=0,则/(a)>0,<p(a)>(p(0)=0,

所以h(2a)>0,即有h(2a)>h(0)=0,h(%)在(a,%)上递增，

则a<B<2a_,所以8<2a.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：89分

客观题（占比）26.0(29.2%)

分值分布

主观题（占比）63.0(70.8%)

客观题（占比）14(63.6%)

题量分布

主观题（占比）8(36.4%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)5.0(5.6%)

解答题6(27.3%)60.0(67.4%)

多选题4(18.2%)8.0(9.0%)

单选题8(36.4%)16.0(18.0%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(68.2%)

2容易(31.8%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1函数的周期性2.0(2.2%)5

2频率分布直方图10.0(11.2%)19

3椭圆的简单性质10.0(11.2%)21

4直线与圆的位置关系2.0(2.2%)11

5占典概型及其概率计算公式1.0(1.1%)15

6等差数列的通项公式10.0(11.2%)17

7直线与圆锥曲线的综合问题10.0(11.2%)21

8独立性检验2.0(2.2%)9

9异面直线及其所成的角2.0(2.2%)12

10两角和与差的正弦公式10.0(11.2%)18

11双曲线的简单性质2.0(2.2%)7

12同角三角函数间的基本关系10.0(11.2%)18

13利用导数研究曲线上某点切线方程1.0(1.1%)14

14正弦定理10.0(11.2%)18

15复数代数形式的乘除运算2.0(2.2%)2

16向量的线性运算性质及几何意义2.0(2.2%)6

17