2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7

专题7.5数列的综合应用（真题测试）

一、单选题

1.（2021•山西•高二阶段练习）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首

创的“隙积木”就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层

比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第〃层货物的个数为“〃，则。22=（）

A.275B.277C.279D.281

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得到a"-4i="+l，再由累加法的到数列的通项公式，进而得到结果.

【详解】

因为q=2,a2-a,=3,a3-a2=4,an-an_x=n+\,

由累加法的到：。“=2+3+4+―+〃+1=若@,所以出2=275.

故选：A.

2.（2022・全国•高二课时练习）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6

个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（）

A.33B.64C.65D.127

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得4,=2。“「1（〃22）,构造等比数列可求出见，从而可求出结果

【详解】

将开始时的细胞个数记为％=2,1小时后的细胞个数记为%=3,2小时后的细胞个数记为4=5,3小时后

的细胞个数记为4=9,……，

由题意可得4=2,当“22时、则

a„-l=2（a„_,-l）,所以

数列｛4-1｝是以2为公比，1为首项的等比数列，所以4-1=2"。

所以4=2”T+1,

所以6小时后细胞存活个数为%=2,+1=65,

故选：C

3.（2022•辽宁葫芦岛•高二阶段练习）设A（4,）表示落在区间［〃,6］内的偶数个数.在等比数歹式4-"｝中，

4=4,%=ii，则a（%）=（）

A.21B.20C.41D.40

【答案】C

【解析】

【分析】

设｛%-"｝的公比为4,根据力和生求出4,从而得4,和肉,再根据A（%）的定义可求出结果.

【详解】

设｛。“一”｝的公比为分贝

所以。“-〃=（4-1）•产=（4_1）.3"T=3",则0“=〃+3",

所以q=4+3,=85.

所以落在区间［4,85］内的偶数共有41个，故。3）=41.

故选：C

4.（2022・四川省高县中学校高一阶段练习（文））已知数列｛〃,,｝满足4=1,陷向=（〃+1）4+1,令b.吟,

若对于任意“eN*,不等式2”<4-2,恒成立，则实数f的取值范围为（）

A.B.（^o,-l］C.（9,0］D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意整理可得%=生+工-一三，即髭-一工，利用累加法可得2川=2--］，结合题意

71+1nnzi+1nn+1〃+1

可得（%）,皿<4-2,,即2V4-2,，运算求解•【详解】

1_a11

1•"叫用=5+i)q+i,则777=中--------------------十——---------

〃(/7+1)nn〃+1

又b〃+1=(%*)+电也-i)+...+/)+4

+...++1=2———<2

H+1

由题意可得：244-2'，则242

：.t<\

故选：D.

5.（2022•青海•模拟预测（理））已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，满足品,＞0,5*,＜（）,若数列｛可｝满

足a」＜°，则加=（）

A.9B.10C.19D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用等差数列的前〃项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.

【详解】

等差数列｛4｝的前〃项和为S“，则儿=4受xl9=19q0＞0,有即＞＞0,

$20=4受X2O=1O（4O+"U）＜O,有知＜-须＜0,显然数列｛4｝是递减的，且4。•即＜0,

因a」amti＜0,所以〃2=10.

故选：B

6.（2022•安徽•巢湖市第一中学高三期中（文））斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子

数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛%｝可以用如下方法定

乂：。”+2=an+l+an，且q=%=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列也｝,则数列｛，｝的前

2022项和为（）

A.2698B.2697C.2696D.2695

【答案】C【解析】

【分析】

根据4=qi+4一2（〃…3,"eN*），4=4=L递推得到数列｛叫,然后再得到数列也｝是以6为周期的周期数

列求解.

【详解】

因为4=a,i+4_2（〃…3,〃eN"）,q=%=1,

所以数列｛叫为1』,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

此数列各项除以4的余数依次构成的数列也,｝为:",2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…

是以6为周期的周期数列，

2022

所以邑m=（1+1+2+3+1+0）=2696.

故选：C.

7.（2016•浙江・高考真题（文））如图，点列｛AJ,｛BJ分别在某锐角的两边上,且

14AM=|4+A+2|，A,WA,+2”M，忸出旦产耳（PLQ表示点尸与Q不重合）

若4=|4里|,s.为纥纥“的面积，则

A.｛S,,｝是等差数列

B'BzBi...B„8m…

B.｛S；｝是等差数列

C.｛4,,｝是等差数列

D.｛力｝是等差数列

【答案】A

【解析】

【详解】S,,表示点A,,到对面直线的距离（设为4）乘以忸,£周长度的一半,

即S”=1纥纥」,由题目中条件可知固4M的长度为定值，

那么我们需要知道儿的关系式,

由于A，a,和两个垂足构成了直角梯形，

那么h.=%+|/\A„|-sin6>,

其中6为两条线的夹角，即为定值，

那么S“=g"+AA』sin，）|B,£j

S,,M=3S+|AA,JsinO）|3Aj,

作差后：5„+1-\=^（|A,A„+l|-sin^）|B„B„+1|,都为定值，所以S.「S”为定值.故选A.

8.（2018•浙江•高考真题）已知4，%，％，4成等比数列，且4+生+%+%=ln（q+%+%）.若%>1，则

A.囚<出,%<%B.a,>a3,a2<a4C.at<a3,a2>a4D.a,>a3,a2>a4

【答案】B

【解析】

【分析】

先证不等式x21nx+l,再确定公比的取值范围，进而作出判断.

【详解】

令/（x）=x-lnx-l,则f（x）=l—!•，令尸。）=0,得x=l,所以当x>l时、尸。）>0,当0<x<l时，/'。）<0,

X

因此/（X）>/（l）=0,.,.x>lnx4-l,

若公比4>0,则2+。2+%+4>4+。2+43>皿4+出+%）,不合题意；

若公比夕工一1,则q+电+%+包=4（l+q）（l+/）«0,

但ln（q+a2+%）=皿4（1+4+4?）]>In4>0,

即q+a2+a3+a4<0<\n{a]+a2+a3）9不合题意;

因止匕一1<9<0,夕2£（0,1）,

22

/.ax>a^=a3,a2<a2q=a4<0,选B.二、多选题

9.（2022・湖北•武汉市第一中学高二期中）数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”（又称“冰雹猜想”）就是

其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复

进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈记正整数即按照上述规则实施第

〃（〃eN）次运算的结果为%,若％=1，则/可能为（）.

A.64B.16C.8D.1

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据题意，利用利用带入检验法对四个选项一一验证即可.

【详解】

利用带入检验法：

斯qa2〃3%%4

选项A6432168421

选项B16842142

选项C8421421

选项D1421421

所以《为64、8、1都符合题意，!为16不符合题意.

故选：ACD

10.（2022・湖北•华中师大一附中模拟预测）记数列｛4｝是等差数列，下列结论中不恒成立的是（）

A.若q+%>0,贝!]4+4>0

B.若4+4<0,则为<。

C.若％<a2,贝ija2>y/a^

D.若q<0,则）3-％）>0【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解.

【详解】

设等差数列伍“｝的首项为外,公差为d,则

对于A,由数列｛4｝是等差数列及4+%>0,所以可取q=La2=0,4=T，所以的+为>。不成立，故

A正确；

对于B,由数列｛%｝是等差数列，所以2%=q+4<0,所以外<0恒成立，故B不正确；

对于C,由数列｛4｝是等差数列，可取4=-3,%=-2,%=-1,所以4〉后不成立，故C正确；

对于D,由数列｛““｝是等差数列，得他-4）（%-05）=-解40,无论为为何值，均有（%-⑷侬-4必。所

以若4<0,贝1］（4一4）（%-4）>0恒不成立，故D正确.

故选：ACD.

11.（2022•黑龙江•哈师大附中高二期中）对于数列｛%｝,定义：b“=a"_；"wN"）,称数列出｝是｛4｝的

“倒差数列下列叙述正确的有（）

A.若数列｛%｝单调递增，则数列也,｝单调递增

B.若心=",”,产%,则数列｛%｝是周期数列

C.若4=1_卜£|”,则数列出｝没有最小值

D.若为=1一,小”，则数列眄,｝有最大值

【答案】BD

【解析】

【分析】

可通过〃x）=x-：的单调性或反例说明A错误；令4=凡一9=「，可推导得到。向=一：,由此整理得

an+2=an,知B正确;分别在"为偶数和〃为奇数两种情况卜，根据｛4｝的单调性可确定｛々｝的单调性和正

负，由此确定最大值和最小值，知的正误.

【详解】

对于A,函数在（T,O）和（0,+8）上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，可知数列｛叫

51313

单调递增，数列间不是单调递增（如则巧=-；+2或ft3=--2=-1）,A错误；

,11

对于B,Q也｝是常数列，.,•可设“--=t,则%----=tf

/A+i

1i(1、

aa+a

„+l----------,.—=(«„+1-n)1+-----=0，

%+ianIa“a“+J

•••｛可｝不是常数列，川-a,产0，；/+—^=°，整理得：

anan+\an

.___1____1__

‘""'2=一£[]•..数列｛4｝是以2为周期的周期数列，BLE确;

①当"为偶数时，4=1-5«0,1）且｛q｝单调递增，，，>1>%,

（h｝=h=1_1__L=2_1=_Z

••也<0且他,｝单调递增，此时国埼'一2一4.1-43-12;

1-----

4

②当〃为奇数时，4=1+£>1且｛叫单调递减，

-

〃>0且出｝单调递减，此时口"r-23~6：

1H-

2

综上所述：｛〃｝既有最大值看5,又有最小值-五7，C错误；D正确.

故选：BD.

H）

12.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛《,｝满足4=28,a„=[2"+«]«„_,（n>2）,neN\数列出｝的前〃

项和为S“，且勿=唾23"+2，%1）-1%（%,,%用），则下列说法正确的是（）

A.2=21

a2

B.qq=16c.数列[况]为单调递增的等差数列

I%"

D.满足不等式S“-5>0的正整数〃的最小值为63

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由生=28和递推公式q,=[2（W+〃卜,i4=8—>4=2,%=168-A选项正确，B选项正确;

明(”22)-&=2(-'>"+〃-上"=2(-')?"+2〃=2〃+2为单调递增的等差数列一C选项不正

an-\a2n-\

确;

〃+2〃+2

b=log.——-->S„=log2丁一>5一〃>62—D选项正确

n〃+12

【详解】

因为%=28,所以心=2（”+3o7=28,所以生=8,

则a2=2(一“・4+冽=8>解得4=2,

4=2(*乌+4%=168,所以幺=21,4「生=16,所以A选项正确，B选项正确;

因为%=[2(7'+"卜所以?+«(«>2),

所以3=2.广+2〃=2〃+2,又〃eN*，

。2〃-1

所以上一笔=21+2-2"=2,〃eN*

a2n-la2n-3

所以出为单调递增的等差数列,

Ia2n-\,

则数列—\不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确;

=2(-'产"+2"+2=2〃+4,

%〃+|

2n+2

则bn=bg2(%+2.)T0g2(。2“•叫)=l°g2""2%,=Jog,

a2na2n+\n+\

c.3.4.n+1.n+2.34"+1/?+2〃+2

S"=屿5+1。叼+…+|%—+1呜R%—X~~X•••X_X=1»g2—>5,

23n〃+1

解得〃>62,又〃eN*,所以正整数〃的最小值为63,所以D选项正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.（2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测）若函数一1|+|〃一2|+|〃一3|+…+|〃—20|,其中

n是正整数，则的最小值是.

【答案】100

【解析】

【分析】

去绝对值，由等差数列求和公式化简可解.

【详解】

易知，要使，＜”＞取得最小值，正整数〃必然在区间口,20］上,

贝厅(〃)=(〃-1)+(〃-2)+―+3+2+1+0+1+2+3+...+(20一〃)=(仁。口；入切+0。二”中；⑪？」

="一21n+210=卜-穿+攀

,.,«eN+,.HO或〃=11时f⑺有最小值100.

故答案为：100

14.(2022•全国•高三专题练习)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿着纸的某条对称轴

把纸对折.规格为12办zx20而z的长方形纸，对折1次可以得到10出7x12加和20而zx&加两种规格的图形，它

们的周长之和为C=96而，对折2次可以得到5出？x12血7,6dmxl0dm,3出zx20d/w三种规格的图形，它们的

周长之和为。2=112必〃，以此类推，则对折5次后能得到的所有不同规格图形的种数为；如果对

折〃次后，那么能得到的所有不同规格图形的周长之和G=dm.

【答案】6128-晟

【解析】

【分析】

设沿着长方形纸长边折叠k(0VZ4”且kwN)次，则要沿着长方形纸片短边折叠次，出现的规格

情况有(〃+1)次，且周长为G=2X|12+6+3+...+12XQ)+20+10+5+…+20x(；)),利用等比数列求和公式

进行求解.【详解】

设沿着长方形纸长边折叠衣(04左45且keN)次，则要沿着长方形纸片短边折叠(5-火)次，故折叠5次

后共出现的规格情况为20x(g)dmx12x(g)dm,A：=0,1,2,3,4,5,即有10面lOdm^dm,

3555,

5dmx—dm,—dm义3dm,-dmx\2dm,一dmx6dm,共6种规格；

2284

同理，对折〃次共有(〃+1)种规格，6=2x(12+6+20+10)=96,C2=2x(12+6+3+20+10+5)=112,....,

Q=2x卜2+6+3+…+12x(g)+20+10+5+…+20x(；)=128-^

故答案为：6»128--

15.(2022•全国•模拟预测)已知/(x)为R上单调递增的奇函数，在数列｛q｝中，4=2(),对任意正整数〃，

/Ki)+/(3-«„)=O,则数列｛4｝的前〃项和S„的最大值为.

【答案】77

【解析】

【分析】

先山题给条件判定数列｛%｝为等差数列，进而求得数列｛%｝的通项公式，利用数列｛•,｝的单调性即可求得

其前〃项和S”的最大值.

【详解】

因为4)=0,且f(x)为R上的奇函数,所以=3).

又f(x)在R上单调递增，所以4M=。“-3,即〃向-““=-3,

所以｛q｝为等差数列，且公差为-3,首项为20,

所以a,,=23-3”，所以q>%>…>%>0>4>%>…，

所以乱最大，且跖=7x20+43x(-3)=77

故答案为77.

16.(2022•湖北•一模)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现

在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫

曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三

角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复

进行这一过程

长为1,则第〃个图形的周长为；若第1个图中的三角形的面积为1,则第"个图形的面积为

【解析】

【分析】

由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解;

由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.

【详解】

记第"个图形为《，三角形边长为边数瓦，周长为。，面积为5“

[有4条边，边长％;鸟有仇=4々条边，边长叼=；4；8有4=4法条边，边长4=（jq；L

分析可知即a“=G[4；2=4%,即么=*4"一’

当第1个图中的三角形的周长为1时，即4=1,々=3

所以L“=a“b”=（g）x3x4"'=（《）

由图形可知日是在每条边上生成一个小三角形,即S.=S“T+〃ix2^a；

即S“-S“।=走xa“20],5।-S„,=—x<?„i2•>L,S-S=—xa2

nn-i4nn-1n-\n-zn-in-ti\»i・4利用累加法可得

Sn-S\=4（a：・b“T。-2+…+%?也）

数列｛4｝是以1为公比的等比数列，数列｛〃｝是以4为公比的等比数列，故上也1是以*为公比的等比

数列，

当第1个图中的三角形的面积为1时，5,=1,即1%2=1,此时速，。,2=生叵，A有仇=3条边,

心4对「俄I-27

则aj•〃,1+4,：也，+…+a,♦4=---------------------=-----------------------

nn—in—\n—zz145

1----

9

所以S“Y=|X1一.），所以s'=|_|x（：）

故答案为：[-T,,---xf-T-1

⑶55⑺

四、解答题

17.(2022・全国•高三专题练习)在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成

等差数列，如：2,4,6,8,...；依次选出来的数可组成等比数列，如：2,4,8,16,....

1

22

344

4688记第〃行第加个数为/(〃，〃[)♦

58121616

(I)若“23,写出)(〃1)，“〃,2),“〃,3)的表达式,并归纳出了(〃,时的表达式；

(II)求第10行所有数的和品).

[答案]([)f(n,l)=n,/(〃,2)=2(〃一1),/(〃,3)=4(〃一2),/(〃,m)=2"i(〃一m+1)；(IDSl0=2036.

【解析】

【分析】

(I)由数阵写出『(〃/)=",/(n,2)=2(n-l),f(n,3)=4(n-2),由此可归纳出/(〃,％)=2=(〃+1).

29

(IDSl0=/(10,l)+/(10,2)+/(10,3)+...+/(10,10)=10+2x9+2x8+-+2xl,利用错位相减法求得结

果.

【详解】

(1)由数阵可知：

f(n,l)=n,f(n,2)=2(n-l),f(n,3)=4(n-2),

由此可归纳出/(",加)=2'"T(n-m+l).

(II)Sio=/(1O,1)+/(1O,2)+/(1O,3)+-+/(1O,1O)

=10+2x9+22x8+…+29x1,

所以2九=20+2葭9+2隈8+-.+2隈1,

错位相减得E。=-10+2+2?+…+2"+2"=TO+=2036.

1-2

18.(2016・四川•高考真题(理))己知数列｛”“｝的首项为1,5“为数列｛4｝的前n项和,5同=恭“+1,其

中q>0,neN\

(I)若2%,%，％+2成等差数列，求数列归心的通项公式；

.V254〃一邛

(II)设双曲线x?-4=l的离心率为e”，且e,=；,证明：q+e,+-+e“>^一-.

呢'33"T

【答案】(I)a,,=2"T(〃wN“)；(II)详见解析.

【解析】

【详解】

试题分析：本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和等基础知识，考查学生的分析问

题和解决问题的能力、计算能力.第(1)问，利用4,=S.+「S”得到数列｛4｝为等比数列，再结合2a2,a?,

az+2成等差数列求出｛4｝的公比q,从而利用等比数列的通项公式求解；第(II)问，先利用双曲线的离心

率得到e“的表达式，再解出｛q｝的公比q的值，最后利用等比数列的求和公式计算证明.

试题解析:(I)由已知，S”产qS.+l,S.2=qS,*i+l,两式相减得到凡好=的川,让1.

又由S?=恭|+1得到a2=qa,,故=如”对所有n>1都成立.

所以，数列｛%｝是首项为1，公比为q的等比数列.从而““=g"T.

由2见，%%+2成等差数列，可得2a3=3%+2,即2/=3q+2,,则(2q+l)(q-2)=0,

由已知,4>0,故4=2.

所以a,=2"T(〃eN*).

(H)由(I)可知，%=/i.

2

所以双曲线3-方=1的离心率4=/+4,2='1+产|).

由62=ji+jq解得q=*

因为1+//T>>qM-D,所以护产7>qi(keN*).

「是q+«2■1---He“>\+qH---\-q"1=——,

q-i

..4"-3"

故q+02+..•+的>?--

bc

19.(2020•浙江•高考真题)已知数列｛bn｝,｛c〃｝中,«i=i=i=^cn=a^-an,c„¥1=-^--c„(neN*).

“”+2

(I)若数列｛加｝为等比数列，且公比4>0,且4+优=6々，求q与｛0〃｝的通项公式；

(II)若数列｛加｝为等差数列，且公差4>0,证明：q+q+…+c“<l+；(〃eN*)

a

i4"T+2

【答案】(I)q=-,a,=——^.x(II)证明见解析.

23

【解析】

【分析】

(I)根据伪+4=6%，求得。，进而求得数列｛1｝的通项公式，利用累加法求得数列｛4｝的通项公式.

(H)利用累乘法求得数列上“｝的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.

【详解】

(D依题意«=1也=4也=，，而々+4=6么，即1+9=6/,由于q>0,所以解得“=；,所以

1

所以勿+2=白，故%+1=卒・％=4・％，所以数列｛%｝是首项为1,公比为4的等比数列，所以c“=4"T.

2〃+i

J-9

所以4+1-4“=C"=4"I(〃N*).所以a“=q+1+4+…+4"2=------,又〃=1,q=l符合，

,,4"-,+2

古父％=--—•

cb

(II)依题意设2=1+(〃—1)4=而+l—d,由于3=广，

C

n"n+2

所以❷-二好(〃22,weN，),

故c.=_S_.5•.…&..幺＜=%%b“fAb、j

%b„b“_\bb,

%T-c2c,4

(1V11、d+\dd+\d

又q=1，inj1+------=-----x—=-----------x-------------------=1,

(d人4b2)d姑2dlx(J+l)

由于d>o,4=l,所以〃向>0,所以（1+1］［1-/-卜1+：.

BPc1+c2+...+cn<14-—,n&N,.

20.（2020•全国•高考真题（理））设数列｛刖｝满足。尸3,。“+|=34-4".

（1）计算。2,as,猜想｛〃〃｝的通项公式并加以证明；

（2）求数列｛2〃°〃｝的前“项和S”.

【答案】（1）%=5,%=7,a„=2n+l,证明见解析：（2）S„=（2n-l）-2B+,+2.

【解析】

【分析】

（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出的,%,猜想得出｛%｝的通项公式，利用数学归纳法证明即可；

（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可.

【详解】（1）

［方法一］【最优解】：通性通法

由题意可得々=34-4=9-4=5,%=3%-8=15-8=7,由数列｛4｝的前三项可猜想数列加｝是以3为首

项，2为公差的等差数列，即为=2〃+1.

证明如下：

当〃=1时，4=3成立；

假设〃=%卜€w）时，氏=2&+1成立.

那么〃=攵+1时，4+i-36-4k=3（2女+1）—4A=24+3=2（k+1）+1也成立.

则对任意的都有勺=2〃+1成立；

［方法二］:构造法

由题意可得。2=3%-4=9-4=5,4=3%-8=15-8=7.由q=3,々=5得出一4=2.一=3%-4多,则

%=3a“_1-4（"-1）（〃22）,两式相减得an+i-a„=3（a„-。，一）-4.令勿="用-a“，且仇=2,所以"=3〃一-4,

两边同时减去2,得2―2=3（%—2）,且〃-2=0,所以"-2=0,即4+「”.=2,又』一4=2,因此｛%｝

是首项为3,公差为2的等差数列，所以M=2”+1.

［方法三］:累加法

由题意可得%=3《-4=9-4=5,4=3%-8=15-8=7.

由4“=3q_4"得翳一争=_瑞，即争一/=_4"最，争一拿=_8x/,……

祟-碧—)x［(〃±2).以上各式等号两边相加得/一生=-4lxl+2xl+...+(n-l)xl,所

以争=(2"+1>".所以q,=2〃+1522).当〃=1时也符合上式.综上所述，a„=2n+\.

［方法四］:构造法

2a2=3《-4=5吗=3。2-8=7,猜想％=2〃+1.由于a,“=3ali-4〃,所以可设

%”+/1(〃+1)+〃=3(4,+/1〃+4),其中/1,〃为常数.整理得《川=3%+2%?+2〃-/1.故2/1=与,2〃一/1=0,

解得2=-2,〃=一1.所以4用-2(〃+1)-1=3(4,-2〃-1)=〜=3"(4-2'1—1).又6-3=0,所以{4一2〃-1}

是各项均为0的常数列，故4-21=0,即4=2"+1.(2)由(D可知,a„-2"=(2n+l)-2"

［方法一］:错位相减法

S“=3x2+5x22+7x2'+…+(2〃-1).2"-'+(2〃+1).2",①

2S„=3x22+5x23+7x24+---+(2n-l)-2"+(2n+i)-2"+,,②

由①一②得：-S„=6+2x(22+23+---+2,,)-(2n+l)-2,,+l

=6+2x2x(J2)_(2〃+1)-2n+1=(1-2").2'用一2,

1-2

B|JS„=(2n-l)-2),+l+2.

［方法二］【最优解】：裂项相消法

an+,a

2"a„=(2n+l)2=(2n-l)2-(2n-3)2=bn+}-bn,所以S“=2q+2?%+233+…+2%”

,1+I

=(b2-bt)+(b3-b2)+(b4-b3)+---+(&n+1-bn)=bn+l-bt=(2H-1)2+2.

［方法三］:构造法

当“N2时，S“=S,i+(2〃+1)・2"，设S“+(pn+q»2"=5„_,+［p(n-l)+?］-,即S„=S„_,+二P纪尸-2",

诔=2.

则，解得p=Tg=2.

+P

2,

所以S,+(-4〃+2>2"=S“T+T("-1)+2］2I,即｛S,,+(-^+2>2"｝为常数列，而，+(-4+2>2=2,所

以S“+(-4〃+2)­2"=2.

故S“=2+(2〃-l)-2"M.

［方法四］:

因为2"”“=(2〃+1)2"=2〃・2"+2"=4".2"-'+2",令/=〃-2"T,则

f(x)=x+x2+x3+---+x"-------(x*O,l)'

l+ar""-(〃+l)x"

f'(x)=\+2x+3x2+…+nx"~'

(1)2

所以A+&+L+〃,=l+2・2+322+…+〃-2"T=尸(2)=1+“-2向-(〃+1)2".故

叩+〃.向

Sn="'(2)+2+2?+2,+…+2"=2"J(〃+1)2"]+之,；)=(2〃-1)2+2.

【整体点评】

(1)方法•：通过递推式求出数列｛《,｝的部分项从而归纳得出数列｛q｝的通项公式，再根据数学归纳法进

行证明，是该类问题的通性通法，刻于此题也是最优解；

方法二：根据递推式*=3%-4〃，代换得％=361-4(〃-1)(及22),两式相减得4+「4=3(勺-4_1)-4,

设么=4向-4,，从而简化递推式，再根据构造法即可求出",从而得出数列｛4｝的通项公式：

方法三：由。，⑹=34-4〃化简得翁-叁=-瑞，根据累加法即可求出数列｛凡｝的通项公式；

方法四：通过递推式求出数列｛%｝的部分项，归纳得出数列｛4｝的通项公式，再根据待定系数法将递推式

变形成。向+"〃+l)+〃=3(a,+2〃+M),求出从而可得构造数列为常数列，即得数列｛a,J的通项公

式.

(2)

方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；

方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；

方法三：由让2时，S“=S,i+(2w+lA2”，构造得到数列｛S“+(T”+2>2"｝为常数列，从而求事;

方法四：将通项公式分解成27“=(2〃+1)2"=2〃♦2"+2"=4"Qi+2”,利用分组求和法分别求出数列

｛2"｝,｛〃-2"T｝的前〃项和即可，其中数列｛“电"-｝的前〃项和借助于函数

〃x)=x+x2+x3+…十丁二」1二百(XHO,1)的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了

运算.

21.(2022•浙江•杭师大附中模拟预测)数列｛4｝的前n项和为S“，数列"｝满足a=解,(〃eN*),且数列出｝

的前"项和为("T)S“+2n.

(1)求4，%,并求数列｛《,｝的通项公式；

(2)抽去数列｛a,,｝中点第1项，第4项，第7项，…，第3〃-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列｛%｝,

数列匕｝的前"项和为T“，求证：【答案】(1)4=2,々=4,a„=2"

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由6+2a2+3/+…+%=5T)S,,+2〃得出4,七,再由前”项和与通项的关系得出数列｛%｝的通项公

式；

(2)分类讨论”=2A-1,“=2%两种情况，由分组求和法得出?；，再由冬■的单调性得出证明

(I)

由题意得4+2%+3%+…+〃a“=("-1)S"+2〃，①

当〃=1时，4=2：当〃=2时，4+2%=S?+4=q+4+4=>g=4；

当〃22时，a1+2a2+3a3+--.+(n-l)(zn_l=(n-2)5,,..+2(/?-1),②

①一②得，=(〃-1)S“-2)S,i+2=S“+(〃-2)a“+2nS“=2a„-2(n>2),

当”=1时，4=2,也适合上式，所以S.=2a”—2(〃eN*),所以S“y=2。,一-2,

两式相减得q=2a,i(〃N2),

所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以弓=2”.

(2)

数列｛5｝为：22,2\25,26,2S,29,……，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首

项，8为公比的等比数列.

C

所以当〃=2Z—1伙WN")时，Tn=q+C2H-------F=(G+。3■1-----------C2b1)+(。2+。4-----------2k-2)

W+25+..e)+Q*“+”+”号与斤以

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T,，5-8*12.12.8A12诉］加=一7~一亍」23—12=12।《显然午1■是

T„=T„+c„=­--y+23t=------亍，所以

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Tn5-8*125-8*-1255・8’一12’II