2010全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

2010全国硕士研究生入学考试《数学2》真题卷面总分：21分答题时间：240分钟试卷题量：21题练习次数：22次

单选题（共7题，共7分）

1.曲线y＝x2与曲线y＝alnx（a≠0）相切，则a＝（）。

A.4e

B.3e

C.2e

D.e

正确答案：C

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本题解析：

2.设函数z＝z（x，y）由方程F（y/x，z/x）＝0确定，其中F为可微函数，且F2′≠0，则x·（?z/?x）＋y·（?z/?y）＝（）。

A.x

B.z

C.－x

D.－z

正确答案：B

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本题解析：由F（y/x，z/x）＝0得

3.设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则（）。

A.λ＝1/2，μ＝1/2

B.λ＝－1/2，μ＝－1/2

C.λ＝2/3，μ＝1/3

D.λ＝2/3，μ＝2/3

正确答案：A

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本题解析：因λy1－μy2是y′＋p（x）y＝0的解，故（λy1－μy2）′＋p（x）（λy1－μy2）＝0。所以λ（y1′＋p（x）y1）′－μ（y2′＋p（x）y2）＝0。而由y1′＋p（x）y1＝q（x），y2′＋p（x）y2＝q（x），所以有（λ－μ）q（x）＝0。

又因λy1＋μy2是非齐次y′＋p（x）y＝q（x）的解，故（λy1＋μy2）′＋p（x）（λy1＋μy2）＝q（x）。所以（λ＋μ）q（x）＝q（x）。故λ＝μ＝1/2。

4.设m，n为正整数，则反常积分的收敛性（）。

A.仅与m取值有关

B.仅与n取值有关

C.与m，n取值都有关

D.与m，n取值都无关

正确答案：D

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本题解析：分析过程如下。根据题目有

①对进行讨论：被积函数只在x→0＋时无界。因为

又反常积分收敛，所以收敛。

②对进行讨论：被积函数只在x→1－时无界。因为

且反常积分收敛，所以收敛。

综上，无论正整数m和n取何值，反常积分都收敛，故选D。

5.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：D

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本题解析：

6.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，下列命题正确的是（）。

A.若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s

B.若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s

C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s

D.若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s

正确答案：A

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本题解析：由于向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，所以r（Ⅰ）≤r（Ⅱ），即r（α1，α2，…，αr）≤r（β1，β2，…，βs）≤s。若向量组Ⅰ线性无关，则r（α1，α2，…，αr）＝r，所以r（α1，α2，…，αr）≤r（β1，β2，…，βs）≤s。即r≤s，选A项。

7.设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝O。若A的秩为3，则A相似于（）。

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：D

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本题解析：设λ为A的特征值，由于A2＋A＝O，所以λ2＋λ＝0，即（λ＋1）λ＝0。这样A的特征值为－1或0。由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A～Λ，r（A）＝r（Λ）＝3。

因此

即

填空题（共5题，共5分）

8.曲线

的渐近线方程为

正确答案：y＝2x

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本题解析：暂无解析

9.3阶常系数线性齐次微分方程y?－2y″＋y′－2y＝0的通解y＝

正确答案：C1e2x＋C2cosx＋C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数

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本题解析：暂无解析

10.函数y＝ln（1－2x）在x＝0处的n阶导数y（n）（0）＝

正确答案：－2n·（n－1）！

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本题解析：暂无解析

11.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l＝12cm，w＝5cm时，它的对角线增加的速率为

正确答案：3cm/s

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本题解析：暂无解析

12.

正确答案：3

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本题解析：暂无解析

问答题（共9题，共9分）

13.求函数的单调区间与极值.

正确答案：

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本题解析：函数f（x）的定义域（－∞，＋∞），由于

所以驻点为x＝0，±1。

列表讨论如下：

因此，f（x）的单调增区间为（－1，0）及（1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1）及（0，1）；极小值f（±1）＝0，极大值

14.

正确答案：

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本题解析：

15.设函数y＝f（x）由参数方程

所确定，其中ψ（t）具有2阶导数，且ψ（1）＝5/2，ψ′（1）＝6，已知

求函数ψ（t）。

正确答案：

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本题解析：

16.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3b/2时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg/m3）

正确答案：

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本题解析：

17.

正确答案：

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本题解析：

将以上各式代入原等式

得

由题意，令

解得

由10ab＋12（a＋b）＋8≠0，舍去

故a＝－2，b＝－2/5，或a＝－2/5，b＝－2。

18.计算二重积分

其中D＝{（r，θ）∣0≤r≤secθ，0≤θ≤π/4}。

正确答案：

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本题解析：由题设可知

令x＝sint，则dx＝costdt，0＜t＜π/2，进一步可得

19.设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）＝0，f（1）＝1/3，证明：存在ξ∈（0，1/2），η∈（1/2，1），使得f′（ξ）＋f′（η）＝ξ2＋η2。

正确答案：

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本题解析：证明：设函数F（x）＝f（x）－x3/3，由题意知F（0）＝0，F（1）＝0。

在[0，1/2]和[1/2，1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

二式相加得：

即f′（ξ）＋f′（η）＝ξ2＋η2。

20.设

已知线性方程组Ax＝b存在2个不同的解。

（Ⅰ）求λ、a；

（Ⅱ）求方程组Ax＝b的通解。

正确答案：

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本题解析：（Ⅰ）设η1，η2为Ax＝b的2个不同的解，则η1－η2是Ax＝0的一个非零解，故|A|＝（λ－1）2（λ＋1）＝0，于是λ＝1或λ＝－1。

当λ＝1时，因为r（A）≠r（A，b