2012全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

2012全国硕士研究生入学考试《数学2》真题卷面总分：21分答题时间：240分钟试卷题量：21题练习次数：18次

单选题（共8题，共8分）

1.设an＞0，（n＝1，2，…），Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的（）。

A.充分必要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.既非充分也非必要条件

正确答案：B

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本题解析：由于an＞0，{Sn}是单调递增的，可知当数列{Sn}有界时，{Sn}收敛，也即是存在的，此时有

即{an}收敛。反之，{an}收敛，{Sn}却不一定有界，例如令an＝1，显然有{an}收敛，但Sn＝n是无界的。故数列{Sn}有界是数列{an}收敛的充分非必要条件，故选B项。

2.设函数f（x，y）可微，且对任意x，y都有

则使得f（x1，y1）＜f（x2，y2）成立的一个充分条件是（）。

A.x1＞x2，y1＜y2

B.x1＞x2，y1＞y2

C.x1＜x2，y1＜y2

D.x1＜x2，y1＞y2

正确答案：D

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本题解析：

表示函数f（x，y）关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有f（x1，y1）＜f（x2，y2），故选D项。

3.曲线渐近线的条数为（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：C

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本题解析：

4.

A.（－1）n－1（n－1）！

B.（－1）n（n－1）！

C.（－1）n－1n！

D.（－1）nn！

正确答案：A

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本题解析：结合等价无穷小ex－1～x，运用导数的定义对函数f（x）直接求导，可得

5.设

则有（）。

A.I1＜I2＜I3

B.I3＜I2＜I1

C.I2＜I3＜I1

D.I2＜I1＜I3

正确答案：D

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本题解析：

6.设区域D由曲线y＝sinx，x＝±π/2，y＝1围成，则（）。

A.π

B.2

C.－2

D.－π

正确答案：D

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本题解析：

7.设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）。

A.α1，α2，α3

B.α1，α2，α4

C.α1，α3，α4

D.α2，α3，α4

正确答案：C

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本题解析：由于

可知α1，α3，α4线性相关。故选C项。

8.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：B

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本题解析：

填空题（共4题，共4分）

9.

正确答案：（－1，0）

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本题解析：暂无解析

10.设A为3阶矩阵，|A|＝3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|＝

正确答案：-27

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本题解析：暂无解析

11.

正确答案：1

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12.计算

正确答案：π/4

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问答题（共9题，共9分）

13.求的极值。

正确答案：

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本题解析：

14.证明

正确答案：

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本题解析：

15.

正确答案：

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本题解析：

16.过点（0，1）点作曲线L：y＝lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

正确答案：

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本题解析：

17.已知函数f（x）满足方程f″（x）＋f′（x）－2f（x）＝0及f″（x）＋f（x）＝2ex。

（Ⅰ）求表达式f（x）；

（Ⅱ）求曲线

的拐点。

正确答案：

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本题解析：

18.计算二重积分，其中区域D为曲线r＝1＋cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成。

正确答案：

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本题解析：

19.（Ⅰ）证明方程xn＋xn－1＋…＋x＝1（n＞1的整数），在区间（1/2，1）内有且仅有一个实根；

（Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为xn，证明存在，并求此极限。

正确答案：

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本题解析：

20.设