2018年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题

2018年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题卷面总分：23分答题时间：240分钟试卷题量：23题练习次数：15次

单选题（共8题，共8分）

1.则（）。

A.M＞N＞K

B.M＞K＞N

C.K＞M＞N

D.K＞N＞M

正确答案：C

您的答案：

本题解析：

2.设某产品的成本函数C（Q）可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则（）。

A.C′（Q0）＝0

B.C′（Q0）＝C（Q0）

C.C′（Q0）＝Q0C（Q0）

D.Q0C′（Q0）＝C（Q0）

正确答案：D

您的答案：

本题解析：

3.下列函数中，在x＝0处不可导的是（）。

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：D

您的答案：

本题解析：

4.设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且

则（）。

A.当f′（x）＜0时，f（1/2）＜0

B.当f″（x）＜0时，f（1/2）＜0

C.当f′（x）＞0时，f（1/2）＜0

D.当f″（x）＞0时，f（1/2）＜0

正确答案：D

您的答案：

本题解析：通过举反例以排除错误选项。

A项，在此令f（x）＝－x＋1/2，得到

5.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：A

您的答案：

本题解析：题设矩阵记为X，4个选项矩阵分别记为A、B、C、D。矩阵X、A、B、C、D的三重特征值为1。

6.设A、B为n阶矩阵，记r（X）为矩阵X的秩，（X，Y）表示分块矩阵，则（）。

A.r（A，AB）＝r（A）

B.r（A，BA）＝r（A）

C.r（A，B）＝max{r（A），r（B）}

D.r（A，B）＝r（AT，BT）

正确答案：A

您的答案：

本题解析：记AB＝C，对A、C列分块有

即C中任一列向量可由A的列向量线性表出。所以r（A，AB）＝r（α1，α2，…，αn，γ1，γ2，…γn）＝r（α1，α2，…，αn）＝r（A）。故选A。

7.设随机变量X的概率密度f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且

则P{X＜0}＝（）。

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

正确答案：A

您的答案：

本题解析：

由f（1＋x）＝f（1－x），知f（x）的图像关于x＝1对称，利用特殊值法：将f（x）看成随机变量X～N（1，σ^2）的概率密度，根据正态分布的对称性，P{X＜0}＝0.2。

8.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：B

您的答案：

本题解析：

问答题（共13题，共13分）

9.

正确答案：

您的答案：

本题解析：

10.设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组。若Aα1＝α1＋α2，Aα2＝α2＋α3，Aα3＝α1＋α3，则|A|＝

正确答案：

您的答案：

本题解析：

令P＝（α1，α2，α3），因为（α1，α2，α3）线性无关，所以P可逆。故可得到

所以A与B相似，特征值相等，故|A|＝|B|＝2。

11.

正确答案：

您的答案：

本题解析：

12.差分方程Δ2yx－yx＝5的通解为

正确答案：

您的答案：

本题解析：

13.已知实数a、b满足

求a，b。

正确答案：

您的答案：

本题解析：

14.已知a是常数，且矩阵

可经初等列变换化为矩阵

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求满足AP＝B的可逆矩阵P。

正确答案：

您的答案：

本题解析：

15.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝1}＝P{X＝－1}＝1/2，Y服从参数为λ的泊松分布，令Z＝XY。

（Ⅰ）求Cov（X，Z）；

（Ⅱ）求Z的概率分布。

正确答案：

您的答案：

本题解析：

16.

正确答案：

您的答案：

本题解析：

17.

正确答案：

您的答案：

本题解析：

18.将长为2m的钢丝分为三段，依次围成成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值若存在，求出最小值。

正确答案：

您的答案：

本题解析：设圆的半径为x，正方形边长为y，正三角形边长为z，则有：2πx＋4y＋3z＝2，其中x≥0，y≥0，z≥0。

三个图形面积之和为

利用拉格朗日数乘法，建拉格朗日函数

求解上述方程得到，驻点为

此时三个图形总面积最小，最小面积为

19.已知

求an。

正确答案：

您的答案：

本题解析：

20.数列{xn}，x1＞0，

证明{xn}收敛，并求

正确答案：

您的答案：

本题解析：

21.

正确答案：

您的答案：

本题解析：

填空题（共2题，共2分）

22.设函数f（x）满足f（x＋Δx）－f（x）＝2xf（x）Δx＋ο（Δx）（Δx→0），且f（0）＝2，则f（1）