2023年高三复习专项练习：第64练　空间向量的概念与运算

第64练空间向量的概念与运算

基础对立练

考点一空间向量的线性运算

1.已知空间四边形0A8C中，点M在线段04上，且0M=2A/A,点N为8c的中点，设总

=a,0B=b,OC^c,则而V等于（）

1.1,2„2.1,.1

AA.;：。十二力——二cB.——二〃十二力十二c

223322

-12,J-2।2,1

C.二。一9十二。D.二。十9一二c

232332

答案B

-2

解析因为点M在线段0A上，且0M=2MA,所以0M=§〃，

又点N为8C的中点，所以苏

故血=而一血=,+子一铲=_藜+#>+尹

2.（2022・宜春模拟）设0-ABC是正三棱锥，Gi是△ABC的重心，G是OGi上的一点，且

0G=3GGi,若灰;=x5A+y励+z诙，则（x,y.2）为（）

工1133

A--B-

4444-4

呜rI）

答案A

解析如图所示，连接AGi并延长，交BC于点M,则M为BC的中点,

—►1-A―►I―A—A-A-A2-►|­►-►­►

AM=5(AB+A0=5(OB—204+00,AGi=-AM=-(0B-20A+0C).

：0G=3GGi,.•.dG=3GGi-3(dGl-(9G),

••・云=海

则db=(ddi=((/+/D

=\oA+\oB+\oC,

444

.111

•♦尸“产"z=[

考点二空间向量基本定理及其应用

3.下列命题中正确的个数是（）

①若〃与6共线，匕与c共线，则a与c共线；

②向量dh,c共面，即它们所在的直线共面；

③如果三个向量a,。，c不共面，那么对于空间任意一个向量p,存在有序实数组（x,y,z）,

使得p=xa+M+zc；

④若a,〃是两个不共线的向量，而c=%a+“b（，，“GR且加WO）,则｛a,b,c｝是空间向量

的一个基底.

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①当5=0时，a与c不一定共线，故①错误；

②当a,b,c共面时，它们所在的直线平行于同一平面或在同一平面内，故②错误；

由空间向量基本定理知③正确；

④当“，8不共线且c=%a+〃b（2,且时，a,b,c共面，故④错误.

4.（2022•厦门一中模拟）已知动点。在AABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P,

都有丽=一2丽+5而+相1,则实数机的值为（）

A.0B.2C.-1D.-2

答案B

解析因为所=-2说+5而一，〃正，

动点Q在AABC所在平面内运动，

所以-2+5—m—1,解得nj=2.

考点三空间向量数量积及其应用

5.（多选）已知点P是平行四边形Afi。所在的平面外一点，如果值=（2,-1,-4）,Q）=

（4,2,0）,AP=（~\,2,-1）,下列结论正确的有（）

KAPLAB

B.APIAD

C.亦是平面ABCD的一个法向量

D.AP//BD

答案ABC

解析由题意，向量检=(2,-1,-4),瓶=(4,2,0),崩=(—1,2,-1),

对于A,由成.嬴=2X(—l)+(-l)X2+(-4)X(—l)=0,可得Akh筋，所以A正确；

对于B,由泰仄b=(-l)X4+2X2+(—1)义0=0,所以崩_1病＞,所以B正确；

对于c,由赢且AkrQ),可得向量能是平面ABC。的一个法向量，所以c正确；

对于D,由还是平面ABC。的一个法向量，可得崩，而，所以D不正确.

6.(2022.长治市第二中学月考)如图，60。的二面角的棱上有A,B两点，直线4C,8。分别

在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AC=6,AB=4,BD=8,则CD的长

为()

A.V17B.7C.2布D.9

答案C

解析因为4C_L4B,BD1AB,所以①•赢=0,BDAB=0,因为二面角为60。，所以就•访

=|而一|彷|<os60o=6X8X；=24,即N•命=-24,所以|比|2=加2=(N+施+砺)2=

CA2+^2+Bb1+2CAA^+2CABb+2A^Bb^\CA\2+\AB\2+\Bb\2+2(CAA^+CABb+

ABBD)=36+16+64+0—48+0=68,

所以|无|=2而，即CD的长为2折.

7.已知”=(5,3,1),6=(—2,f,一|),且a与方的夹角为钝角，则实数t的取值范围为

答案J一凯《0)

解析由已知得。•)=5X(—2)+3f+1义(—,)=3/一弓.

因为。与力的夹角为钝角，所以〃6Vo且(〃，b)W180。.

5752

由ab<0,得3Z——<0,所以Z<—.

若a与8的夹角为180。，则存在2<0,使。=油(2<0),

即(5,3,1)=4一2,/,一|),

’5=4•(—2),

所以

尸(-”

解得即且样一去

所以f的取值范围是(一8,II).

考点四向量法证明平行、垂直

8.若直线/的方向向量为。=(1,0,2),平面a的法向量为〃=(-2,1,1),贝")

A.l//a

B./1«

C./Ca或l//a

D./与a相交

答案C

解析Va=(l,0,2),"=(—2,1,1),

.'.an=0,即a±n,

.,.I//a或/Ua.

9.(2022・杭州模拟)己知平面a的法向量为。=(2,3,-1),平面£的法向量为b=(l,0,勒

若则左等于()

A.1B.-1C.2D.-2

答案C

解析由题知，a仍=2+0—Z=0,解得A=2.

10.已知A(0,l,0),8(—1,0,-1),C(2,l,l),点尸(x,0,z),若平面ABC,则点已的坐

标为.

答案(TQ2)

解析由题意得京=(一乂1,一z),赢=(一1,-1,-1),启=(2,0,1),由两，巍，得防油

=x-l+z=09

x==-1

’故点尸的坐标为(一1,0,2).

{z=2.

能力提升练

11.(多选)(2022•重庆市两江育才中学模拟)关于空间向量，以下说法正确的是()

A.向量a,b,若ab=O,则〃_L8

B.若对空间中任意一点O,有®+［协+:女，则P,4,B,C四点共面

C.设｛a,b,c｝是空间中的一组基底，则｛a+b,b+c,a+c｝也是空间中的一组基底

D.若空间中四个点P,A,B,C,正=%+：陌则A,B,C三点共线

44

答案BCD

解析对于选项A,由4力=0,也可能是a=0或Z>=0,故错误；

对于选项B,因为对空间中任意一点。，

OP=yOA-\-^OB+loC,

632

,1―►—►1―►―►1—►―►

则Z(OP-OA)+：；(OP-OB)+：；(OP-OC)=O,

632

整理得筋=-2PB-3PC.

由空间向量基本定理可知点P,A,8,。四点共面，故正确；

对于选项C,由｛a,b,c｝是空间中的一组基底，则向量〃，仇c不共面，

可得向量。+力，b+c,a+c也不共面，所以｛a+仇b+c9a+c｝也是空间中的一组基底，故

正确；

对于选项D,若空间中四个点尸，A,B,C,

PC=^-PA+^PB,

44

可得正一以=工(而一诙)，即启=［赢，则A,B,C三点共线，故正确.

12.(多选)给出以下命题，其中不正确的是()

A.直线/的方向向量为a=(l,-1,2),直线"?的方向向量为力=(2,1,—D，则/与〃7垂

直

B.直线/的方向向量为a=(0,1,-1),平面a的法向量为〃=(1,-1,-1),则/La

C.平面a,6的法向量分别为“1=(0,1,3),“2=(1,0,2),则a〃夕

D.平面a经过三个点A(1,O,-1),8(0,-1,0),C(-1,2,0),向量"=(1,。是平面a的

法向量，则w+f=l

答案BCD

解析对于A,力=2-1-1=0,，a_L6,；./与〃？垂直，A正确；

对于B,「a与"不共线，.•.直线/不垂直于平面a,B错误；

对于C,；小与小不共线，平面a与平面夕不平行，C错误；

对于D,油=(—1,-1,1),注=(—1,3,0),

由〃•赢=—1—〃+/=0,-1+3«=0,解得“=；,，〃+r=|,D错误.

13.如图，在三棱锥。一A3C中，已知AB=2,启丽=—3,设AQ=mBC=b,CD=c,则

Wr的最小值为_______.

ab-r1

D

答案2

解析设廉)=〃，CB=b,DC=C9

VAB=2,\a+b+c\2=4^a2+b2+c2+2(a-b+b'c+c-a)=4,

又*•ACBD=13,.,•(a+c),(-b—c)=—3=〃b+bc+ca+c2=3,

a2+b2-\-c2+2(3—c2)=4,

又AD=a,BC=b,CD=c,

：.c2=