河北省承德市2022年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={》6可旧<8*},B={2,3,6},C={2,3,7）,则BU（a。）=（）

A.{2,3,4,5}B.{2,3,4,5,6}

C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7}

2.已知平面a和直线a,b,则下列命题正确的是（）

A.若a〃b,b//a,则B.若H，则a〃a

C.若a//b,bYa,则a_LczD.若b//«,则a_La

3.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学

成绩分析.

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间匚放匚0］内;

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；

④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.

其中正确的个数为（）

A.4B.§C.；D.；

4.设直线/过点A（0,-l）,且与圆C：x2+y2—2y=。相切于点8,那么茄.花=（）

A.±3B.3C.也

5.已知集合用=卜*一3》一10<0},=J9r2卜且“、N都是全集R（R为实数集）的子集，则

如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{巾<%«5}B.{x|x<-3或x>5}

C.{x|-3〈x4-2}D.1x|-3<x<5j

6.已知集合4={2*2一2》一3<0},集合8={x|x-120},则为(AcB)=().

A.(7,DU[3,+OO)B.(-OO,1]U[3,-H»)

C.S,1)U(3收)D.(1⑶

/JC\7[Ji

7.已知函数/（尤）=28$[0%一§卜。>0）在一§，5上单调递增，则①的取值范围（）

-21（2~\「2-

A.-,2B.0,-C.-,1D.（0,2]

8.已知定义在R上的函数/（x）,若函数y=/（x+2）为偶函数，且/（x）对任意再，x2G[2,+CO）（玉。xj,都

有\J八"<0,若/（。）4〃3。+1）,则实数。的取值范围是（）

工2一内

A.B.[-2,-1]C-gD-（（，+8）

9.已知a>〃>0,c>l,则下列各式成立的是（）

A.sina>sinbB.ca>cbC.ac<bcD.-―~~-

ba

10.已知数列｛q｝为等差数列，s“为其前〃项和，4+%=4+60,则$21=（）

A.7B.14C.28D.84

11.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图

所示（单位：寸），若乃取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为（）

5.4

正视留例视图

俯视图

A.3D.4

12.复数2的共轨复数记作I，已知复数4对应复平面上的点复数7：满足1/2=-2.则匕2|等于（）

A.&B,2C.VioD.10

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知边长为4G的菱形ABCD中，24=60。，现沿对角线区0折起，使得二面角A—为120°,此时点A，

B,C,。在同一个球面上，则该球的表面积为.

14.过直线丁="+7上一动点M（x,y）向圆。：/+y2+2）,=。引两条切线MA,MB,切点为A,B,若Ze[l,4],

则四边形MACB的最小面积Se[V3,V7]的概率为.

15.已知机，”为正实数，^,m+n-trin,则团+2〃的最小值为.

16.如图，在△A3C中，已知AB=3,AC=2,NB4c=120°,。为边BC的中点.若CE工AD,垂足为E,

则万•反的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知a,h,c分别是AABC1三个内角A,B,C的对边，acosC+J§csinA=Z?+c.

（1）求A;

（2）若a=6,b+c-3,求b,c.

18.（12分）设数列｛二_）的前二项和为二一，且二.=上二-二__1,p数列｛二「满足二.二二,，点二（二-二-，.在

二一二+2=。上，二c二一

(1)求数列｛二_｝,｛二_｝的通项公式:

(2)设_求数列｛二的前二项和二一

19.(12分)已知AB是圆。：V+y2=4的直径，动圆M过A,B两点,且与直线y+2=0相切.

(1)若直线43的方程为“一丁=0,求的方程；

(2)在y轴上是否存在一个定点尸，使得以MP为直径的圆恰好与X轴相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

20.(12分)设函数/(%)=5-卜+。|一打一2|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)20的解集；

(2)若恒成立，求。的取值范围.

21.(12分)在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城

镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

(1)填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030

不经常阅读

合计200

(2)从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X,若用

样本的频率作为概率，求随机变量X的期望.

„„叱2n(ad-bcY,

附：K-=--------------------------------------,其中〃=a+/?+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(群之务)

0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知如图1,在R/ABC中，ZACB=30°,ZAfiC=90°,。为AC中点，于E,延长AE交

5c于尸，将沿5。折起，使平面A5Z)，平面5CO,如图2所示。

(I)求证：AE_L平面BCD；

(D)求二面角A-DC-B的余弦值;

(DI)求三棱锥8-AEF与四棱锥A-FE0C的体积的比(只需写出结果，不要求过程).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.

【详解】

集合A={x£N|x2V8x}={xeN|0<xV8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7}

B=[2,3,6},C={2,3,7),

故6八。={1,4,5,6},

所以8°(0。)={1,2,3,4,5,6).

故选：C

【点睛】

本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.

2.C

【解析】

根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.

【详解】

A：当aua时，也可以满足b//a,故本命题不正确；

B：当aua时，也可以满足£j_〃，bLa,故本命题不正确；

C：根据平行线的性质可知：当a〃8,hVa,时，能得到a_La,故本命题是正确的；

D：当aua时，也可以满足b//a,故本命题不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.

3.C

【解析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可.

【详解】

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高is。分，平均成绩为低于]“分，①错误；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间-口01"-内，②正确;

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；

④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.

4.B

【解析】

过点4（0,—1）的直线/与圆C：/+丁一2y=0相切于点3,可得岌1.诧=0.因此

222

ABAC=AB（AB+BC]=AB"+XBBC=AB=Xc-r>即可得出.

【详解】

由圆C：尤2+丫2-2）,=0配方为x2+（y_[）2=],

C（o,l）,半径r=l.

•.•过点A（0,-1）的直线/与圆C：x2+y2-2y=0相切于点B,

：•ABBC^Ot

222

AABAC=AB(XB+BC^=AB+ABBC=XB=AC-r=3；

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.

5.C

【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合M,N,根据补集

和交集定义可求得结果.

【详解】

由韦恩图可知：阴影部分表示Nn(a〃)，

,/M={x](x—5)(x+2)<0}={乂-2<x<5},N-^x|9—%2>01=—3<x<,

.•.Nc(5M)={x|-3<x<-2}.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所

求集合.

6.A

【解析】

算出集合A、5及再求补集即可.

【详解】

由丁一2X一3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},又8={%]》21},

所以Ac8={x[l<x<3},故为(Ac3)={x|x<l或xN3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

7.B

【解析】

由---（尤W—，可得CO----WCDX---W—G）---，结合y=COSX在［—兀,0］上单调递增，易得

3233323

一二①一"一7&［一兀，°】,即可求出”的范围・

L3323J

【详解】

,兀//兀一”，兀兀/兀,兀兀

由——Wx<一,可得——3——<COX——<—CD——

3233323

(兀、71兀

x=0fff,/(0)=2cos--，而。£,

\5)LJ

兀

又y=cosX在［-兀,0］上单调递增，且一一G［-7C,0］,

兀兀

---(D----->一兀

33a)<2

717171n兀兀,八22

所以一三①一二二①一二q［-私0］，贝人—CD——<0，即69<］，故0<①K§.

332323

69>069>0

故选:B.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

8.A

【解析】

根据题意，分析可得函数/（X）的图象关于x=2对称且在［2,+8）上为减函数，则不等式/（。）4八3〃+1）等价于

|«-2|>|3«-1|,解得。的取值范围，即可得答案.

【详解】

解:因为函数y=/（x+2）为偶函数，

所以函数/（%）的图象关于x=2对称,

/（々）一/（百）

因为/（X）对任意X］，A2G［2,中»）（石。工2），都有<0,

/一办

所以函数“X）在［2,+0。）上为减函数,

贝！J/(«)<"34+1)=f[\a-2|)</(|3a+1-2|)«|«-2|>|3«-l|,

13

解得：yaw：.

24

■13'

即实数”的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.

9.B

【解析】

根据函数单调性逐项判断即可

【详解】

对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；

对B,因为y=F为增函数，且。>从所以c">d,正确

对C,因为y=十为增函数，故优>//,错误；

对D,因为在(0,+。)为减函数，故?>1,错误

xba

故选B.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题.

10.D

【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到=4,利用求和公式和等差中项的性质，即得解

【详解】

,/4+%=a6+al0,

4+q]—6d=a”—5d+a”-d

解得知=4.

=21(。；%)=21%=84.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

11.D

【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.

【详解】

由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为x,3』和

一个底面半径为,，高为5.4-x的圆柱组合而成.

2

该几何体的表面积为

2（x+3x+3）+»・（5.4-x）=42.2,

解得x=4,

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.

12.A

【解析】

__2

根据复数Z1的几何意义得出复数Z1,进而得出Z1,由Z/Z2=-2得出Z2=-=可计算出Z2,由此可计算出上21.

【详解】

由于复数4对应复平面上的点（一1,-1）,1—i,则Z=T+i,

・•・马乌=-2,•,"2=_[=口=（+l+因此，N=71^=72.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轨复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.112%

【解析】

分别取BD,AC的中点M,N,连接MN,由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上，设球心为。，半径为

R,ON=x,由勾股定理可得x、R2,再根据球的面积公式计算可得；

【详解】

如图，分别取80,AC的中点/，N,连接MN,

则易得/1M=GW=6,MN=3,MD=26，CN=3百，

由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上，

2

R2=x+272

设球心为。，半径为R,ON=x,可得｛,2，解得工=1，/?=28.

/?-=(X+3)2+12

故该球的表面积为S=4乃代=112万.

故答案为：112万

【点睛】

本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.

【解析】

先求圆的半径，四边形M4cB的最小面积转化为S.8c的最小值为[曰,*]，求出切线长的

最小值|处仁J7],再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得攵的取值范围，利用几何概型即可求得概

率.

【详解】

由圆的方程得i+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1),半径为厂=1,四边形的面积SUZS^MBC，若四边形MACS的

最小面积旌的"，所以能.的最小值为.栏，当，而治…白网即网的最小值

1mhie[6,y/l],此时\MC\最小为圆心到直线的距离，此时d=4=^e[J%(扬2,"/历']，因为左＞0,

所以所以Ze[1,4]的概率为」话一S.

3

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，及与长度有关的几何概型，考查了学生分析问题的能力，难度一般.

15.3+2夜

【解析】

111Irn2〃

m+n=tnn=>-+-=\,所以有〃z+2〃=。〃+2〃)(一+—)=3+—+—，再利用基本不等式求最值即可.

mnmnnm

【详解】

由已知，—+—=1,所以加+2〃=(机+2〃)(工+工)=3+%+初23+20,

mnmnnm

当且仅当]“=&〃，即加=&+],〃=2及时，等号成立.

m+n=mn2

故答案为：3+2及

【点睛】

本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.

27

16.

7

【解析】

EBEC^(EA+AB)EC=ABEC=[AD+DB)EC^CDEC=-EC2,

由余弦定理，得的+4-2x3x2xcosl20'=M'

4+19—973"S=走.

得cosC

4M2M24

36,,乙/

所以CE所以EB-EC=——.

方7

点睛：本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到

EBEC=-EC2>所以本题转化为求CE长度，利用余弦定理和面积公式求解即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

TI

17.(1)—；(2)Z?=1,c=2或/?=2,c=l.

【解析】

(1)利用正弦定理，转化原式为sinAcosC+J5sinCsinA=sinB+sinC，结合B=A—C,可得

即得解;

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2)ccosA，结合题中数据，可得解

【详解】

(1)由acosC+gcsinA=/?+c及正弦定理得

sinAcosC+V3sinCsinA=sinB+sinC-

因为8=%-A-C,所以sinB=sinAcosC+cosAsinC,代入上式并化简得

百sinCsinA=cosAsinC+sinC.

由于sinCxO,所以sin14-7)=g.

又0<A<〃，故4=工.

3

(2)因为。b+c-3>A——,

3

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA即3=S+c)?-2bc-be=9-3bc,

所以bc=2.

而b+c=3,

所以匕，c为一元二次方程/一31+2=0的两根.

所以人=1,。=2或6=2,c=l.

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

18.(1)，=3二々，二二=1+(二一/)<=

【解析】

(D利用-_与--的递推关系可以--的通项公式；-点代入直线方程得--_-_=、，可知数列L「是等差数列,

用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.

【详解】

二+1可得二二=2二二_/+/(二22)，

两式相减得二二+L二二==3二二（匚之zr

又一二.+[=；,所以二.=3二「故｛二是首项为1，公比为3的等比数列.所以二_=§二々

由点二（二二，二二+,，）在直线二-二+2=。上，所以二二十/-二二=2

则数列｛二7是首项为1,公差为2的等差数列.则二一=1+（二_1）.2=

3因为-...＞所以,../

Vl2二4“一」nJ।^।^।•＜匚T

Un口=—口.=尸.UmJ=不r+T?,+7r+・••+丁•

则;-+二二”

”。=了+/+了+…+产+=

两式相减得：、,,,,,

尹□=/+»•••+卢一半

所以，廿，-

L_=、9---1r---7口一=~J~r=，、口=+­Jr

°2.尸-.3--

【点睛】

用递推关系-=-_-广＞-求通项公式时注意-的取值范围，所求结果要注意检验-一：的情况；由一个等差数

一口1口1口一八———一'

列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.

19.（D/+/=4或（x+4『+（y—4）2=36.（2）存在，*0,1）；

【解析】

（1）根据动圆“过A,B两点,可得圆心M在AB的垂直平分线上，由直线AB的方程为x-y=0,可知M在直

线^=一》上；设M（—a,a）,由动圆M与直线y+2=0相切可得动圆M的半径为/"Ta+Z；又由|AO|=2,

\MO\^|V2«|及垂径定理即可确定a的值，进而确定圆M的方程.

（2）方法一：设M（x,y）,可得圆的半径为/"Ty+N，根据血,而，可得方程为f+y2+4=（y+2）2并化简

可得”的轨迹方程为f=4y.设P（0,%）,“（X，X），可得MP的中点。j2|■，巧进而由两点间距离公式

表示出半径，表示出。'到x轴的距离，代入化简即可求得先的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得M

的轨迹方程为/=4y,由抛物线定义可求得|A*|=y+l,表示出线段m'的中点。的坐标，根据0'到x轴的距

离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.

【详解】

（1）因为过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.

由已知AB的方程为％->=0,且A，8关于于坐标原点。对称，

所以M在直线丁=一》上，故可设M（-a,a）.

因为与直线y+2=0相切，所以0M的半径为r=|a+2].

由已知得aa=2,夜d，又旃j_血，

故可得2/+4=.+2）2,解得”=0或。=4.

故0”的半径r=2或r=6,

所以。M的方程为K+丁=4或（X+4）2+（y-4）2=36.

（2）法一：设M（x,y）,由已知得O"的半径为r=|y+2|,|A«=2.

由于而_1.近，故可得V+y2+4=（y+2）2,化简得M的轨迹方程为/=4）.

设P（0,%）,MQ，X）,则得x：=4y,MP的中点

则以MP为直径的圆的半径为：

=gJx；+（X-%）2=；-,

。'到x轴的距离为入产=Jx+%|,

☆gjy；+y；+4y_2yoX=Jx+%|，①

化简得y（）x=x，即（%—i）x=o，

故当先=1时，①式恒成立.

所以存在定点P（0,l）,使得以MP为直径的圆与X轴相切.

法二：设M（x,y）,由已知得OM的半径为r=|y+2|,|A0|=2.

由于丽方,亚，故可得d+y2+4=（y+2）2,化简得M的轨迹方程为f=4），.

设加(不yj,因为抛物线无2=4)，的焦点F坐标为(0,1),

点M在抛物线上，所以阿丹=弘+1,

线段的中点。'的坐标为"，空)，

则。'到x轴的距离为&

2

而怨=；阚，

故以叱为径的圆与x轴切，

所以当点P与E重合时，符合题意，

所以存在定点P(0,l),使得以MP为直径的圆与x轴相切.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.

20.(1)[—2,3]；⑵(―co,—6]u[2,+oo).

【解析】

分析：(1)先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先化简不等式为

|x+«|+|%-2|>4,再根据绝对值三角不等式得|x+a|+|x-21最小值，最后解不等式|。+224得。的取值范围.

详解：(1)当。=1时，

2x+4,x<-1,

/(%)=<2,-1<x<2,

-2x+6,x>2.

可得/(x)*0的解集为{x|—2<x<3}.

(2)/(x)Wl等价于卜+4+以一2性4.

而忖+4+k一2月a+2|,且当x=2时等号成立.故等价于|a+2|".

由卜+2归4可得aW-6或.22,所以。的取值范围是(一8,-6]u[2,+8).

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是

运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函

数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.

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21.(1)见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)£(X)=y

【解析】

(1)根据题意填写列联表，利用公