河北省邯郸市永年县2022年高三下学期联考数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列｛4｝满足4+442+74+--+（3〃-2）。“=4〃，则a2a3+。3a4+…+。21a22=（）

2.在函数：①y=cos|2x|；②y=|cosx|；③，=3口+二］；④旷=tan|2x-f|中，最小正周期为万的所有

函数为（

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

3.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为

了调查在校大学生使用可少的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如

图所示，现有如下说法：

①可以估计使用。加主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；

②可以估计不足10%的大学生使用"/不主要玩游戏；

③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的

其中正确的个数为（）

IUTHLK.新闻.资讯

「~□玩游我

「八力。I价出狼、国片

「4胴-1听行乐

I7小］我附近的人

［）再）「找共同兴趣的人

A.0B.1C.2D.3

4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积

为（）

A.土B.26C.8D.8百

2

5.我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖膈（加2"4），下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积

几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为（）

45

A.90万平方尺B.180〃平方尺

C.360%平方尺D.135JI@?■平方尺

6.如图，点E是正方体A8CD-481GO1的棱。Di的中点，点尸，M分别在线段AC,BDt（不包含端点）上运动,

贝!I（）

A.在点厂的运动过程中，存在E77/8G

B.在点M的运动过程中，不存在8iM_L4E

C.四面体EM4c的体积为定值

D.四面体E1C4的体积不为定值

7.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的

用水量（单位：n?）的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为（）

A.10B.50C.60D.140

8.设冷々为〃X)=J5sin5—cos3x3>0)的两个零点，且住一引的最小值为1,则①=()

717171

A.乃B.—C.—D.—

234

9.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考

生一次发球成功的概率为P(O<P<1),发球次数为X,若X的数学期望石(X)>1.75,则P的取值范围为()

2x_V-3r<01

10.已知函数f(x)='一，贝!!/(/(—))=()

Inx,x>0e

3

A.-B.1C.-1D.0

2

n

11.已知水平放置的小ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B'O'=C'O'=1,A'O'=—,那么原△A5C

2

的面积是()

A.邪）B.272

「百

V/«-----------D

2-T

12.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为

正视图侧视图

俯视图

4石

D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

”0

13.若实数X，)‘满足不等式组2x—y+3»0,则z=2y—x的最小值是一

x+y—lMO

14.已知集合U=｛1,3,5,9｝,A=｛1,3,9｝,B=｛1,9｝,则Cu(AUB)=,

15.在AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c.若cosB+百sinB—2=0;且匕=1,则AABC周长的

范围为.

16.过点A(-3,2),3(-5,-2),且圆心在直线3x—2y+4=0上的圆的半径为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)对于给定的正整数k,若各项均不为0的数列｛《,｝满足：a,3%.…a,一«山…•q+”=(4户对

任意正整数”(〃>k)总成立，则称数列｛4｝是“Q(k)数列”.

(1)证明：等比数列｛4,｝是“。(3)数列”；

(2)若数列｛4｝既是“。⑵数列”又是“Q⑶数列”，证明：数列｛叫是等比数列.

X=­t、

2

18.(12分)在平面直角坐标系X0y中，已知直线/的参数方程为《ra为参数)，在以坐标原点。为极

点，*轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是夕=40sin£+。

(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C相交于两点A,B,求线段AB的长.

19.（12分）（1）求曲线y=Y和曲线y=&围成图形的面积:

cos20°

（2）化简求值:

cos35°>/1-sin20

20.(12分)已知函数/a)=£x2-Minx-6-i),a,beR.

（1）当匕=-1时，讨论函数“X）的零点个数;

（2）若/（x）在（0,+力）上单调递增，且ewe?”"求c的最大值.

21.（12分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前

十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中x表示通过自主招生获得降分资格

的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数）

年份（届）20142015201620172018

X4149555763

y8296108106123

（1）通过画散点图发现x与y之间具有线性相关关系，求）,关于x的线性回归方程；（保留两位有效数字）

（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；

（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取

2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数x的分布列和期望.

^x^-nx-y

参考公式：b=^----------a=y-hx

2-2

LXi~nX

i=l

£>,»=27797,5

参考数据：x=53，y-103.》；工14325

/=1/=1

%=sin6—3cos3-2

22.（10分）在直角坐标系X。），中，曲线G的参数方程为《八，.八（6为参数），坐标原点为极点，x轴

y=cos〃+3sin9

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕sin。+看=-2.

（1）求曲线G的普通方程和曲线a的直角坐标方程;

（2）若曲线G、交于A、B两点,。是曲线G上的动点，求△A3。面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用（3〃-2）4的前“项和求出数列｛（3〃-2）%｝的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出

a2a3+a3a4+…+〃21a22的值.

【详解】

4+4火+7/+•,•+（3〃-2）cin—4〃・

当〃=1时，4=4；

当〃N2时，由q+44+7/+・・・+（3〃-=4〃,

可得q+4%+7%+•••+（3〃—5）・=4（〃—1）,

4

两式相减，可得（3〃-2）%=4,^Lan=-~~

3九一2

4

因为4=4也适合上式，所以为=^~~

3n-2

1616f11）

aa=

依题意，n+\n+2=/Q.iWQ,A\TQi1.Q।/I，

16fl1111111116（11\5

2334J-23（4771010136164J3^464J4

故选：C.

【点睛】

本题考查利用S”求《，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

2.A

【解析】

逐一考查所给的函数：

>'=cos|2x|=cos2x,该函数为偶函数，周期7=修=万；

将函数y=cosx图象x轴下方的图象向上翻折即可得到y=|cosM的图象，该函数的周期为

1c

—x2%=%•

2

函数y=cos(2x+高的最小正周期为T=g=，；

函数y=tan(2x-的最小正周期为T=1=].

综上可得最小正周期为万的所有函数为①②③.

本题选择A选项.

点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错

误.一般地，经过恒等变形成"y=Asin(tox+e)，j=Acos(tox+^)>y=4tan(cox+“)”的形式，再利用周

期公式即可.

3.C

【解析】

根据利用主要听音乐的人数和使用，WP主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用

。印主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用。加主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③

的正误.综合得出结论.

【详解】

使用主要听音乐的人数为5380,使用a即主要看社区、新闻、资讯的人数为4450,所以①正确；

Q130

使用主要玩游戏的人数为8130,而调查的总人数为56290,《尹”0.14,故超过10%的大学生使用。〃〃主

56290

要玩游戏，所以②错误；

使用。川主要找人聊天的大学生人数为16540,因为出当〉,，所以③正确.

562904

故选：C.

【点睛】

本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.

4.B

【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积.

【详解】

解：分析题意可知，如下图所示,

A

该几何体为一个正方体中的三棱锥A-3CZ)，

最大面的表面边长为2a的等边三角形ABC,

故其面积为走(2&y=26，

4

故选B.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.

5.A

【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外

接球，由球的表面积公式计算可得选项.

【详解】

由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥尸-ABC,。为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此

三棱锥所在的长方体的外接球，所以。为PC的中点，设球半径为R,则

R2=[1pc]=_L(AB2+BC2+弘2)=J_(42+52+72)=竺，所以外接球的表面积s=4万&=4乃Xf=90万，

、2,4422

故选：A.

【点睛】

本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半

径，属于中档题.

6.C

【解析】

采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.

【详解】

A错误

由EVu平面A£C,BC\"AD、

而与平面AEC相交，

故可知BCi与平面A£C相交，所以不存在EFHBCx

B错误，如图，作用

由AC工BD,AC工BBpBDcBB]=B

又平面BBQQ,所以AC_L平面68QQ

又gVu平面所以

由OE//BD],所以月例，OE

AC0OE=O,AC,OEu平面AEC

所以平面A£C,又A£u平面A£C

所以gMLAE,所以存在

C正确

四面体EMAC的体积为/TEC=1•S^EC・h

其中〃为点M到平面AEC的距离，

由OEMBD},Ofu平面AEC,BD、（Z平面AEC

所以8乌〃平面AEC,

则点M到平面AEC的距离即点B到平面AEC的距离，

所以〃为定值，故四面体EMAC的体积为定值

。错误

由AC〃4G，41匚平面4。避，AC(Z平面AG8

所以AC〃平面AG6,

则点F到平面AC6的距离%即为点A到平面4GB的距离，

所以％为定值

所以四面体FAxCiB的体积匕FGB=:SA'GB,4为定值

故选：C

【点睛】

本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，

中档题.

7.C

【解析】

从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为(0.05+0.01)x5=0.3,即分层抽样的50户中有0.3x50=15

户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为^x200=60,故选C

8.A

【解析】

7T

先化简已知得/(x)=2sin(松-"),再根据题意得出f(x)的最小值正周期T为1x2,再求出3的值.

6

【详解】

TT

由题得/(x)=2sin(wx-z),

6

设xi,X2为f(x)=2sin(cox-^-)(w>0)的两个零点，且归-引的最小值为L

T

A-=b解得T=2；

2

.24

=

••---29

CO

解得(a=7t.

故选A.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

9.A

【解析】

根据题意，分别求出P（X=1）,P（X=2）,P（X=3）,再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可

【详解】

由题可知P（X=1）=〃，P（X=2）=（l-p）p,p（x=3）=（l-p）2p+（l-p）3=（l-p）2,则

E（X）=P（X=1）+2P（X=2）+3P（X=3）=p+2（l-p）p+3（l-p）2>1.75

解得p>|■或p<；,由pe（O,l）可得

答案选A

【点睛】

本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功

10.A

【解析】

由函数/&）=1-V,A-°,求得/d）=ln』=T,进而求得了（/（1））的值，得到答案.

lnx,x>0eee

【详解】

由题意函数/*）=<2'）40,

Inx,x>0

i1।3

则/（一）=ln-=一1,所以/（/（_））=/（-1）=2"—（一炉=二，故选A.

eee2

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理

与运算能力，属于基础题.

11.A

【解析】

先根据已知求出原AA8C的高为40=百，再求原AABC的面积.

【详解】

由题图可知原△ABC的高为AO=y/3,

SAABC=y^BC^OA=；x2x石=公，故答案为A

【点睛】

本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

12.C

【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为G，所以该几何体的体积

V=lxlx2x2x^x6=i,故选c.

322

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

作出可行域，如图：

由z=2y—x得y=Lx+'z,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A(1,0)

22

所以4加=/

故答案为」

14.{5}

【解析】

易得AUB=A={1,3,9},则CU(AUB)={5}.

15.(2,3]

【解析】

先求B角,再用余弦定理找到边心c的关系，再用基本不等式求a+c的范围即可.

【详解】

解：cos5+\^sinB-2=0

2sin(B+Y)=2,sin(8+Y)=l,B=?

h~=ct~+c~—2QCCOS—

3

1222cK

1=Q~+C-2QCCOS一

3

,\24十0

a+c)-1=3Qac<3-1—―

l<a+c<2

所以三角形周长。+。+匕£(2,3]

故答案为：(2,3]

【点睛】

考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.

16.5

【解析】

根据弦的垂直平分线经过圆心，结合圆心所在直线方程，即可求得圆心坐标.由两点间距离公式，即可得半径.

【详解】

因为圆经过点A(—3,2),8(—5,—2)

2-(-2)

则直线AB的斜率为攵==2

{-3)-(-5)

所以与直线AB垂直的方程斜率为

2

点A(-3,2),3(-5,-2)的中点坐标为M(<0)

所以由点斜式可得直线AB垂直平分线的方程为y=-g(x+4)，化简可得x+2y+4=0

而弦的垂直平分线经过圆心，且圆心在直线3x-2y+4=0上，设圆心。(a,b)

。+2〃+4=0Ja=-2

所以圆心满足解得

13。-2/7+4=0\b=-l

所以圆心坐标为0(—2,-1)

则圆的半径为r=04=3+2/+(2+1产=回

故答案为：V10

【点睛】

本题考查了直线垂直时的斜率关系，直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系，圆的半径的求法,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见详解；(2)证明见详解

【解析】

(1)由｛4｝是等比数列，由等比数列的性质可得：

aa

•4,-2…6I•。用…凡+2-4+3=%-3•«„+3•„-2.%+2.4I.凡+1=n-"J即可证明・

4

(2)｛%｝既是“Q(2)数列”又是“2(3)数列”，可得%_2-«n+i-«n+2=。产=a,,,

2X3

«„-3・。"-2…%%…4+2•4+3=«n=aj,则«„_3-«,1+3=«,；对于任意〃GN*(〃")都成立，则%，,%，…，

成等比数列，设公比为9，验证“〃=%,%4=%得答案.

【详解】

(1)证明：由｛4｝是等比数列，由等比数列的性质可得：

->->22x3

4-3.凡-2•"%•4+1…%+2-4+3=a时3-凡+3•4,-24+2-%。4+1=944=4

.••等比数列｛4｝是“。(3)数列”.

(2)证明：｛4｝既是“Q(2)数列”又是“Q(3)数列”，

可得％_2a.-4+2=。>2=牝4,(n>3)(*)

4.3.4-2…•%+1…％+2-4+3=aj"=an，(〃»4)

可得：%.4+3=an对于任意neN*(n>4)都成立,

即«„_3,«„,a“+3，…，成等比数列，

即-4，/，…，成等比数列，

。2，4，。8,…，成等比数列，

a3M6，49,…，成等比数列，

设4"=4-3，/，(#0)

数列｛叫是“Q⑵数列”

二〃=3时，由(*)可得：

2x24

q.%••〃5=

二.几=4时，由(*)可得:

可得小•4=4，同理可证4p="5

”3，。4，%「;成等比数列，

•••数列｛%｝是等比数列

【点睛】

本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合

运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.

18.(1)I：瓜-y+2=0,C：(x-2)2+(y-2)2=8；(2)275

【解析】

(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；

(2)由(1)可得曲线C是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得的长.

【详解】

(1)由题意可得直线/：百x-y+2=0,由夕=4&sin(7+。)，得"=4pcos8+4psine,即

x2+y2=4x+4y,所以曲线C：(x-2)2+(j-2)2=8.

(2)由⑴知，圆C(2,2),半径-20.

二圆心到直线/的距离为：d=即-2+4=G.

2

AB=2%一筋=278^3=275

【点睛】

本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题.

19.(1)-(2)V2

3

【解析】

(1)求曲线y=f和曲线y=&围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1,然后求在区间［0』

上的定积分.

(2)首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出cos20°=M^i^?y(cosl0°+sinl0),

cos35°=当(cos10"+sin10)

然后再整体代入可得;

【详解】

解:

、/7围成的图形面积

f(l-sin20°)•/(cos10°+sin10°2

=J(l-sin20")•(cos10+sin10

cos35°=cos(45-10)=cos45°cos10+sin45°sin10

=也(cos10+sin10')

cos200_^(1-8^20°)-(cos100+sin100)

-cos35°71-sin20'(cos10。+sin10。),1-sin20。

【点睛】

本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

20.(1)见解析(2)2

【解析】

(1)将》=-1代入可得，(x)=gx2-xlnx,令外q=0,则卜时，设g(x)=^，则转化问题为g(x)与y=§的交

点问题，利用导函数判断g(X)的图象，即可求解；

(2)由题可得/'(x)=or+力-InxNO在(0,+?)上恒成立，设〃(x)=ax+力-Inx,利用导函数可得

"(x)min=〃(：)=1+6+Ina,则〃(x)min之。，即加+力2加一1一Ina,再设机(x)=2x-1-Inx,利用导函数求得〃?(x)的最

小值，则为+。Nin2,进而求解.

【详解】

(1)当〃=-1时J(x)=]x2—xinx,定义域为(0,+?),

由f(x)=O可得>等，

令g(x)=(,则g，(x)=1]产,

由g,x)>0,得0cxee；由g'x)<0,得x>e,

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,”)上单调递减，

则g(x)的最大值为g(e)=(,

且当x>e时,o<g(x)/；当0<xKe时,g(x)M),

ee

由此作出函数g(x)的大致图象，如图所示.

由图可知，当0<a<—时，直线y=@和函数g(x)的图象有两个交点,即函数/(X)有两个零点；

e2

当£△或二40,即a=2或“vo时，直线y=2和函数g(x)的图象有一个交点,即函数/(x)有一个零点;

2e2e2

当即“>[时，直线y=£与函数g(x)的象没有交点，即函数/(x)无零点.

(2)因为/'(X)在(0,+?)上单调递增，即((x)=ar+八InxNO在(0,+?)上恒成立，

设〃(x)=ar+/?_lnx,则h'[x)=a--,

①若a=0,则〃'(x)<0,则Mx)在(0,+?)上单调递减，显然f'^=b-\nx>0,

在(0,+?)上不恒成立；

②若"0,贝!I〃<》)<0,〃(*)在(0,+?)上单调递减，当x>max|-2』时,0¥+。<0,-111%<0,故/2(力<0,/(力单调

递减,不符合题意；

③若。>0,当0<X<1时,〃'(X)<O,〃(X)单调递减，

当时,"(x)>0,〃(x)单调递增，

所以MAmOl+b+lna,

由/z(x)niin之0,得2n+Z?之加一1-lna,

z/z(x)=2x-1-Inx,x>0m(x)=2--,

x

当0<x<；时,/”(x)<0,根(x)单调递减；

当无>；时,m'(x)>0,m(x)单调递增，

所以加。)2"(3)=1112,所以2«+/721112,

又c<e2a+h，所以c<2,即C的最大值为2.

【点睛】

本题考查利用导函数研究函数的零点问题，考查利用导函数求最值，考查运算能力与分类讨论思想.

21.(1)y=1.79x+8.02；(2)H7人；(3)分布列见解析，