河北省廊坊市省级示范高中联合体2022年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.三棱柱ABC-A4G中，底面边长和侧棱长都相等，=ZCAA,=60\则异面直线人用与BQ所成角的余

弦值为（）

Vx•-----------

4

2.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影

区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）

1

B.-c.1_1D.2--

23乃71

3.已知集合A={xeN|y=={x|尤=eZ},则Ap|8=()

A.[0,4]B.{0,2,4}C.{2,4}D.[2,4]

4.记M的最大值和最小值分别为Mmax和"min.若平面向量£、B、3满足同=卜|=+2万-2)=2,

则()

.I--IA/3+y/1„I--I-73—V7

A.\a-c\=-----------B.a+c=-----------

Imax2।।max2

G+万

C.〃一qD.\a+c\

Imin2Imin2

5.由曲线），=/,>；=6围成的封闭图形的面积为（)

51I}_

A.—B.-c.一D.

12342

6.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|y=Ig(l-x)},则=()

A.{2}B.{-1,0}C.{-1}D.{-1,0,1)

7.已知复数z=g（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

2-1

8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

9.已知复数二满足z（l+i）=4-3i,其中i是虚数单位，则复数二在复平面中对应的点到原点的距离为（）

A石R5历「35^

A・o♦----------♦IJ♦

2224

10.已知抛物线产=2*（〃>0）,尸为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|MN|=8,则AOMN的

面积为（）

逑

A.272B.35/2c.4V2D.

2

'兀3兀1/、3

11.已知atan(a-K)=--,则sina+cosa等于().

±111_7

A.B.——C.一D.

555

4

12.已知i是虚数单位，则复数7一五=（）

（1一1）

A.2zB.-2iC.2D.-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线xsina+y+2=()的倾斜角的取值范围是.

__rr

14.已知向量a=(cos5°,sin5°),b=(cos65°,sin65°),贝！］2a+。=.

15.设S“为数列｛a,,｝的前〃项和，若2s“=5。”一7,则4=―

16.已知数列｛。"｝中，S”为其前〃项和，q=1,a“a“+i=2",则牝=,$200=-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖

风景区等等.

(1)为了解“五•一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000

现从年龄在［42,52］内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄

在［47,52］内的人数为4,求p(g=3)；

(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型

游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1.将

每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：

劳动节当日客流量X1<X<33<X<5X>5

频数(年)244

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量

相互独立.

该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客

流量X(单位：万人)的影响，其关联关系如下表：

劳动节当日客流量X1<X<33<X<5X>5

A型游船最多使用量123

若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投

入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记y(单位：万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，y的

数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A型游船

才能使其当日获得的总利润最大？

18.(12分)在AABC中，角A，B,C的对边分别为。，dc,其中。＜c,J-8s(8+C).

hesinCcosC

(1)求角C的值；

(2)若c=45,a=27&，。为AC边上的任意一点，求AD+23D的最小值.

19.(12分)已知函数-|--丁|_|-_-|,

(I)若二「求二的取值范围；

(II)若二＜0,对V二，-e(_x,z]»都有不等式二(二)=1(二+2020)1+|二.二|恒成立，求二的取值范围.

20.(12分)古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计

学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取〃名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间(单位：h)

的数据如下：

一周课外

合

读书时间(。，2](M(4，可(6网(8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

计

/h

频数4610121424a4634n

频率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(D根据表格中提供的数据，求P,〃的值并估算一周课外读书时间的中位数.

(2)如果读书时间按(0,6],(6,12],(12,18]分组，用分层抽样的方法从〃名学生中抽取20人.

①求每层应抽取的人数；

②若从(0,6],(6,12]中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.

21.(12分)已知函数/(x)=|x+2|+|x—4|.

⑴求不等式/(x)＜3x的解集;

⑵若/(x)2kIx-11对任意xeR恒成立，求k的取值范围.

22.(10分)在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,4c,且csinB=Z?sin(二一C)+68.

3

(1)求角C的大小；

(2)若c=J7,a+匕=3,求A3边上的高.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

设语=小AB=a>/=5,根据向量线性运算法则可表示出福和西；分别求解出鬲•西和卜闻，忸同，

根据向量夹角的求解方法求得cos<鬲,西〉，即可得所求角的余弦值.

【详解】

设棱长为1,羽=二，AB=a>AC=b

_1_11

由题意得：a・b=—,b-c=-a-c=—

2292

0.,AB}=a+cBC、=BC+BB}=h—a+c

22

AB}-BC[=(a+cy^b-a+c)=ab-a+a-c+bc-a-c+c=~\+^+l=\

2

又|ABt|=+2a-c+c=\f3

|BC1|=J(万一G+^J=\lb2+a2+c2—2d-b+2b-c-2d-c=0

•..c3os<<~明AR，阳>"-同A蜀/BC一\_看'一百

即异面直线AB1与8G所成角的余弦值为：逅

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.

2.C

【解析】

令圆的半径为1,则尸=2=乃2(.2)=」_],故选c.

Sn71

3.B

【解析】

计算A={0,1,2,3,4},再计算交集得到答案

【详解】

A={xeN|y="7}={0,l,2,3,4},B={x|x=2〃,"eZ}表示偶数，

故A「B={0,2,4}.

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.

4.A

【解析】

设。为kB的夹角，根据题意求得夕=?,然后建立平面直角坐标系，设£=砺=(2,0),万=砺=(1,6),

c=OC=(x,y),根据平面向量数量积的坐标运算得出点C的轨迹方程，将卜-"|和忖+4转化为圆上的点到定点距

离，利用数形结合思想可得出结果.

【详解】

由已知可得£%=同卡卜05夕=2,则cos(9=；,QO<0<7T,

建立平面直角坐标系，设Z=0X=(2,O),b=OB=(l,y/3),c=OC=(x,y),

由c・（a+2B-c）=2,可得（工,丁）・（4一2入,26-2》）=2,

即以-2/+20-2丁=2,

（万Yq_______________

化简得点C的轨迹方程为（X—1）2+y--则口_《=J（x_2）2+y2,

、214

则归一,转化为圆（x—l）?+y—与='上的点与点（2,0）的距离，.平一4=卜+代）丁,

卜+C卜，（尢+2）2+y2,

B+q转化为圆（x—iy+y一与=（上的点与点（一2,。）的距离，

布+,=%+田+」=回运小+同k+田旦叵◎

11mx丫（2J22IImim丫（2J22

故选：A.

【点睛】

本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,

考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.

5.A

【解析】

先计算出两个图像的交点分别为（0,0）,。』）,再利用定积分算两个图形围成的面积.

【详解】

封闭图形的面积为公/|>_匕='选A.

0J

【点睛】

本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.

6.B

【解析】

求出集合B,利用集合的基本运算即可得到结论.

【详解】

由得X<1,则集合B={x|x<l},

所以，Ac3={—1,0}.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合8是解决本题的关键，属于基础题.

7.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得，的坐标得出答案.

【详解】

1-z(l-z)(2+z)31.

解：：Z=-7=――—―=£-工，>

2-1(2-z)(2+z)55

；.z在复平面内对应的点的坐标是

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

8.A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

1Q

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

9.B

【解析】

利用复数的除法运算化简Z,复数Z在复平面中对应的点到原点的距离为IZI，利用模长公式即得解.

【详解】

由题意知复数2在复平面中对应的点到原点的距离为IZI,

4-3/(4-3z)(l-/)l-7z17.

z=----=-----------=-----=-----1

1+12222'

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.

10.A

【解析】

根据I1可知V=4x,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.

【详解】

2

由题意可知抛物线方程为y=4x，设点M(%,y)点N(X2,%)，则由抛物线定义

知,MN|=|MFI+1NF|=』+z+2,|MN|=8则不+/=6.

由.y~—4x得y；=4X],y；=4x2则y；+y；=24.

又MN为过焦点的弦，所以乂必=-4，则1%一=收+£-2%丫2=4夜,所以S.OMN=1|0^1加一Y|=2

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的方程应用，同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.

11.B

【解析】

3

由已知条件利用诱导公式得tana=-士，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.

4

【详解】

3

由题意得tan(a-7r)=tana=——,

4

,.34

cosa(0,sina)0,结合sin2a+cos2a=1解得sina=g,cosa

34___[

所以sine+cosa

55--5

故选B.

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.

12.A

【解析】

根据复数的基本运算求解即可.

【详解】

442i〜

-------=-----=—T=21.

(1-z)2-2z-z2

故选：A

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

r兀]「3万)

13.[0,]卜]彳,兀J

【解析】

因为sin“W[—1,1],

所以一sin1,1],

Tt34

所以已知直线的斜率范围为[-1,1],由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是o,-u手，兀

44

34

答案:呜T,7t

14.V7

【解析】

求出然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算.

【详解】

由题意得=cos?5。+$出25。=1，pz|=^-b=cos265°+sin265°=1»W=L

:.a-b=cos5°cos650+sin5°sin65°=cos60°=—1,:.（2a+B）2-^a+Aa-b+b2=4+4x—1+1=7,

|2a+5|=V7.

故答案为：

【点睛】

本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础.本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积

的运算.

【解析】

7

当”=1时，由24=5《一7=2%,解得弓=§,当2时，2S“=5a”—7,2S,i=5a,i—7,两式相减可得

2a,=5a„-5a,-,即5«„_,=3%,可得数列｛q｝是等比数列再求通项公式.

【详解】

c7

当〃=1时，2S]=5q-7=2卬，即4=5,

当〃N2时，2S“=5an-7,2S,i=5aX-7,

两式相减可得2%=5。“-54T，

即5a,-=3a〃，

75

故数列｛q｝是以I为首项，1为公比的等比数列,

所以4=淞.

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的前“项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.

16.83x210O-3（写为2侬+2m一3也得分）

【解析】

由q=l,。/川=2"得，%=2.当“22时，-2、所以手=2,所以｛4｝的奇数项是以1为首项，以2

an-\

为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则4=2x22=8,

喑2三詈2=*+*一35一3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17.（1）P传=3）=云；（2）投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大

【解析】

（1）首先计算出在［42,47）,［47,52］内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出P傍=3）.

（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.

【详解】

（1）年龄在［42,47）内的游客人数为150,年龄在［47,52］内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人,

则年龄在［42,47）内的人数为6人，年龄在［47,52］内的人数为4人.

可得P（€=3）=怜喋.

Cz］0Jj

（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1,则E（y）=3（万元）.

②当投入2艘A型游船时，

若1<X<3,则丫=3-0.5=2.5,此时P1=|）=P（1<X<3）=蚤='；

4

若X»3,则Y=3x2=6,此时P（y=6）=P（3«X«5）+尸（X>5）=g；

此时y的分布列如下表：

Y2.56

24

p

55

I4

此时E（y）=2.5xg+6xw=5.3（万元）.

③当投入3艘A型游船时，

21

若1<X<3,则y=3-1=2,此时P（y=2）=P（l<X<3）=布=不

2

若3WXW5,则y=3x2—0.5=5.5,此时P（y=5.5）=P（3«X«5）=1;

2

若X>5,则y=3x3=9,此时尸（y=9）=尸（X>5）=1；

此时y的分布列如下表：

Y25.59

]_22

p

555

I22

此时E(y)=2xM+5.5xg+9xg=6.2(万元).

由于6.2>5.3>3,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大.

【点睛】

本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题

的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

18.(1)-；(2)9+2773.

4

【解析】

(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；

-27

(2)在AA3C中，由余弦定理得8=AC=63,在ABCQ中结合正弦定理求出——，从而得出CD,即可

sin。

得出y=AQ+2B。的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出AD+2B。的最小值.

【详解】

/、+c2—cT—cos(_B+C)

(1),/--------------=—------------,

besi:nCcosC

小，cosA

/.2cosA-------------,

sinCcosC

由题知，Q<c,则NAvNC,贝JeosAwO

/.2sinCcosC=l,

sin2C=L

.\C=-

4;

(2)在AABC中，由余弦定理得/=〃+b2—2他cos。,

.*./?=AC=63,

3万3

设N8OC=e,A<e<3，其中sinA=±.

45

BDBC

在A中，sin

BCDs.in——0>

4

BD2772

3*/45。)=空叱3，

sin。')sin。

QiSCANAQ27(sin6+cos6)2x272-cos6^

所以y=AO+23O=63----------------+-----=36-274-27x--------,

sin0sin0sin0

_2-cos^_2-cos。

sin。0-sin。’

所以t的几何意义为(0,2),(sin仇cos0)两点连线斜率的相反数，

数形结合可得t=-2-cos,.3万，

。一sin。

故45+280的最小值为9+27百.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.

19.(I)(-x,-；)u(2,+x)!(n)[-lOiO,O)-

【解析】

(I)由题意不等式化为利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；

(n)由题意把问题转化为口二)<1口+20201+|Z-0|W分别求出口二)]叫和口二+20：0\+IZ-口口“

列出不等式求解即可.

【详解】

(I)由题意知,n(7)=|7-2E|-|；--|>7

若一；,则不等式化为_2二_j+二>解得二<一］；

口三二

若,_，则不等式化为2二_j_（1_二）>.；，解得二>［,即不等式无解；

7<n<J

若-》19则不等式化为■-_,；+，；_-〉「解得-〉：，

综上所述，二的取值范围是一工_；，'+力；；

（II）由题意知，要使得不等式二（二）匕|（二+二020；|十|二一二|恒成立，

只需匚（匚）<口口+2020|+1二-niw

当二6（一",二］时'|匚一2匚|一|二一二|w-二，［二（二）］==一二，

因为|二+2020|+|二一二|2I二+20201，所以当（二+2020）（二一二）M。时，

［|二+2020|+|二一二|］回==|二+202例'

即-二<|3+2020\,解得二>T0W

结合-<0,所以-的取值范围是：0j0o”

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了

分类讨论思想，是中档题.含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不

等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.

20.（1）n=200,a=5O,，=0.23,中位数13.2h；（2）①三层中抽取的人数分别为2,5,13；②3

21

【解析】

4

（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得“=大1=200,得到a=5O,〃=0.23,再结合中位数的计算方法，

0.02

即可求解.

（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；

②由①知，设（0,6］内被抽取的学生分别为x,y,（6,12］内被抽取的学生分别为。也c&e,利用列举法得到基本事件

的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

446

（1）由题意，可得〃=——=200,所以a=0.25x200=50,p=——=0.23.

0.02200

设一周课外读书时间的中位数为x小时,

则0.17+0.23+(14-幻*0.125=0.5,解得x=13.2,

即一周课外读书时间的中位数约为13.2小时.

(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为

又因为(0,6],(6,12],(12,18]的频数分别为20,50,130,

所以从(0,6],(6,12],(12』8]三层中抽取的人数分别为2,5,13.

②由①知，在(0,6],(6,12]两层中共抽取7人，设(0,6]内被抽取的学生分别为(6,12]内被抽取的学生分别为

a,b,c,d,e,

若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为犯，xa,xb,xc,xd,xe,ya,yb,

yc,yd,加，ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共有21种，

其中2人不在同一层的情况为m,xb,衣，xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,共有10种.

设事件M为“这2人不在同一层”，

由古典概型的概率计算公式，可得概率为P(M)=W.

21

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分

析问题和解答问题的能力，属于基础题.

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