河北省滦南县2021-2022学年高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量£与坂的夹角为定义为2与坂的“向量积”，且是一个向量，它的长度小N=耶卜诂6,

若“=（2,0）,〃一丫=（1,一6）,贝”口＞＜（£+，卜（）

A.4百B.6

C.6D.26

2.甲、乙、丙、丁四人通过抓阉的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阉后，甲说：“我没抓到.”乙

说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定

值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

3.为计算5=1—2x2+3x22—4x2'+…+100x（—2）9）设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）

A.z<100B.z>l(X)C.z<l(X)D.z>l(X)

4.已知｛《,｝为等比数列，/+/=-3,。必=一18,则4+4=()

2121

A.9B.-9C.—D.——

24

'x+y<2

5.设变量工y满足约束条件(2x—3y49,则目标函数z=2x+y的最大值是()

x>0

A.7B.5C.3D.2

22

6.已知点A仅板3啊在双曲线获一方=1(/7>0)上，则该双曲线的离心率为()

A，半B.半C.何D.2后

7.如图，在AABC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别交直线A3,AC于不同的两点M,N,若丽=加加彳,

AC=nAN>则加+〃=()

C.2D.3

8.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()

9.设复数n满足忖=亭+1,z在复平面内对应的点的坐标为(％》)则()

A.x2=2y+lB.y2=2x+i

C.x2=2y-lD.y2=2x-l

10.设S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若2(%+%+%)+3(4+42)=66,则儿=

A.56B.66

C.77D.78

11.公差不为零的等差数列｛斯｝中，。什。2+。5=13,且。2、a5成等比数列，则数列｛。〃｝的公差等于()

A.1B.2C.3D.4

12.已知全集二=｛二।二；《4,二e二｝，□=[1.2Y则二二匚=()

A-｛-/｝B-1-1.0｝C-[-2,-1.G｝D-1-2,-1,0.1,2)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在(4-2)"的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则〃=,X项的系数等于.

X

14.(1-3x)(l+x)s展开式中/项的系数是

15.已知向量万=(加,4),5=(3,—2),且少〃5，则机=.

16.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝,事件8=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,

且已知P(A)=0.65,P(3)=0.2,P(C)=().l,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)数列｛q｝满足q#0,q=1且。“+|-=0.

(1)证明：数列，，，是等差数列，并求数列｛《,｝的通项公式；

(2)求数列｛4•。用｝的前“项和Sn.

18.(12分)已知函数/(x)=o?-a-|nx,三。e[0,+8),使得对任意两个不等的正实数为四，都有

―/(”2)<o恒成立.

%—x2

(1)求f(x)的解析式；

(2)若方程」-=+有两个实根X1,X,,且玉</，求证：x｝+x2>\.

2x

19.(12分)已知数列｛4｝满足%=2a“+2"M+l(〃eN)«,=1,等差数列｛2｝满足勿+2〃=2%+4(〃=2,3,-.)，

(D分别求出｛。"｝,｛"｝的通项公式；

(2)设数列｛q｝的前〃项和为S“，数列t।“-1+S”」的前〃项和为却证明：T<1.

1gn

20.(12分)在平面直角坐标系X0y中，直线4的倾斜角为30。，且经过点A(2,l).以坐标原点O为极点，X轴正半

轴为极轴建立极坐标系，直线4：夕cos6=3,从原点O作射线交4于点M,点N为射线OM上的点，满足

\OM\-\ON\=n,记点N的轨迹为曲线C.

(I)求出直线4的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(U)设直线4与曲线C交于P,Q两点，求的值.

21.(12分)在如图所示的多面体中，平面ABgA，平面ABC。，四边形是边长为2的菱形，四边形ABCD

为直角梯形，四边形BCG4为平行四边形，且AB//CD,AB1BC,CO=1

(1)若E,F分别为A。，BG的中点，求证：所，平面ABg；

(2)若NAAB=60。，AG与平面ABCD所成角的正弦值正，求二面角4-AQ-。的余弦值.

Bl

Cl

22.(10分)AABC中的内角A,B,C的对边分别是〃，b,c,若&=4c,B=2C.

(1)求COS&

(2)若c=5,点。为边8。上一点，且8。=6,求△APC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

先根据向量坐标运算求出口+3=卜,6)和cosG&+外,进而求出sinG4+5),代入题中给的定义即可求解.

【详解】

由题意3="-=,则"+u=b，J5),cos«,£+,="，得sina，G+/)=；,由定义知

(M+V)卜+Rsin=2x2>/3x—=2>/3,

故选:D.

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.

2.A

【解析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.

【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，

T：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；

假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以断定值班人是甲.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析

判断能力，属于基础题.

3.A

【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.

【详解】

由程序框图的运行，可得：S=0,i=0

满足判断框内的条件，执行循环体，a=l,S=l,i=l

满足判断框内的条件，执行循环体，a=2x(-2),S=l+2x(-2),i=2

满足判断框内的条件，执行循环体，a=3x(-2)2,S=l+2x(-2)+3x(-2)2,i=3

观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a=99x(-2)",S=l+2x(-2)+3x(-2)2+...+lx(-2)",

i=l,此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是iVL

故选：A.

【点睛】

本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题.

4.C

【解析】

根据等比数列的下标和性质可求出生，小,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出2

【详解】

[«,=-6[a.=3

•.•4+9=5+8,二的9=的8=-18,又生+/=-3,可解得＜。或〈u

=3=—6

设等比数列｛4｝的公比为夕，则

21

当《~2；

当［％：时，/="=_2,.・.4+41=*+%/=,+(-6)*(—2)==.

%=—6%q—22

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质应用，意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

5.B

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把

最优解的坐标代入目标函数得结论.

x+y-2=Qfx=3

•可得《

2x-3y-9=01y=-1

将z=2x+y变形为y=-2x+z,

平移直线y=-2x+z,

由图可知当直y=-2x+z经过点(3,-1)时，

直线在)’轴上的截距最大，

z最大值为z=2x3—1=5,故选B.

【点睛】

本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变

形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

6.C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

27

将尤=2百尸=3函代入方程》点-le＞。)得〃=3布，而双曲线的半实轴a=所以°=万寿=10,

得离心率e=£=JIU,故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

7.C

【解析】

—.1—.―.____

连接AO,因为。为BC中点，可由平行四边形法则得A0=/(A6+AC),再将其用而，丽表示.由M、0、N

三点共线可知，其表达式中的系数和3+2=1,即可求出机+〃的值.

22

【详解】

连接AO,由。为8c中点可得，

而=；(通+记=々说+羿，

■：M.。、N三点共线，

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.

8.B

【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的!，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2",按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧

度数为_,x2%=-2乃.

63

故选：B

【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.

9.B

【解析】

根据共物复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.

【详解】

z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),则2=1+加，

z=x-yi>

代入可得=4+1,

解得丁=2x+l.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轨复数的概念，属于基础题.

10.C

【解析】

根据等差数列的性质可得2(%+%+%)+3(4+an)=6a5+6%=66,即%+率=",

所以品」4(%；%)=7&+%)=77,故选C.

11.B

【解析】

设数列的公差为.由4+4+6=13,4,电，生成等比数列，列关于4,d的方程组，即求公差d.

【详解】

设数列的公差为“Sw。，

4+%+々5=13,・二3%+5。=13①.

♦.•4，4,。5成等比数列，，(4+d)2=q(4+44)②，

解①②可得4=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

12.C

【解析】

先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.

【详解】

由题意得二={二I二；=4,二e二}={二I-2=二=2二eZ}={-2,-1,0,1,2?

•七={1.2)，

•二匚={-2,-1.

故选C.

【点睛】

本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合二和熟悉补集的定义，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.81

【解析】

根据二项式系数和的性质可得〃，再利用展开式的通项公式求含x项的系数即可.

【详解】

由于所有项的二项式系数之和为2"=256,〃=8,

故(4-2)"的二项展开式的通项公式为丁川=墨.(-2),•J卡，

令4-^=1,求得厂=2,可得含x项的系数等于4C；=112,

故答案为：8；1.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

14.-20

【解析】

根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解.

【详解】

解：(1-3x)(1+x)5=(l+x)5-3x(l+x)•、展开式中父项的系数：

二项式(1+X)5由通项公式配|=C；(X)A

当r=3时，/项的系数是C；=10,

当r=2时，V项的系数是

故/的系数为或-3C；=-2()；

故答案为：-2()

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题.

15.-6

【解析】

由向量平行的坐标表示得出-2m-4x3=0,求解即可得出答案.

【详解】

因为石〃5，所以-2，〃-4x3=0,解得加=—6.

故答案为：-6

【点睛】

本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

16.0.35

【解析】

根据对立事件的概率和为1,结合题意，即可求出结果来.

【详解】

解：由题意知本题是一个对立事件的概率，

V抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，

P(A)=0.65,

•••抽到不是一等品的概率是P=1-P（A）=1-0.65=（）.35,

故答案为：0.35.

【点睛】

本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）证明见解析，an-----；(2)-----

3力一2------3〃+1

【解析】

11「

（1）利用。向-4+3。“+回，=0,推出——一=3,然后利用等差数列的通项公式，即可求解;

an+lan

（2）由（1）知!（丁二-丁二），利用裂项法，即可求解数列的前"项和.

33〃-23〃+1

【详解】

<1)由题意，数列｛«„｝满足%>0且an+i-a„+3an+ian=0

11cc11c

可得---------+3=0,即---------=3,

4an+iall+lan

11,

所以数列是公差［=3,首项7=i=1的等差数歹U,

故‘=1+3(〃-1)=3〃-2,所以a,,=——

a.3〃一2

(3〃一2；3〃+1)11-*)

(2)由(1)知44+i

所以数列｛。.。，小｝的前〃项和:

3x1-2

________｝_、

、3〃-23n+l?

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前"项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公

式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

18.(1)f(x)=-\nx；(2)证明见解析.

【解析】

(D根据题意，f(x)在(0,+8)上单调递减，求导得了‘(幻=2依-工="二二l(x>0),分类讨论f(x)的单调性，

XX

结合题意，得出了(X)的解析式；

(2)由X,赴为方程——=/(幻+机的两个实根，得出111%+丁=〃2,111%+丁=加，两式相减，分别算出司和X2,

2x2玉42

利用换元法令，=土■和构造函数〃=根据导数研究单调性，求出"«)<〃(l)=0,即可证出

x2t

结论.

【详解】

(1)根据题意，f(x)对任意两个不等的正实数与天，都有山上迎」<0恒成立.

玉一赴

则/(x)在(0,+℃)上单调递减,

2aX1

因为f(x)==~-(x>0)>

XX

当。=0时，/‘瓮)<0,/(乃在(0,+8)内单调递减.,

当a>0时，由/'(X)=0,有x=［不，

此时，当xw时，/(x)<0,/(x)单调递减,

当，，岛

/'(x)>0,/(x)单调递增,

综上，a=0,所以/(x)=-lnx.

(2)由王,々为方程，-=f(x)+/〃的两个实根,

2x

得In玉+」一=加,111工2+二一=加，

'2xj2X2

两式相减，可得1勺1鹏+5e=0,

A-1]_&

因此玉=▲—=——，

2Ini21n出

x2x2

令f=±,由占<々，得0</<1，

2In/2\nt2\nt

构造函数〃(f)=f—l—21nt,0<f<l.

t

则/⑺=i+[-2=92i>o,

rtr

所以函数力⑺在(0,1)上单调递增，

故咐〈〃⑴=0,

1t--

即f——21nr<0,可知J

t----t>1

21nr

故为+为>1,命题得证.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能

力和计算能力.

19.(1)a„=n-2"-1,bn=2n(2)证明见解析

【解析】

(1)因为.=2““+2向+1(〃€四)，所以1+l=2a“+2""+2(〃eN*),

所以^^铝+1，即守-竽=1，又因为4=1，

所以数列｛嗖｝为等差数列，且公差为1,首项为1,

贝!l^^=l+(〃-l)xl=〃，BPan=/?-2"-1.

设｛2｝的公差为d,则bn-b,”\=力,i—2〃+4-b„_｝=b,^-2n+4=d,

所以％_]=2〃-4+d(〃=2,3,・・・)，则2=2(〃+1)-4+d(〃wN*)，

所以d=b“一4_]=[2(〃+l)-4+d]-(2〃-4+d)=2,因此a=2(〃+1)-4+2=2〃,

n

综上，an=n-2-\,bn=2n.

(2)设数列｛小2"｝的前〃项和为M“，贝(=1X2+2X2?+3X23+4X2*+…+〃x2",

2M„=1X22+2X23+3X24+4X25+.--+MX2,,+1,

两式相减得=lx2+lx22+lx23+lx24+...+lx2n-nx2,,+1=(l-«)-2n+,-2,

=(〃-l)-2e+2,所以S,=(〃-l)-2"“+2-〃，

41g2

41g22=2(；--

设的]/T+S“+i'则&=

2(n+l)lg2"+2(”+])(〃+2)n+\〃+2

%n

b,、i-J11111、-,11、，2

W7；,=2x(---+---+...+---)=2x(---)=1--<1.

x=2+—t

22

20.(I)<2(t为参数)，x-4x+y=0(x^0).；(II)1.

y=1+T

2

【解析】

PP\=12

(I)直接由已知写出直线A的参数方程，设N(p,0),M(pi,0)),(p>0,pi>0),由题意可得<，即P

=4cos0,然后化为普通方程;

(II)将A的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于f的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得依「卜|4。|

的值.

【详解】

x=2+zcos30°

(I)直线h的参数方程为〈,,_,(t为参数)

y=l+^sin30

°G

x=2+-^—t

9

即《(t为参数).设N(p,0),M(pi,0i),(p>0,pi>0),

y=1+—?

.2

PPI=123

则《八八，即夕-----=12,即p=4cos0,

U=cos0

，曲线C的直角坐标方程为x2・4x+y2=o(x#)).

(n)将h的参数方程代入C的直角坐标方程中,

得(2+*)2-42+亭+(1+$)2=0,

I7

即t?+t-3=0,t2为方程的两个根，

.,.tit2=-l,.,.|AP|»|AQ|=|tit2|=|-l|=l.

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数，的几何意

义的应用，是中档题.

.…7

21.⑴见解析⑵——

8

【解析】

试题分析：(1)第(1)问，转化成证明A81•平面ABCi,再转化成证明4BJ.A4和4G.⑵第(2)问，先

利用几何法找到AG与平面ABCD所成角，再根据AC,与平面ABCO所成角的正弦值为好求出B.C,=a,再建立空

5

间直角坐标系，求出二面角的余弦值.

试题解析：

(1)连接4况因为四边形ABgq为菱形，所以

因为平面ABgA_L平面ABC。，平面ABgA41c平面ABCD=A3,BCu平面ABC。，ABL3C,所以BC_L

平面ABB^.

又46u平面AABd，所以48_L8C.

因为BC//B，i，所以48,gg.

因为瓦CICAg=4,所以A/_L平面A4G.

因为E,尸分别为4G，BG的中点，所以EF//45,所以£尸，平面AgG

(2)设5°=。，由(1)得AG，平面AB与4.

由NAAB=60。，BA=2,得A4=2百，旧£=，12+〃.

过点G作与。C的延长线交于点取的中点H,连接A”，AM,如图所示,

又N4AB=60。，所以A484，为等边三角形，所以A4,A3,又平面ABB1劣_L平面ABCD,平面AB百平

面AB8=A8,4"u平面AB用A，故4"，平面A5CD.

因为BCG用为平行四边形，所以CCJ/BB],所以CCJ/平面44/反.

又因为CD//AB,所以C。//平面用.

因为CC|CCD=C,所以平面44乃旦//平面。GM.

由(1),得BCL平面所以BC_L平面。,所以3。_1_储”.

因为8CcOC=C,所以GM，平面ABC。，所以/GAM是AG与平面ABC。所成角.

因为Af//AB,C.BJICB,所以4片//平面A8CO,用CJ/平面A8CO,因为4旦小。4=与，所以平面

ABCD//平面A4G.

所以AH=GM=g，sinZC,AM—1=,---^-―,解得。=百.

AC；y/n+a25

在梯形ABC。中，易证OE_LAB,分别以百才，丽，砒的正方向为x轴，)'轴，二轴的正方向建立空间直角坐

标系.

则4(1,0,0),。(0,后0,4(0,0,6)，耳卜2,0词,B(-l,0,0),C(—1,6,0),

由瓯=(—i,o,百)，及函=因\得Gp,6,百)，所以相=(—3,百,6)