河北省石家庄市行唐县2021-2022学年高考仿真卷数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足（l+i）z=|3+4i],则z的虚部为（）

55

A.5B.-C.--D.-5

22

2.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为G的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该

几何体的体积为（）

4--------►

俯视图

A.迪B.4月C.空D.273

33

3.双曲线。：/一2尸=1的渐近线方程为（）

A.x±&y=0B.x±2y=0

C.缶±y=0D.2x±y=0

4.设i为数单位，N为z的共枕复数，若z=Ay，则z-2=（）

11.11.

A.—B.—lC.------D.1

1010100100

5.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球

体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80,52）,则直径在（75,90]内的概率为（）

附：若X~N（出b],则尸（4-cr<X,,〃+b）=0.6826,P（//-2cr<X„//+2cr）=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

主视图左视图

俯视图

7.^\OA\=1,\OB\=V3,OAOB=09点。在A5上，且ZAOC=30",设优=加为+〃彷£R），

则丝的值为（）

V3

B.3D.百

224

8.已知双曲线x。-v二=1的一条渐近线方程为y=-x,则双曲线的离心率为（）

ab-3

4553

A.-B.—C.-D.一

3342

9.如图，平面ABCD,A8C。为正方形，且以=AD,E,尸分别是线段％,C£）的中点，则异面直线E尸与

8。所成角的余弦值为（）

V2D.旦

3

10.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布直方图如图所示，其

中支出在［20,40）（单位：元）的同学有34人，则〃的值为（）

0.036

0030

0.024

0.01

2030405060支出阮）

A.100B.1000C.90D.90

x-4y+4<0

12.在平面直角坐标系中，若不等式组,2x+），-1040所表示的平面区域内存在点（x0,j0）,使不等式工+机为+1V0

5x-2y+2>0

成立，则实数〃z的取值范围为（）

A.（-co,--]B.（-oo,-l]C.[4,+00）D.（-oo,-4]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在矩形ABCD中，BC=4,"为8C的中点，将和△OCM分别沿AM,DM翻折，使点3与。重合

于点P.若ZAPD=15Q°,则三棱锥M-Q4Z）的外接球的表面积为.

14.函数f（x）=Jlogo_5（4x-3）的定义域是

15.AABC中，角A,8,C的对边分别为c,且A,3,C成等差数列，若b=6,c=l，则A4BC的面积为

16.连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点P落在圆/+/=]9内的概率为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AASC中，A、B、C的对应边分别为。、b、c,已知。=2,c=2百，cosC=--.

2

（1）求A；

（2）设M为BC中点，求AM的长.

18.（12分）已知直线（：，=1+人与抛物线。：；/=2内5>0）切于点/>,直线32》一2冲一〃"1=0过定点。,

且抛物线C上的点到点。的距离与其到准线距离之和的最小值为巫.

2

（1）求抛物线。的方程及点P的坐标；

（2）设直线与抛物线C交于（异于点P）两个不同的点A、B,直线E4,P8的斜率分别为匕、右，那么是否存在实

数丸，使得勺+网=义？若存在，求出X的值；若不存在，请说明理由.

[&凡

x=3---1

2

19.（12分）在平面直角坐标系方力,中，直线/的参数方程为广（/为参数）・在以原点。为极点，x轴

尸石+与

I2

正半轴为极轴的极坐标系中，圆。的方程为夕=2石sin。.

（1）写出直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

⑵若点P坐标为（3,6）,圆C与直线/交于A6两点，求I尸川+|。8|的值.

01,02d

20.（12分）已知矩阵4=八的逆矩阵AT=.若曲线G：三+丁=1在矩阵A对应的变换作用下得到

a0J\_h0J4

另一曲线。2,求曲线的方程.

21.（12分）如图，点C是以AB为直径的圆。上异于A、B的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆。所在平面垂

直，且DE//BC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

2

D

（1）证明：£O//平面AC。；

（2）求点E到平面板»的距离.

22.（10分）已知/（%）=。一,-玳4〉0）,且/（x）N0的解集为{x|-3<x<7}.

(1)求实数"，〃的值；

(2)若的图像与直线x=0及>=/%(〃?<3)围成的四边形的面积不小于14,求实数m取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

由(1+i)z=|3+4i|—432+4?=5，

_5_5(l-z)_55

得『不-(1+,・)(j)-5一/

•,•2的虚部为.

2

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

2.B

【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V='X2XGX4=4班.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

3.A

【解析】

丫2_匕-1r2_21-n

将双曲线方程化为标准方程为一丁一，其渐近线方程为丁一，化简整理即得渐近线方程.

22

【详解】

22

r2_21=]丫2_匕=。

双曲线。：/-2)，2=1得八一了一L则其渐近线方程为1,

22

整理得》±岳=0.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.

4.A

【解析】

由复数的除法求出z,然后计算/.J

【详解】

13-z31.

Z---------------------------------1,

3+i(3+z)(3-«)1010

—313132/1、21

Z-Z=(---------0(11)=(——)+(—)~=—.

10101010101010

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘除法运算，考查共趣复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键.

5.C

【解析】

根据服从的正态分布可得〃=80,b=5,将所求概率转化为P(M-b<X4M+2b),结合正态分布曲线的性质可

求得结果.

【详解】

由题意，〃=80,b=5,贝iJP(75<X,,85)=().6826,P(70<X,,90)=0.9544,

所以P(85<X,,90)=gx(0.9544-0.6826)=0.1359,P(75<X,,90)=0.6826+0.1359=0.8185.

故果实直径在(75,90]内的概率为0.8185.

故选：c

【点睛】

本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.

6.A

【解析】

观察可知，这个几何体由两部分构成，：一个半圆柱体，底面圆的半径为1,高为2；一个半球体，半径为1,按公式计

算可得体积。

【详解】

设半圆柱体体积为匕，半球体体积为匕，由题得几何体体积为

23

V=V+V,=^xlx2xl+-x^xlxl=—,故选A。

2323

【点睛】

本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

7.B

【解析】

利用向量的数量积运算即可算出.

【详解】

解：-.-ZAOC=30°

cos<OC,OA>-—

2

OCOA_G

(m。A+6

.•卜屈+〃丽恒2

+nOB-OA6

yjm2|0A|2+2mnOAOB+n2|dX|2

V|OA|=1,|OB|=>/3,OA.QB=0

m_\/3

Jj篦2+3/2

/.nr=9n2

又・・・c在AB上

:.m>0,72>0

m

・..一二3

n

故选：B

【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.

8.B

【解析】

由题意得出”的值，进而利用离心率公式e=可求得该双曲线的离心率.

【详解】

双曲线W—£=i的渐近线方程为^=±2%,由题意可得上=3，

a2h2a/⑴9

因此，该双曲线的离心率为e=£=J上

故选：B.

【点睛】

本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e=计算较为方便，考查计算能力，属于

基础题.

9.C

【解析】

分别以A5,AD,A尸所在直线为x轴，y轴，二轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,再利用向量法求异面直

线E尸与BD所成角的余弦值.

【详解】

由题可知，分别以AS,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A一盯z.

设AD=2.则丽=(-2,2,0),EF=(1,2,-1),cos<BD,EF}=+.

V8xV66

故异面直线EF与BD所成角的余弦值为B.

6

故选：C

【点睛】

本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10.A

【解析】

利用频率分布直方图得到支出在［20,40)的同学的频率，再结合支出在［20,40)(单位：元)的同学有34人，即得解

【详解】

由题意，支出在［20,40)(单位：元)的同学有34人

由频率分布直方图可知，支出在［20,40)的同学的频率为

34

(0.01+0.024)x10=0.34,.-.??=—=100.

0.34

故选：A

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

11.A

【解析】

根据函数/(X)的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.

【详解】

因为〃一九）=/（力，所以“X）是偶函数，排除c和D.

x+21nx-l

当x〉0时，/（%）=%——-）/（工）=

令/（x）＜0,得0＜x＜l,即/（x）在（0,1）上递减；令/'（x）＞0,得x＞l,即〃x）在（1,+s）上递增.所以/（x）

在x=l处取得极小值，排除B.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.

12.B

【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数/+加%+140恒过。（-1，0），再分别讨论机的正负进一步确定目标函数

与可行域的基本关系，即可求解

【详解】

作出不等式对应的平面区域，如图所示：

y

6

sy\\/xfwri^（iw<o）

1234八6'

其中A（2,6）,直线x+my+l=O过定点

当“2=0时，不等式X+1W0表示直线x+l=0及其左边的区域，不满足题意；

当机＞0时，直线x+冲+1=0的斜率一°•＜（）,

m

不等式x+my+lK。表示直线工+〃9+1=。下方的区域，不满足题意；

当机＜0时，直线%+冲+1=0的斜率一--＞0,

m

不等式x+/M_y+l«（）表示直线x+〃寸+1=0上方的区域，

要使不等式组所表示的平面区域内存在点（毛,％），

使不等式与+加为+140成立，只需直线x+2y+l=0的斜率一,4心。=2,解得加

m2

综上可得实数机的取值范围为

2

故选：B.

【点睛】

本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.68万.

【解析】

计算AWP外接圆的半径广，并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据

（PM\

9_1_面左短，R2=E+,即可得解.

I2）

【详解】

由题意可知，MP1PA,MPLPD,PDcPQP,

所以可得PM，面PAD,

设阴外接圆的半径为广，

AD4

由正弦定理可得---2--r--,-即--=2r,r=4>

sinZAPDsin150°

设三棱锥M-PAD外接球的半径R,

因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点,

则R2=性'

+/=1+16=17,

所以外接球的表面积为5=44代=684.

故答案为：68%.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.

【解析】

由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.

【详解】

解：由题意得，

X<1

log0.5(4x-3)>0

4x-3>0'解得3，

X>一

4

3

所以:<尢41,

4

故答案为：f-J

【点睛】

此题考查函数定义域的求法，属于基础题.

15.

2

【解析】

1T

由A,B,C成等差数列得出8=60。，利用正弦定理得C进而得A=一代入三角形的面积公式即可得出.

2

【详解】

VA,B,C成等差数列，...A+C=28,

又4+8+C=180°,.*.38=180°,8=60°.

Ch1717T

故由正弦定理-----=-----sinC=—,/c<Z?/.C=—,故A=一

sinCsin8262

所以SAABC=—hc=1/a,

22

故答案为：B

2

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题.

11

16.—

36

【解析】

连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解

【详解】

由题意知，连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，

而满足条件的结果为：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)

共有11种结果，根据古典概型概率公式,

可得所求概率p=".

3o

故答案为：?

36

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)30。；(2)币.

【解析】

(1)直接根据特殊角的三角函数值求出C,结合正弦定理求出A；

(2)结合第一问的结论以及余弦定理即可求解.

【详解】

IcCL

解：(1)VcosC=一一,且0<Cv万，/.C=120°,由正弦定理-----=-----

2sinAsinA

22&..._1

----=-------9••sinA=-9

sinAsin12002

VC=120°

...A锐角，=30°

(2),••A=30°,C=120°

二3=30°

b—a—2

...在AAMC中，由余弦定理得41〃=AC2+CA/2_2AC.C例.cosC

=l+4-2x2xlx

=7

；•AM=不

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

Q

18.(1)y2=4x,(1,2)；(2)存在,-

3

【解析】

(1)由直线恒过点点及抛物线C上的点到点。的距离与到准线的距离之和的最小值为萼，求出抛物线的方程，

再由直线4与抛物线相切，即可求得切点的坐标；

(2)直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线左，尸5的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数

4使得斜率之和为定值.

【详解】

(1)由题意，直线4变为2x+l-"，(2y+l)=0,所以定点。的坐标为1一3,一

抛物线C:y2=2px(〃>0)的焦点坐标F(■^•,0),

由抛物线。上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为半，

可得|QF|=++(°+g)=萼，解得P=2或p=-4(舍去)，

故抛物线C的方程为y2=4x

y=x+Z?.、

又由《2，消去y得Y+23—2)x+〃=o,

=4x

因为直线4与抛物线C相切，所以A=[2仅一2)1一好=0,解得人=1,

此时元=1,所以点尸坐标为(1,2)

(2)设存在满足条件的实数X,点4(“),8(”2)，

联立《2，消去工得丁~-4/ny-2根+2=0,

y=4x

贝！IM+%=4根,=2-2加，

依题意，可得△=(4根)2-4(2-2加)>0,解得m<1或相>,，

2

由(1)知尸(1,2),

k=♦-2二______乂-2_______2(^-2)

可得1x-1I”,八12my+m一3，

1-(2my1+-1)-1力

2（必一2）

同理可得质

2my2+m-3

由山一2(y—2)2(%—2)一2[4加y%一3(〃2+1)(乂+%)-4(加一3)]

2my}4-/T7-32my0+加一34m~y]乃+2m(m-3)(y1+y2)+(/7?-3)

_2[4/?z(2-2m)-3(m+l)4/n-4(m-3)]_8(-5m2-2m+3)_8

4/v2(2-2/?7)+2m(m-3)4m+(m-3)23(-5m2-2m+3)3'

Q

故存在实数2=；满足条件.

【点睛】

本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物

线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

19.(1)x2+(y-^2=5⑵30

【解析】

试题分析：(D由加减消元得直线/的普通方程，由夕sin。=y，△2=产+V得圆。的直角坐标方程；(2)把直线।的

参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=%|+|t2|=ti+t2,再根据韦达定理可得结果

J企

x-3—t_

试题解析：解：(I)由」一「得直线1的普通方程为x+y-3-后0

y=V5^t

又由P=2泥sin8得p2=2&psin。，化为直角坐标方程为x2+(y-遂)2=5；

(II)把直线1的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得(3-乎t)2+(乎t)2=5,即12-3匹+4=0

设t”t2是上述方程的两实数根，

所以ti+t2=3«

又直线1过点P(3,优)，A、B两点对应的参数分别为ti,t2,

所以|PA|+|PB|=|ti|+|t2|=ti+t2=3后.

20.x2+y2=1

【解析】

根据A4-=E，可解得。力，设p(x',y)为曲线G任一点，在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x,y),则点。在

曲线G上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用x，y表示出x',y',代入曲线G的方程中，即得.

【详解】

00210b010

•.•4=£，I,即

aIb0002a01

101

b=la=—

解得2,A=

0

b=l,2

r2

设P（x',y'）为曲线C任一点，则宁+y'2=l,

又设P（x,y）在矩阵A变换作用得到点Q（x,y）,

yr=x

xx'=2y

,所以xr即,

yy'=x

1—2二y•

,2

代入?+y'2=l,得V+Y

所以曲线G的方程为f+y2=i.

【点睛】

本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.

21.（1）见解析；（2）

41

【解析】

（1）取3C的中点/，证明。例〃47,&0//。。,则平面。0£〃平面48,则可证EO//平面AC0.

(2)利用VE_ABD=VA_EBD,AC是平