河北省香河县2022年高考数学倒计时模拟卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.等比数列｛。“｝,若%=4,%5=9则=<）

13

A.±6B.6C.-6D.—

2

2.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“―”表示一个阳爻，“一一”表示一个阴爻）.若从含有两个及以上阳

爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）

3.已知复数2=（1+。（3-。。为虚数单位），则z的虚部为（）

A.2B.2zC.4D.4z

4.已知等差数列｛《,｝中，％+4=8则43+4+45+%+/=（）

A.10B.16C.20D.24

5.已知正四面体A-BCD外接球的体积为8指乃，则这个四面体的表面积为（）

A.1873B.1673C.1473D.1273

a=(4,2)，Z=(x,3)，

6.已知平面向量al1b，则实数x的值等于（）

33

A.6B.1C.-D.——

22

1

7.若tana=一,贝！jcos2a=()

2

_4343

A.B.--C.-D.-

-5555

8.已知/为抛物线d=4），的准线，抛物线上的点M到/的距离为d,点尸的坐标为（4,1）,贝（+d的最小值是

A.V171+V17

9.若复数Z1=2+i,z2=cos«+isin«（»eR）,其中i是虚数单位，贝114一z2|的最大值为（

V5-1A/5+I

A.A/5—1C.V5+1

2

10.如图，在圆锥SO中，AB,CO为底面圆的两条直径，A8nco=。，且SO=OB=3,SE^-SB.,异

面直线SC与OE所成角的正切值为（

13

?6

11.甲乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参

加同一个小组的概率为（）

1111

A.—B・—C.-D.一

3456

12.i是虚数单位，若?^=a+A（a功wR）,则乘积出7的值是（）

A.一15B.一3D.15

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（x）=4sinx+§x3在x=（）处的切线与直线内一y一6=0平行，则〃为

14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆。：/+（k1）2=1,圆C，：（x+26）、y2=6.直线/：y=H+3与圆C相切,

且与圆C'相交于A,B两点,则弦AB的长为

15.设平面向量Z与坂的夹角为8,且归+0=1,归一0=6,则夕的取值范围为.

16.若（X-2）"展开式的二项式系数之和为64,则展开式各项系数和为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知G：x2+y2-2y^0,

c2：百x+y=6,c3：依一>=0（k>0）.

（1）求a与。2的极坐标方程

⑵若G与G交于点A,。2与G交于点8,|。4|=40阿，求4的最大值.

18.（12分）已知函数〃同=卜，?二^）,其中aeR.

（1）当a=0时，求/（x）在（1,/（1））的切线方程；

（2）求证：/.（X）的极大值恒大于0.

19.（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量二（单位：亿元）对年销售额二（单

位:亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①-_-②-_e二二+二，其中--------

均为常数，3为自然对数的底数.

歹,年销将额/亿元

80

75・

70

65*

60・

:.....................................................................X

or*1015202530年研发资金/亿元

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量二二和年销售额二二的数据，二=/2“・,二，并对这些数据作了初步处理，

得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令二_=二乙二_=也二_｛二=/2.，匚;，经计算得如下数据：

"二-E二

r二

二=;

2066一"02004604.20

2二二-12

二二一：）（二二一：）

二=1二二/

3125000215000308

（1）设｛二_｝和｛二一:的相关系数为二；，｛二一:和｛二一:的相关系数为二、，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的

模型;

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立二关于二的回归方程（系数精确到0.0D;

（ii）若下一年销售额二需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量二是多少亿元？

附：①相关系数「二，回归直线--中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

y-----

:

（3吃二（3/

、1y^二=:J;二:

—__，_==--=；

n=J二=；________________

■■=>二-=:o

②参考数据：306=4X--，、丽X9.4868'e"9Mx90'

20.（12分）若不等式1+2*+4,%>0在xe（O,l］时恒成立，则a的取值范围是.

21.（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过

随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

男235151812

女051010713

（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的2x2列联表，并判断能否在犯错误概率

不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？

（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.视频率为概率.

①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；

②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获

得一次抽奖活动.每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：

红包金额（单位：元）1020

2j_

概率

44

现某市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期

望.

n(ad-he)2

附表及公式：K2n=o+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是菱形，NN胡。=60。，△24。是边长为2的正三角形,

PC=M，£为线段A。的中点.

(1)求证：平面~BC_L平面P3石

(2)若尸为线段PC上一点，当二面角P—D3—厂的余弦值为且时，求三棱锥包厂的体积.

5

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.

【详解】

由等比数列中等比中项性质可知，%闱15=%2，

所以4=±〃3=±>/36=±6,

而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以的=6,

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.

2.B

【解析】

基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.

【详解】

解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，

取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的

基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，

31

所以，所求的概率P=：=^.

62

故选：B.

【点睛】

本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.

3.A

【解析】

对复数二进行乘法运算，并计算得到z=4+万，从而得到虚部为2.

【详解】

因为z=（l+i）（3-i）=4+2i,所以z的虚部为2.

【点睛】

本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意『=—1.

4.C

【解析】

根据等差数列性质得到4+%=8=2%，再计算得到答案.

【详解】

已知等差数列｛。“｝中，4+%=8=2%=>%=4

生+%+%+4+=5a5=20

故答案选C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

5.B

【解析】

设正四面体ABCD的外接球的半径R,将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据

正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面

积.

【详解】

将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a,如图所示，

设正四面体ABCD的外接球的半径为R,则把立=8几万，得宠=指.因为正四面体ABCD的外接球和正方体的

3

外接球是同一个球，贝U有儡=2/?=2"，，a=2夜.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，

所以，正四面体ABCD的棱长为&a=2&=4,因此，这个正四面体的表面积为4x亘•=166.

4

故选：B.

【点睛】

本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计

算能力，属于中档题.

6.A

【解析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】

Qa=(4,2)，/?=(x,3)，a//b'

.*.4x3=2%,

即x=6,

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.

7.D

【解析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果.

【详解】

1

Vtana=—,

2

21-1

八cos'a-sin-al-tan~aA3

:.cos2a=——：--------z—=-------z-=——1--，

cos<z+sin-a1+tan-a15

4

故选D

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化

能力，属于基础题型.

8.B

【解析】

设抛物线焦点为由题意利用抛物线的定义可得，当?，加，尸共线时，|加+"取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点厂(0,1),准线y=T,

过M作MN上I交I于前N,连接

由抛物线定义|朋N|=眼目=d,

\MP\+d=\MP\+\MF\>\PF\=4^=4,

当且仅当RM，尸三点共线时，取“=”号,

.••|明+△的最小值为4.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

9.C

【解析】

由复数的几何意义可得L-Zzl表示复数々=2+i,Z2=cosa+isina对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可

求解.

【详解】

由复数的几何意义可得，复数马=2+i对应的点为（2,1）,复数Z2=cosa+isina对应的点为（cosa,sina）,所以

22

|z|-z21=^（2-cosa）+（l-sina）=4l-2sina+4-4cosa+1=46-2有sin（a+0）<小6+26=A/5+1>其中tan（p=2,

故选C

【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将|Z1-Z2|转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.

10.D

【解析】

可过点S作S尸〃OE,交4B于点尸，并连接C尸，从而可得出NCS尸（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根

据条件即可求出SC=3忘，SF=CF=M，这样即可得出的值.

【详解】

如图，过点S作SF〃。瓦交AB于点凡连接CP,

则NCS/（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，

VSE^-SB,：.SE^-BE,

43

又OB=3,；.OF=LOB=1,

3

SO1OC,SO=OC=3,：.SC=3V2；

SOIOF,SO=3,OF=1,:.SF=回;

OCLOF,OC=3,OF=1,，CF=M，

j近了一(S'

_VTT

，等腰ASC尸中，tanNCSF

372

2

故选：D.

本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力,

属于基础题.

11.A

31

【解析】依题意，基本事件的总数有3x3=9种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为三=士.

93

12.B

【解析】

U=(l+7i)(2+i)~+3"3,皿=-3,选B.

2-z5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4

【解析】

根据题意得出〃=/'(0),由此可得出实数〃的值.

【详解】

,//(x)=4sinx+-x3,=4cosx+x2,直线，a-y-6=。的斜率为"，

由于函数/(x)=4sinx+§V在1=0处的切线与直线“-y-6=0平行,

则〃=r(o)=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算

能力，属于基础题.

14.V15

【解析】

利用直线与圆相切求出斜率左，得到直线的方程，几何法求出

【详解】

解：直线/：y="+3与圆C相切，C圆心为(0,1)

|-1+3|,,广L

由不一="得左=6或一6，

\lk+1

当y=-Gx+3时，C'到直线的距离"=号詈=|>太，不成立，

当y=Gx+3时，/与圆C相交于A，B两点,C到直线的距离〃=(等=|,|48|=2回段=岳

故答案为厉.

【点睛】

考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题.

【解析】

根据已知条件计算出同问2=2,结合忸+司=1得出=利用基本不等式可得出同网的取值范围，利用

平面向量的数量积公式可求得cose的取值范围，进而可得出e的取值范围.

【详解】

,.・«+司=1,卜_.=6,同2+网2=g(々+司2+卜_同2)=2,

1

由卜+万|=1得a+2a国+5=1，:.a》二

29

由基本不等式可得2=同之+时22同归，.,.o<|a|-|z?|<i,

v-l<cosL-g-无、____2_一।r

cosw-1,—，

呻一砰1L2j

,一「2乃

QO<6(乃，因此，e的取值范围为T.

27r

故答案为：一二，"♦

【点睛】

本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

16.1

【解析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出«的值，然后再计算展开式各项系数的和.

【详解】

由题意(x-2)”展开式的二项式系数之和为64,即2"=64，故〃=6,令x=1,则展开式各项系数的和为(1-2)6=1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，

需要掌握解题方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)G的极坐标方程为夕=2sin。；C2的极坐标方程为：6°cose+0sin6=6(2)；

【解析】

X=PCOS0

(1)根据.八，代入即可转化.

y-夕sin，

(2)由C,：kx-y=0(k>0),可得夕=。，代入G与G的极坐标方程求出|°川，|。目，从而可得

)=坐="巾"+26smeos"，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.

OB6

【详解】

(1)Cx：炉+y-2旷=0,.•.夕2=2夕sin。，

・・.G的极坐标方程为夕=2sin。

/C2•石x+y=6,二6pcose+/9sin9=6,

:.C2的极坐标方程为：J^pcosg+psine=6,

(2)QC3：kx-y=0(k>0)9则夕=a(。为锐角)，

/.lOAl=2sina,\OB\=-------、-----,

sina+，3cosa

|OA|_2sin2a+2\/^sincosa

../t=7-

\OB\6

^3sin2a-cos2a+12sin(a61+11，当二二£时取等号.

=---------------------------------«-3

662

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

18.(1)y=-x(2)证明见解析

e

【解析】

(1)求导，代入。=0,求出在x=l处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；

(2)分类讨论得出极大值即可判断.

【详解】

(1)/(力=一丁一(4-2)—+24=(x+a)(x-2),

exex

当。=0时，/,(1)=-,/(1)=-,

ee

则在的切线方程为y=%；

(2)证明：令/'(x)=0,解得x=2或x=-“，

①当a=-2时，/'(x)W0恒成立，此时函数/(x)在R上单调递减，

二函数/(x)无极值；

②当。>一2时，令/'(x)>0,解得—a<x<2,令/'(x)<0,解得x<-“或犬>2,

二函数/(x)在(一。,2)上单调递增，在(f,—a),(2,转)上单调递减，

:，“X)极大值=/⑵=>0；

③当a<—2时，令/'(x)>0,解得2<x<-a,令/'(x)<0,解得x<2或x>—a,

二函数/(x)在(2,-a)上单调递增，在(-8,2),(-〃+«))上单调递减，

•・•/(力极大值=/(—。)=^>°，

综上，函数/(x)的极大值恒大于0.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

19.(1)模型二=e=+二的拟合程度更好；(2)(D2=0,022+3.84;(近)二二方亿元.

【解析】

(1)由相关系数求出两个系数，比较大小可得；

(2)(i)先建立二「关于二的线性回归方程，从而得出二关于二的回归方程;

(ii)把二=90代入(i)中的回归方程可得二值.

【详解】

本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识，考查统计与概率思

想、分类与整合思想，考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.

解：(1),

n_二一匚)(二二一二)_moo_:IJOO_N

T=「.；__=五嬴嬴=万荷=方=

口，=JK：-=，==-%0.91

-_L9X9387/X0J11

1>①二-币29二-手

〈一二=:J二=:

则1二；|<|二十因此从相关系数的角度，模型二=e二二+二的拟合程度更好

(2)(i)先建立二,关于二的线性回归方程.

由二=e二二+二，得上二=二+二二，即二=二+二二•

由于_»

〉9二-f功

□=------------=J*0.018

V-g-心

=二=:

□=□-□□=4.20-0.018X20=3.84,

所以二:关于二的线性回归方程为：=0①二+3方4,

所以上;=0.02~+3.84,则二=，二一：二

(ii)下一年销售额二需达到90亿元，即二=90，

代入：二/二二"逅得，90=/二二T、，

又««第„go，所以名《”J«0.02口+3加'

所以

□x=32.99

0.D2

所以预测下一年的研发资金投入量约是3二％亿元

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理

论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻

辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性

3

20.ci>—

4

【解析】

2

原不等式等价于a在(0』恒成立，令/=5，f(t)^t+t,求出在；，，上的最小值后可得〃

的取值范围.

【详解】

因为1+2"+4"・a>0在x£(0,1］时恒成立，故〃>一(不+57)在(。/］恒成立.

令/=?，由xe(O,l］可得fe

令/«)=*+/,则为上的增函数，故/«)*=1

3

故答案为：a>—.

4

【点睛】

本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最

值问题，本题属于基础题.

21.(1)不能；(2)①—；②分布列见解析，——.

254

【解析】

(1)根据题目所给的数据可求2x2列联表即可；计算K的观测值心，对照题目中的表格，得出统计结论.(2)由相

231R

互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P=l-(-)3-(-)3=一，解出X的分布列及

5525

75

数学期望E(X)=—即可；

4

【详解】

⑴由图中表格可得2x2列联表如下：

非“环保关注者”是“环保关注者”合计

男104555

女153045

合计2575100

将2x2列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值

2〃(—2100(45x15-30x10)2一…

K=-----------------------=-------------------x3.U3U<J.o41,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)25x75x55x45

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.

32

(2)视频率为概率，用户为男“环保达人”的概率为g.为女“环保达人”的概率为二，

①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为

pYf3?_18.

⑸⑸25

②X的取值为10,20,30,40.

133

P(X=10)=-x-=-,

248

1113313

p(X=20)=-x-+-x-x-=—,

2424432

1133

P(X=30)=~X^2X~7X~7=~T79

24416

p(X=40)=-xlxl=—,

24432

所以X的分布列为

X10203040

3133