河北省邢台市桥西区2021-2022学年高三考前热身数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知为非零向量，“充在二庐万,，为“同M=的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

UULUULU------------------------------

2.在AABC中，点。是线段上任意一点，2AM=AO，BM=AAB+^iAC,贝!l^+M=()

3.一物体作变速直线运动，其丫-/曲线如图所示，则该物体在，s~6s间的运动路程为（）加.

2

。136〃s

449

A.1B.-C.—D.2

34

4.已知复数z满足，(3+z)=l+i,贝陵的虚部为()

A.-zB.iC.-1D.1

5.以4(3,7),8(-2,2)为直径的圆的方程是

A.x2+j2-x-j-8=0B.Jc2+y2-x-y-9=0

C.x2+y2+x+y-8=0D.x2+y2+x+y-9=0

6.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又

称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（D）,

类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个

大正六边形，设H户'=2尸幺，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）

ED

A2屈

A.---------

13

r2布

7

7,执行如图所示的程序框图，若输出的k=5,则输入的整数P的最大值为()

8.偶函数/(x)关于点(1,0)对称，当一IWXWO时，f(x)=-d+l,求”2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

9.AABC是边长为2G的等边三角形，E、尸分别为A3、AC的中点，沿EF把折起，使点A翻折到点P

的位置，连接PB、PC,当四棱锥P-3CEE的外接球的表面积最小时，四棱锥P-BCFE的体积为()

.573n36„V6n3c

A.-------B.-------C.D.-------

4444

2

10.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当了〉0时，/(%)=%+——3.若xWO,则/(*)<()的解集是()

x

A.[-2,-1]B.(-00,-2]u[-1,0]

C.(-<x),-2]u[-1,0)D.(-oo,-2)u(-1,01

11.已知全集0=11,集合A={x|x<l},B={x|-l<x<2},贝!](eA)nB=()

A.{x[l<x<2}B.|x|l<x<2|C.1%|-1<x<11D.1x|x>-l|

12.设，•是虚数单位，若复数。+工(。£11)是纯虚数，则”的值为()

2+1

A.-3B.3C.1D.-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设S“为等比数列{4}的前〃项和，若q=1,且3S-2s2，S,成等差数列，则《,=.

14.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资

方案有一种.

22

15.如图，在平面四边形ABC。中，点A，C是椭圆匕=1短轴的两个端点，点B在椭圆上，

43

S.

ZBAD=ZBCD=90°,记AABC和AAOC的面积分别为耳，S?,则肃=.

16.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)a,》,c分别为AABC的内角A,B,C的对边.已知a(sinA+4sin3)=8sinA.

TC

(1)若人=l,A=w，求sin8；

6

7F

(2)已知C=],当△ABC的面积取得最大值时，求AABC的周长.

18.(12分)已知函数=(aeR,awO),g(x)=x+lnx+l.

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)若对任意的x>(),f(x)2g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

19.(12分)为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃

圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所

有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放

错误得。分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分.从所有参赛选手

中随机抽取2（）人，将他们的得分按照［0,20］、（20,40］、（40,60］、（60,8（）］、（80,10（）］分组，绘成频率分布直方图

（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组［0,20］和（20,40］内的人数;

（2）从所抽取的20人中得分落在组［0,40］的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的

人数，求X的分布列和数学期望.

20.（12分）如图，在AA6c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足asin3+6cosA=c,线段的中点

为。.

（ED已知sinC=^—,求NA05的大小.

10

21.（12分）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面A8CO是边长为2的正方形,侧面PAD为正三角形,且面PAD±

面ABC。，分别为棱AB,PC的中点.

（1）求证：EF//平面PAD；

（2）（文科）求三棱锥B-EFC的体积；

（理科）求二面角P-EC-£＞的正切值.

22.（10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）

V*-73cosa

在平面直角坐标系xQy,已知曲线C：（。为参数），在以。原点为极点，工轴的非负半轴为极轴建立

y=sina

的极坐标系中，直线/的极坐标方程为当pcos（e+（）=-i.

（1）求曲线c的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（2）过点M（—1,0）且与直线/平行的直线4交C于A，B两点，求点M到A，B的距离之积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由数量积的定义可得a2=\af>0,为实数，则由求5=备可得同2b=a，根据共线的性质,可判断方=B;再根据

\a\a=即判断万=九由等价法即可判断两命题的关系.

【详解】

若日=ba成立，则同2b=/万，则向量1与坂的方向相同，且时忖=帕同，从而口=忖，所以"治

若雨=恸瓦则向量力与坂的方向相同，且际=用，从而口=忖,所以a=b.

所以“日=力，，为，，同M=J*”的充分必要条件.

故选:B

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.

2.A

【解析】

设丽=左方心，用而，衣表示出雨，求出九〃的值即可得出答案.

【详解】

设丽=攵配=%通

UUL1UUUU

由2AM=AD

1—k—k—

，丽=g（丽+丽）=——AB+-AC--AB

222

2-加+质k,

22

1kk

A0=------,4=一，

222

c1

.:4+〃=-Q.

故选：A

【点睛】

本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.

3.C

【解析】

I「6

由图像用分段函数表示V«）,该物体在；S~6s间的运动路程可用定积分S=J|v«）df表示，计算即得解

22

【详解】

由题中图像可得,

2r,0</<l

出）=<2,l<r<3

—/+1,3</«6

13

由变速直线运动的路程公式，可得

=丹；+2《=y(m).

149

所以物体在一s~6s间的运动路程是—m.

24

故选：C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

4.C

【解析】

利用复数的四则运算可得z=-2-i,即可得答案.

【详解】

V«(3+z)=l+z,：.3+z=-=\-i,

i

.,.z=—2—i,.•.复数二的虚部为—1.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.

5.A

【解析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出4"r，从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为(x-幻2+(y-bf=产，

由题意得圆心。①力)为A,B的中点，

根据中点坐标公式可得。=寸=：,。=」5上=鼻，

又,二地=43+2)2+(―1-2)：=叵,所以圆的标准方程为：

222

(x-/I+(y——)2=—,化简整理得r+y~-%-y-8=0,

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.

6.D

【解析】

设A尸'=a,则4尸=加，小正六边形的边长为A'F=2a,利用余弦定理可得大正六边形的边长为AB=J7a，再

利用面积之比可得结论.

【详解】

由题意，设AF=a,则AN'=Zz,即小正六边形的边长为A尸=2a,

TT

所以，FF'=3a,NAF'F=—,在A4E户中，

3

由余弦定理得AF2=AF'2+FF'2-2AF'-FF''cosZAF'F，

即AF~=+（3a）——2a,3a,cos—,解得AF—yplci>

所以，大正六边形的边长为AF=J7a，

所以，小正六边形的面积为5,=—x2«x2axx2+2ax2\/3«=6\/3«2，

22

大正六边形的面积为1=9伍乂出+币ax后a=,

54

所以，此点取自小正六边形的概率p=u=7.

故选：D.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

7.B

【解析】

试题分析：由程序框图可知：①S=0，k=1；②S=l，k=2；③S=3，it=3;®S=7»it=4；

⑤S=15,左=5.第⑤步后it输出，此时S=15三尸，则尸的最大值为15,故选B.

考点：程序框图.

8.D

【解析】

推导出函数y=/(x)是以4为周期的周期函数，由此可得出了(2020)=/(0),代值计算即可.

【详解】

由于偶函数y=/(x)的图象关于点(1,0)对称，贝!)/(—x)=/(x),/(2+x)+/(-x)=0,

.-./(x+2)=-/(-%)=-/(%),贝iJ/(x+4)=-〃x+2)=/(x),

所以，函数y=/(x)是以4为周期的周期函数，

由于当TWxWO时，/(x)=-x2+l,则/(202())="4x505)="0)=1.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于

中等题.

9.D

【解析】

首先由题意得，当梯形8CEE的外接圆圆心为四棱锥P-3CEE的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现,

3c的中点即为梯形BCEE的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到尸0=0。=6，进而可

根据四棱锥的体积公式求出体积.

【详解】

如图，四边形BCEE为等腰梯形，则其必有外接圆，设。为梯形3CFE的外接圆圆心，

当。也为四棱锥P-3CEE的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A作BC的垂线

交于点M，交EF于点N,连接PM,PN,点。必在AM上，

E、尸分别为AB、AC的中点，则必有AN=PN=MN,

ZAPM=90-，即为直角三角形.

对于等腰梯形BCEE,如图:

4

/\

因为AABC是等边三角形，E、F、M分别为A3、AC.BC的中点,

必有MB=MC=MF=ME,

所以点M为等腰梯形BCEE的外接圆圆心，即点。与点M重合，如图

所以四棱锥P-BCEE底面BCFE的高为P0PA=5史=近，

AM3

Vp_BCFE=TSBCFEh=ZX-SjBch=~x~x~x2GX3x>/2=—・

故选：D.

【点睛】

本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力

和分析能力，是一道难度较大的题目.

10.B

【解析】

利用函数奇偶性可求得/（x）在X<0时的解析式和/（O）,进而构造出不等式求得结果.

【详解】

•・・/（x）为定义在R上的奇函数，.•./（。）=0.

/、2

当x<0时，一%>0,/（—X）=-x------3,

x

/2

,••/（X）为奇函数，二/（x）=-/（一力=x+1+3（x<0）,

x<0

由2个八得：xW—2或一lWx<0；

x+—+3W0

、x

综上所述：若x<0,则/(x)W()的解集为(—，―2]U[T,0].

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在x=0处有意义

时，/(0)=0的情况.

11.B

【解析】

直接利用集合的基本运算求解即可.

【详解】

解：全集U=R,集合A={x|x<l},B={%|-1<%<2},

二率A={x|xN1}

则&A)nB={x|屈}n{x|-l掇2}={x|lA?2},

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，属于基础题.

12.D

【解析】

整理复数为h+ci的形式，由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.

【详解】

5/5/(2-/)/、

由题，"击="+(2旬(2-旷〃+2"1=(〃+1)+2"

因为纯虚数，所以a+l=0,则。=一1,

故选:D

【点睛】

本题考查已知复数的类型求参数范围，考查复数的除法运算.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3T.

【解析】

试题分析：丫？4,2s2，8成等差数列，.,.2x2(/+a2)=3al+/+4+qnaj=3a2nq=3,

又•；等比数列加“，•••4=〃"•*=31-1.

考点：等差数列与等比数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列

基本量Q的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.

14.60

【解析】

试题分析：每个城市投资1个项目有亡国种，有一个城市投资2个有种，投资方案共

C：A；+C：C；C；=24+36=60种.

考点：排列组合.

4

15.-

3

【解析】

依题意易得A、5、C、。四点共圆且圆心在x轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到3的横坐标，进

\x|

一步得到。横坐标，再由法S.=—B计算比值即可.

s2\xDI

【详解】

因为NBAD=NBCD=90°,所以A、B、C、。四点共圆，直径为BD,又A、C关于x轴对称，

22

所以圆心E在工轴上，设圆心E为90),则圆的方程为(x—，)2+/=r+3,联立椭圆方程5+与=1

消y得/一8拄=0,解得％=&,故B的横坐标为8入又B、。中点是E,所以。的横坐标为-61,

S]_1/I4

故三"一---i=；・

S?I]。I3

4

故答案为：

3

【点睛】

本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出8、

。横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.

16.V3

【解析】

由圆柱外接球的性质，即可求得结果.

【详解】

解：由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,

设圆柱底面半径为「，由已知有产+「=22，

r=V3>

即圆柱的底面半径为石.

故答案为：6

【点睛】

本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)sinB=-(2)5+V13

8

【解析】

(1)根据正弦定理，将a(sinA+4sin3)=8sinA,化角为边，即可求出“，再利用正弦定理即可求出sin8；

JI1

(2)根据C=”，选择S=彳aOsinC,所以当△ABC的面积取得最大值时，“人最大，

结合(1)中条件。+4。=8,即可求出。〃最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边c,进而得到AABC的

周长.

【详解】

(1)由a(sinA+4sinB)=8sinA,得a(a+4Z?)=8a,

即a+4b=S.

因为人=1,所以a=4.

6

(2)因为a+4〃=822"^=4v茄，

所以"W4,当且仅当。=4匕=4时，等号成立.

因为AAf?。的面积S=—aZ?sinC<—x4xsin—=>/3.

223

所以当a=4"=4时，AABC的面积取得最大值，

此时/=42+12-2x4x1xcos—=13,则c=，

3

所以AAHC的周长为5+拒.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能

力.

18.(I)见解析(IDa>l

【解析】

(I)求导得至！1/(x)=a(x+l)e1讨论。〉0和QV0两种情况，得到答案.

…、、x+lnx+1〜、x+lnx+1为T/、一(x+l)(x+lnx)&,、1.、

(n)变换得到a>设尸(x)=---------,求F(x)=-------T-----令。(x)=x+lnx,故e(x)

xevxexe

在(0,+8)单调递增，存在不€(；;』]使得。(■%)=()，F(x)max=F(x0),计算得到答案.

【详解】

(I)/'(x)=a(x+l)e'(a。。)，

当。>0时，f(X)在(7,-1)单调递减，在(-1,+0。)单调递增；

当。<0时，/0)在(7,-1)单调递增，在(-1,”)单调递减.

Y4-InY4-1

(II)/(x)>g(x)(%>()),即以/之1+111工+1。>0),a>--------(x>0).

xex

人~、x+lnx+1,八、

令F(x)=---------(尤>()),

xe

f1+->1xex-(x+l)ex(%+Inx+1)

则F(%)=I______________________=一(x+D(x+lnx),

1Y4.1

令0(x)=x+lnx,(p\^=\+-=-——，故°(x)在(0,+oo)单调递增，

XX

注意至!)«[)=：—1<0,奴1)=1>0,

于是存在/[-』]使得/伍)=Xo+lnx(,=0,

可知尸(X)在(0,飞)单调递增，在(%,+8)单调递减.

.­=尸(%)=/+叱。+1=1

x()e

综上知，a>\.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.

19.(1)所抽取的2()人中得分落在组［0,20］和(20,40］内的人数分别为2人、3人；(2)分布列见解析，EX=1.2.

【解析】

(1)将20分别乘以区间［0,20］、(20,40］对应的矩形面积可得出结果；

(2)由题可知，随机变量X的可能取值为0、1、2,利用超几何分布概率公式计算出随机变量X在不同取值下的

概率，可得出随机变量X的分布列，并由此计算出随机变量X的数学期望值.

【详解】

(1)由题意知，所抽取的2()人中得分落在组［0,20］的人数有().0050x20x20=2(人)，得分落在组(20,40］的人数

有().0075x20x20=3(人).

因此，所抽取的20人中得分落在组［0,20］的人数有2人，得分落在组(20,40］的人数有3人;

(2)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0、1、2,

不=。)喈4S等*「网护警力

所以，随机变量X的分布列为:

X012

163

P

101010

所以，随机变量X的期望为EX=0x,+lxV+2x木=1.2.

【点睛】

本题考查利用频率分布直方图计算频数，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属

于基础题.

7C71

20.(I)B=-(II)ZADB=-.

4t4

【解析】

(I)由正弦定理边化角，再结合sinC=sin(A+B)转化即可求解;

(U)可设AC=1,由三=3=6=石，再由余弦定理。2+。2—2accos8=〃解得〃=2及，8£>=5=0,

sinesin82

对小旬。中，由余弦定理有AO=J/+(夜『-20cos：=l,通过勾股定理逆定理可得A82+A£>2=8O2,进而得

解

【详解】

(I)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC.

而sinC=sin(乃一A_8)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

由以上两式得sinAsinB=sinAcosB,BPsinA(sinB-cosB)=0.

由于sinA>0,所以sin8=cos8,

jr

又由于3e（0,乃），得3=w

（n）设c=l,在△43C中，由正弦定理有，7；=二=8=石.

sinesinB

由余弦定理有a2+c2-2accosB=b2,整理得-20）（“+收）=0,

由于a>0,所以。=2及，BD=^=y[2.

在/\ABD中,由余弦定理有AD=J+（血丫_2夜©os?=1.

TT7T

所以+=8。2，所以N&4O=]，ZADB=-.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题

21.（1）见解析（2）（文）立（理）叵

6