河北省张家口市宣化2022年高考临考冲刺数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知斜率为A的直线/与抛物线C：4x交于4,B两点,线段48的中点为"（1,机）（加>0）,则斜率4的取

值范围是（）

A.（-oo,l）B.C.D.[1,+℃）

2.已知圆二：二：+二：_'二二=〉0：截直线二+二=/f得线段的长度是则圆二与圆

Z：（Z+（二一/）；=/的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

3.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位

参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评

分按照[70,80）,[80,90）,[90,100]分组，绘成频率分布直方图如下：

嘉宾ABCDEF

评分969596899798

嘉宾评分的平均数为X，场内外的观众评分的平均数为石，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为1，则下列选项

正确的是（）

.-X+Xn-百+无20-%%n———X+々

A.x=—t2B.x>———-C.x<-----D.r>x,>x>—----

2221-2

4.已知数列｛4｝满足%=2,且4，。3，。4成等比数歹U.若｛4｝的前〃项和为S.,则s”的最小值为（）

A.-10B.-14C.-18D.-20

5.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方（〃之二”^^^是由前二个正整数组

成的一个”阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如

图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

B.65C.55D.45

的图象大致是（）

7.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],

若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（)

D.60

8.等差数列｛4｝中，4+%=1°，2=7,则数列｛4｝前6项和$6为（）

A.18B.24C.36D.72

9.已知正方体ABC。-的体积为v,点M,N分别在棱CC,±,满足AM+MN+N。最小，则四

面体AMNA的体积为（）

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

10.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

11.已知随机变量X服从正态分布N（l,4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

12.己知集合M={y[T<y<3},N={x|x（2x-7）,,0},则（）

A.[0,3）B.C.1D.0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设集合A={1,3},B={X|X2-2X-3<0},则AD8=.

14.已知等比数列{《,}满足公比qwl,S”为其前”项和，Sz，S&,S（,构成等差数列，则$2020=.

15.如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线C4、C8围成一个三角形养殖区ACB.为了便于管理，在线段

A3之间有一观察站点"，"到直线8C,C4的距离分别为8百米、1百米，则观察点V到点A、3距离之和的

最小值为百米.

16.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有

一名参加，则不同的选法种数为.（用数字作答）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知AA8C三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,且3si"24+3si"28=4s加As加3+3s加2c.

（1）求cosC的值；

（2）若a=3,c=遥，求△ABC的面积.

18.（12分）椭圆脱0+当=1（。＞。＞1）的左、右焦点分别为《，工，椭圆E上两动点P，Q使得四边形PGQK为

ab-

平行四边形，且平行四边形2片Q月的周长和最大面积分别为8和2百.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线「鸟与椭圆E的另一交点为M，当点£在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.

19.（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X（元）

产品销量y

898382797467

（件）

已知变量X，〉'且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲5=4x+53；乙

1=-4x+105；丙］=-4.6x+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

（1）试判断谁的计算结果正确？

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

20.（12分）在正三棱柱ABCAMG中，已知AB=1,A4=2,E,RG分别是棱A4,AC和AC的中点，以｛用,必，尸

为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系尸-xyz.

（1）求异面直线AC与8E所成角的余弦值;

(2)求二面角尸dGC的余弦值.

71|

21.(12分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,NAPC=—,Af为心上的四等分点，即8M=-8P.

34

(1)证明：平面AMCJ■平面PBC；

(2)求平面POC与平面4WC所成锐二面角的余弦值.

22.(10分)在△A8C中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(“一百b)sinA+bsinB=csinC.

(1)求角C的值；

(2)若sinAsin8=""，c=2,求AABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

设4%，乂)，Bg,y2),设直线/的方程为：y=kx+b,与抛物线方程联立，由△>()得助<1,利用韦达定理结

2

合已知条件得〃=土2-0k，m=2-,代入上式即可求出攵的取值范围.

kk

【详解】

设直线/的方程为：y=kx+b,A(X1,y),3(%,必)，

y=kx+b,、,

联立方程<,,消去〉得：k2x2+(2kb-4)x+b2=0,

y=4x

/.A=(2e-4/一4//>0,

:.kb<\,

4-2kbb2

且X+工2

一中2=5

4

y+必=k(X+工2)+%=:，

k

••・线段A8的中点为M（l,㈤(nt>0),

4-2kb

「・%+/==2,i

:.b上月2

m二­

kk

・「加〉0,

Z>0,

把〃=七±代入妨<1,得2—公<1,

K

:.k2>\>

:.k>i,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.

2.B

【解析】

化简圆二二；+（二一二）；=二；=二（0,二），二j=匚=二到直线二+二=。的距离_-

口=不

(5二+2=匚：=二=2=2(0,2),口=2'

又二（1,1）:；=/=I二二1=亡=I二lz；|＜（□□!＜।二.二：|=两圆相交・选B

3.C

【解析】

计算出X、石，进而可得出结论.

【详解】

96+95+96+89+97+98

由表格中的数据可知，%=«95.17,

6

由频率分布直方图可知，x2=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,则）＞石,

由于场外有数万名观众，所以，兀＜7＜七强＜1.

故选：B.

【点睛】

本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.

4.D

【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得S“，再利用二次函数的性质，可得当〃=4或5时，S“取到最小值.

【详解】

根据题意，可知｛4,｝为等差数列，公差4=2,

由％,%,4成等比数列，可得a；=qq，

:.(q+4=q(%+6),解得q=-8.

._n(n-l)981

・・ov=-oQ7?d----------X2=〃2—9〃=(〃)2------・

"224

根据单调性，可知当〃=4或5时，S”取到最小值，最小值为-20.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前〃项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当〃=4或5时同时取到最值.

5.B

【解析】

计算1+2+.-+25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1+25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2+…+252&＜，故选B.

55

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前”项和公式，属于基础题.

6.C

【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.

【详解】

..,/x。2cos2x2'+1

•fx=COS2X-F------=-----xcos2x，

」32A-12、一1

f(-x)=xcos(-2x)=-；J；xcos2x=-/(x),

函数/(x)为奇函数，

...排除选项A,B；

又：当时，/(x)>0,

故选：C.

【点睛】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.

7.D

【解析】

频数

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=级求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得:低于60分的频率是(0.005+0.010)x20=0.30,

1Q

.•.样本容量(即该班的学生人数)是一=60(人).

0.30

故选：D.

【点睛】

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=口的应用问题,属于基础题

样本容量

8.C

【解析】

由等差数列的性质可得4=5,根据等差数列的前〃项和公式S6=气&x6=气幺x6可得结果.

【详解】

,••等差数列｛%｝中，q+%=10，二2%=10，即％=5,

aa

.cq+4r3+4A5+7

6222

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前〃项和公式的应用，属于基础题.

9.D

【解析】

由题意画出图形,将MN,NB所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当BM=；BBi，C]N=；C,C时

aV

AM+MN+NR最小，设正方体4G的棱长为%,得。=力，进一步求出四面体AMN。的体积即可.

【详解】

解：如图，

•••点M,N分别在棱BB,,CG上，要AM+MN+NR最小，将MN,NDt所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面

共面，三线共线时，AM+MN+ND、最小,

设正方体AC,的棱长为3a,则27。3=V，

27

^BG^-BC,连接NG,则AGN。共面,

3

在AANR中，设N到AD1的距离为％,

1232亿，

ADt=7(3«)+(3a)=3

D[N=J(3a)2=\/\0a,

AN=J(3缶尸+(2g)2=V22a,

小山10a2+22a2-18a27

cosZD.NA--------------；=——=―；=,

2-V10a>/22a2755

../八…3M

..sinNA——,—,

2V55

SA*=g♦2N•AN•sinNA=；♦AA年半/

设到平面的距离为

MAGNAh2,

2

13y/l9a6。_Q3V

匕MNR-X---------X-^=-=Jd

32M

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

10.D

【解析】

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的剩余部分体积是正方体体积的*,所以截

66

去部分体积与剩余部分体积的比值为』,故选D.

5

考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

11.B

【解析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出P（X<0）=P（X>2）,进而可得出结果.

【详解】

•.•X~N（1,4）,所以，P（X<0）=尸（X>2）=0.3.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.

12.C

【解析】

先化简N={x|尤（2%-7）效。}=卜|0A?再求MuN.

【详解】

因为N={x|x（2x-7啜。}=卜|0A?

又因为M={y|-l<y<3},

所以MuN=（—1],

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.{1}

【解析】

先解不等式/一21-3<0,再求交集的定义求解即可.

【详解】

由题，因为％2_2%_3<0,解得-l<x<3,即3={x|—l<x<3},

则4口6={1},

故答案为:{1}

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式.

14.0

【解析】

利用等差中项以及等比数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】

由邑，s4,是等差数列可知

2s4=S,+S6n2q2=1+q'=（/-1）=0

因为4工1,所以q=-i,52020=0

故答案为：o

【点睛】

本题考查了等差中项的应用、等比数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

15.575

【解析】

建系，将直线A8用方程表示出来，再用参数表示出线段A3的长度，最后利用导数来求函数最小值.

【详解】

以C为原点，CA,CB所在直线分别作为羽），轴，建立平面直角坐标系，则M（8,l）.设直线A8:y-1=左（》-8）,即

y=kx+\-Sk,贝！3（0,1—8外，

’1—8人,、

------>0

所以，k,所以k<0,

1一8%〉0

AB?1—詈）+（1-862=/（心伏<0）,

贝!|/（火）=（1一8幻2（1+，）（&<0）,

贝！Jf'(k)=2(1-8Qx(_8)x(1+,)+(1—84)2x(-2)xj

一2(1-8A)(8/+1)-2(1-8幻(2%+1)(4左2一24+1)

k3k3

当xw1—00,-g］时，/'(x)<0,则/(X)单调递减，当时，f'(x)>0,则f(x)单调递增，

所以当％=时，A3最短，此时AB=54.

故答案为：5#)

【点睛】

本题考查导数的实际应用，属于中档题.

16.1

【解析】

由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得

不同的选法种数为9+9+5=1,得解.

【详解】

①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C；-C；=9,

②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为仁-仁=9,

③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C；=5,

综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)-；(2)好或£1.

322

【解析】

(1)利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；

(2)根据余弦定理求出b=l或6=3,结合面积公式求解.

【详解】

.4

(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化简得：3a2+3b2-3c2=4ab,即a2+b2-c2=—ah,

3

/+/一，22

:.cosC—

2ab3

(2)把a=3,c=y/69代入3。2+3从-3。2=4。力得：》=1或6=3,

2

9

\COSC=-9。为三角形内角，

s加。=5/1—cos~C———，

3

/.SAABC=—absinC=>x3xb义心-=b9

2232

则4ABC的面积为好或地.

22

【点睛】

此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积

公式求解面积.

22

18.(1)?+4=1(2)3x+Sy-3=0或3x-0-3=0

【解析】

(1)根据题意计算得到。=2,b=y/3,C=\,得到椭圆方程.

6m

(2)设俣：x=")+l,P(X|，x),M(X2，y2)，联立方程得到«；,根据大PKM=0,计算得

3m+4

到答案.

【详解】

(1)由平行四边形「耳。心的周长为8,可知4。=8,即a=2.

由平行四边形的最大面积为2百，可知bc=G，又a>b>L解得b=6,c=l.

22

所以椭圆方程为土+匕=1.

43

(2)注意到直线「耳的斜率不为0,且过定点骂(1,0).

设倏:x=my+l,P（xl,yl）,M（x2,y2）,

6m

%+%=—22;，

3m+4

由，3/+4/-12消x得QM+4）V+6叫y—9=0,所以

9

X%=一」3mT+47・

因为耳P=（/ny+2,y）,6M^[my2+l,y2）,

所以HP-4M=（/孙+2）（灯2+2）+y%=（M+1）X>2+2m（凶+%）+4

_9"+l）12**4_7-9病

3m2+43m2+43m2+4

因为点6在以线段PM为直径的圆上，所以印•号放=0,即加=±也，

所以直线PF2的方程3x+Sy—3=0或3x—J7y—3=0.

本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为耶•期=0是解题的关键.

9

19.(1)乙同学正确；(2)—.

20

【解析】

(1)根据变量工)'且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点(工亍)，判断出乙正确.

(2)由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得

所求概率.

【详解】

(1)已知变量•%)'具有线性负相关关系，故甲不正确，

VX=6.55=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确，

故回归方程为：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表:

X456789

y898382797467

y898581777369

kd021212

由上表可知，“理想数据”的个数为3.

用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.

从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有3x3=9种.

9

故所求概率为

20

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.

20.(1)-.(2)汉

417

【解析】

(1)先根据空间直角坐标系，求得向量恁和向量丽的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

(2)分别求得平面BFCi的一个法向量和平面BCCx的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解.

【详解】

规范解答(1)因为AAi=2,则F(0,0,0),A^,0,0,c1—5，。，。)，B0,-^-,0,E^y,0,l,

一一n6)

所以,C=(-L0,0),BE=-■>---J

2J

记异面直线AC和BE所成角为a,

——r

则COS(Z=|COS〈AC,BE)1=1/、2/仁、2=—,

4

所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为也.

4

(2)设平面BFG的法向量为向=(xi,yuzi).

因为方=。，与，°，府=1；，。，2),

所.FB=v=0

则2.

—.］

m-FC\2X1+24=。

取xi=4,得平面B尸G的一个法向量为何=(4,0,1).

设平面BCG的法向量为［=(M,yi,zi).

(1G、

因为在=5，3，°，CCi=<0>°，2),

\7

n-CB=—x,+—%=0

则nlJ2222

n-CCi-2z,=0

取*2=百得平面BCG的一个法向量为［=(G，-1,0),

根据图形可知二面角产田G-C为锐二面角，

所以二面角尾8G-C的余弦值为拽

17

【点睛】

本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中

档题.

21.(1)答案见解析.(2)叵

7

【解析】

(1)根据题意可得尸B=~D=PA=PC=20，在△■RAM中，利用余弦定理可得AW_L,然