高中立体几何题型分类训练附详细复习资料

#/12立体几何题型分类解答第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图

及其表面积和体积一、选择题（2009年绵阳月考）下列三视图所对应的直观图是（ ）HI主视图 左视图俯视图A B C D（2010年惠州调研）下列几何体（如下列图）各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）A.①②B.①③ C.①④D.②④3.如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是3.①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A.④③②B.②①③C.①②③D.③②④（2009年常德模拟）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）髀视图髀视图A.9与13B.7与10C.10与16D.10与15（2009年山东卷）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.2兀+24B.4兀+2小C.2兀+233D.4兀+233二、填空题6.在下列图的几何体中，有个是柱体.6.在下列图的几何体中，有个是柱体..(2009年全国卷)直三棱柱ABCC-ABC的各顶点都在同一球面上，若 AB=AOAA=2,/BA/120°,则此球的表面积等于..一个长方体共顶点的三个面的面积分别为 小、木、木,这个长方体对角线的长是.三、解答题.如右图所示，在正三棱柱ABOABiG中，AB=3,AA=4,M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为率,设这条最短路线与CC的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC和NC的长..一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图.并计算该几何体的体积.参考答案C解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为答案：DA4.C5.C.解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中第①，③，⑤，⑦个几何体都是柱体.答案：4.解析：在4ABC中AB=AC=2,ZBAC=120°,可得BC=2，3,由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O,球心为O,在R3OBO中，易得球半径R=g故此球的表面积为4兀1=20兀.答案：20兀.解析：不妨设三棱长为a,b,c,则ab=42,bc=*J3,ac=y6,解得abc=，6从而a=-^2,b=1,c=f3,其对角线长为;a2+b2+c2=6答案：'6.解析：（1）该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4和9的矩形所以对角线长为严甫二啊;（2）将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如右图，设PC的长为x,则mP=mA+（AC+x）：因为MP=小9，MA=2,AC=3,所以x=2即PC的长为2,又因为NO/AMPC所以PC所以PA=NC万，所以NC=4.5注意：几何体中，沿侧面上的最短线路问题常考虑几何体的侧面展开图或表面展开图来考虑..解析：该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直， （直观图，三视图略）其体积为:-X6X6X6=72cm3.3第二节空间图形的基本关系与公理一、选择题.下列四个命题：①分别在两个平面内的两条直线是异面直线②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条③和两条异面直线都相交的两条直线必异面④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线TOC\o"1-5"\h\z其中是真命题的个数为（ ）A.3 B.2 C.1 D.0.以下命题中：①点 A, B, CC直线 a,A, BC平面”，则 CC“；②点AC直线a, a?平面“，则 AC ”；③“，3是不同的平面，a?a,b?3,则a,b异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点

不共面，则这四点中无三点共线.真命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3.对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）A.1A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2008年四川延考）在正方体ABCaA4.(2008年四川延考）在正方体ABCaA1B1C1D中，E是棱AB1的中点，则AB与DE所成角的余弦值为（ ）A由八.10D.5.(2008年全国卷n5.(2008年全国卷n）已知正四棱锥S-ABCM侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点，贝UAESD所成的角的余弦值为（1A.3B.匚 1A.3B.匚 C 大3 C. 3D.二、填空题.空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面..在长方体ABCD-ABCDi中，经过其对角线BD的平面分别与棱AA、CC相交于E,F两点，则四边形EBFD的形状为..P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30°角的直线有条.三、解答题.如右图所示，在三棱锥A-BCD43,E,F,GH分别是边AB,BC,CD，DA的中占I八、、♦（1）求证：四边形EFGH^平行四边形；（2）若AC=BD,求证：四边形EFGK菱形；（3）当AC与BD满足什么条件时，四边形 EFGH^正方形.

.如右图所示，已知四边形 ABCD为直角梯形，AD//BG/ABC=90°,PAL平面AC,且PA=AD=AB=1,BC=2.(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小.参考答案.D.解析：只有①⑤为真命题.答案：C.B.解析：连结DC,EC,用余弦定理解三角形可以求得答案.答案：B.解析：连接AGBD交于O,连接OE因OE/SD.所以/AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2,则在△AEO中，OE=1,AO=®AE=遮-1=，3,(W2—表21小于是cos/AEO= ——『__-——=亍=3-.2X.,3X1 33答案：C.77.平行四边形8.解析：无数条，它们组成一个以 P为顶点的圆锥面.答案：无数9.解析：(1)证明：在△9.解析：(1)证明：在△ABC中，E,F分别是边AB,BC中点，所以EF//AG且EF=2AG同理有GH/AG且1GH=2AC

・•.EF//GH且EF=GH故四边形EFG短平行四边形；1（2）证明：仿（1）中分析，EH// BD且EH=万3口若AC=BD,则有EH= EF,又因为四边形 EFGH^平行四边形，••・四边形EFGK菱形.（3）由（2）知，AC=BD（四边形EFGH^菱形，欲使EFGH^正方形，还要得到/EFG=90°,而/EFG与异面直线AC,BD所成的角有关，故还要加上条件 ACLBD..•.当AC=BD且ACLBD时，四边形EFGH^正方形.10.解析：（1）因为PAL平面AC,AB!BG，PB!BG即/PBC=90°,由勾股定理得 PB=.P6+aB=，2.・•.pc=qp^+BC=通（2）如右图所示，过点C作CE//BD交AD的延长线于E,连结PE,则/PCE为异面直线PC与BD所成的角或它的补角.•.CE=BD=®且PE="A+AE=巾0.cos/PCE=PC2+CE2-PEcos/PCE=PC2+CE2-PE_2PC-CE一・•・PC与BD所成角的余弦值为3"6".第三节空间图形的平行关系、选择题.a、3是两个不重合的平面， a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定a//3的是（ ）a、3都平行于直线a、ba内有三个不共线点A、B、C到3的距离相等a、b是a内两条直线，且a//3,b//3a、b是两条异面直线且a//a,b//a,a//3,b//3.（2009年滨州模拟）给出下列命题：①若平面a内的直线l垂直于平面3内的任意直线，则②若平面a内的任一直线都平行于平面 3,则a//3；③若平面a垂直于平面3,直线l在平面口内，则l，3；

④若平面a平行于平面3,直线l在平面口内，则l"3.TOC\o"1-5"\h\z其中正确命题的个数是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1.已知平面a//平面3,P是a,3外一点，过点P的直线m与a,3分别交于点A,C,过点P的直线n与a,3分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为（ ）f24A.16 B .24或-5C.14 D .20.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是（ ）A.过A有且只有一个平面平行于a、bB.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、bD.过A且平行a、b的平面可能不存在.给出下列关于互不相同的直线 m,l,n和平面”，3的四个命题：①若m?a,1noe=A，点A?m,则l与m不共面；②若l//a,m//3,a//3,则l//m；③若l?a,m?a,lnm^^A,l//3,m//3,则a//3;④m//a,m?3,an3=l,贝Um//1.其中为假命题的是（ ）A.①B.②C.③D.④二、填空题.设D是线段BC上的点，BC//平面a,从平面a外一定点A（A与BC分居平面两侧）作ABADAC分别交平面a于E、F、G三点，BC=a,AD=b,DF=c,则EG=..在正四棱柱ABCD-ABGD中，E、F、GH分别为棱CC、GDi、DiD、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGHM其内部运动，则M满足条件时，有MN/平面BBDD..已知a、b为不垂直的异面直线，a 是一个平面，则a、b在a上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是.（写出所有正确结论的编号）三、解答题.（2009年柳州模拟）如右图所示，ABCOABCQ是正四棱柱，侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点.（1）求证：BD//平面GDE;（2）求三棱锥D—DiBC的体积.

.(2009年宁夏模拟)如右图所示，在四^^锥P—ABCD43,底PAL底面ABCDPA=AB=1,AD=[3,点F是PB的中点，点E在(1)求三棱锥E-PAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC勺位置关系，(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE!AF.面ABC虚矩形,边BC上移动.面ABC虚矩形,边BC上移动.并说明理由；1.解析：A错，若allb,则不能断定“//3;B错，若A、B、C三点不在3的同一侧，则不能断定a//3；C错，若allb,则不能断定a//3;D正确.答案：D.B24.解析：利用△PAB与4PCD相似可得，当a,3在点P的同侧时，BD为w；a,3在点P的异侧时，BD5为24.答案：B.解析：过点A可作直线a'//a,b'//b,则a'nb'=A.「.a'、b'可确定一个平面，记为a.如果a?a,b?a,贝Ua//a,b//a.由于平面a可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.由于平面答案：D.解析：本题考查线线，线面及面面位置关系的判定.答案：Bab—ac.—.点M在线段FH上.解析:如右图所示，A1D与BC在平面ABCD±的射影互相平行;AB与BC在平面ABCD±的射影互相垂直；DD与BG在平面ABCD±的射影是一条直线及其外一点.答案：①②④.解析：（1）证明：连接DG交DG于F,连结EF.ABGD-A1B1G1DI为正四棱柱，•・四边形DGGD为矩形，•.F为DG中点.在△GDB中，・.F为BG中点，，EF//DiB.又iB?面GiDE,EF?面GDE，，BDi//平面GDE.（2）连结BD,VD-DBG=VD-DBG「AC是正四棱柱，-.DiD±面DBG.1.DG=BG=2,SABOt^5><2X2=2.VD-DBG=；♦S△bgd-DiD=1X2X1=2.3 3 3 .2•・三棱锥D-DBG的体积为i310.解析：（1）三棱锥E-PAD的体积1 1 3V=3PA•SAADEE=3PA•2AD-AB=1-.（2）当点E为BG的中点时，EF与平面PAG平行.••・在△PBG中，E、F分别为BGPB的中点，EF//PG又EF?平面PAG而PG?平面PAG・•.EF//平面PAG.（3）证明：•••PAL平面ABGDBE?平面ABGQ「.EBIPA又EB±AB,ABAAP=A,AB,AP?平面PAR•・EBI平面PAB又AF?平面PAB,/.AFIEB,又PA=AB=1,点F是PB中点，・••AFLPB又「PBABE=B,PB,BE?面PBE,•.AH面PBE,•.PE?面PBE PEIAF.第四节空间图形的垂直关系、选择题.（2008年安徽卷）已知mn是两条不同直线，“、3、丫 是三个不同平面，下列命题中正确的是 （A.若m//a,n//a,贝Um//n B.若a，丫，3，丫，贝Ua//3G.若m//a,m//3,贝Ua//3D.若mla,n,a,贝Um//n.（2009年浙江卷）设a,3是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 （ ）A.若l，a,a，3,则l?3B.若l//a,a//3,则l?3

C.若l3,则l±3D.若l//a,a，3,则l±3．（2009年广东卷）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.TOC\o"1-5"\h\z其中，为真命题的是 （ ）A.①和② B .②和③C.③和④ D .②和④.关于直线mn与平面a与3,有下列四个命题:①若m\Ha,①若m\Ha,nil§②若mila,n±3③若mi!a,n//3④若m\Ha,n±3其中真命题的序号是且 a // 3 ,贝U m// n；且 a，3 ,贝U mil n;且 a ” 3 ,贝U mil n;且 a，3 ,贝U mil n；( ).①④A.①② B.③④CD.②③.已知两条直线mn,两个平面a、3,给出下面四个命题①miln,mila?n±a ②a//3,m?a,n?3?m//n③m//n,mi//??n//a ④a//3,mHn,mila?n±3其中正确命题的序号是 ( )A.①③ B.②④C.①④ D.②③二、填空题.下列命题中，设a、3、丫为不同平面，a、b为不同直线，下列命题是真命题的有①a_La,a_L3?a"3.②a_La,a"b?b_La.③a?a,b?3?aXb.④a±a,a±b?b//a..设三棱锥P—ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题：①若PALBGPB±AC则H是△ABC的垂心②若PAPRPC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心③若/ABC=90°,H是AC的中点，则PA=PB=PC④若PA=PB=PG则H是△ABC的外心其中正确命题的命题是 ．.（2009年浙江）如下图，在长方形ABCD43,AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将4AFD沿AF折起，使平面ABDL平面ABC在平面ABD内过点D作DK^AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是 ．

三、解答题PA=1,.如右图所示，四棱锥P—ABCDW底面是边长为1的正方形，PALCDPA=1,PD-2(1)求证：PAL平面ABCD(2)求四棱锥P-ABCD勺体积..如右图，A、BCD为空间四点.在^ABC中，AB=2,AC=BC=平.等边三角形ADB以AB为轴运动.(1)当平面ADBL平面ABC时，求CQ(2)当4ADB转动时，是否总有AB±CD?证明你的结论.参考答案.解析：mnn均为直线，其中mn平行a,mn可以相交也可以异面，故A不正确