2022年中考数学几何模型之半角模型与倍角模型(讲+练)(原卷版)

专题04半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，ZEAF=45°，连接EF,过点A作AG丄于EF于点G,贝9：EF=BE+DF,AG=AD・例•如图，正方形的边长为4,点E,F分别在AB,AD上，若CE=5,且ZECF=45°,则CF的长为」,D~C~AES【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M,N.⑴如图1,当M,N分别在边BC,CD上时，求证：BM+DN=MN如图2,当M,N分别在边BC,CD的延长线上时，请直接写出线段BM,DN,MN之间的数量关系如图3,直线AN与BC交于P点，MN=10,CN=6,MC=8，求CP的长.罰图罰图2图弓【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=CD,ZABC=ZADC=90°,Z如图1,将/MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；如图2,将/MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；如图3,将/MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明.CCNDSBDAA模型二、等腰直角三角形角含半角模型CCNDSBDAA模型二、等腰直角三角形角含半角模型如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，点D,E在BC上，且ZDAE=45°，贝V：BD2+CE2=DE2.45EDE例•如图，已知45EDE例•如图，已知口ABC中，□BAC=90。，AB=AC,D,E是BC边上的点，将DABD绕点A旋转,得至忙ACD',当口DAE=45°时，求证：DE=D，E；在(1)的条件下，猜想：BD2,DE2,CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.【变式训练1】在等腰RtAABC中，CA=CB,ZACB=90°,O为AB的中点，ZEOF=45°,交CA于F,交BC的延长线于E.(1)求证：EF=CE+AF；

(2)如图2,当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.0]砂【变式训练2】如图所示，等腰直角△ABC中，△ACB=90°,E、F为AB上两点(E左F右),且^ECF=45°，求证：AE2+BF2=EF2.【变式训练3】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，^BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,贝忙AMN的周长是多少？模型三、二倍角模型作二倍角的平分线，构成等腰三角形.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.

求丨；山斗及1；1、乜1的值(利用倍半角模型解题).例.已知求丨；山斗及1；1、乜1的值(利用倍半角模型解题).【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF丄BE交CD边于点F,M是AD边上一点，且BM=DM+CD.(1)求证：点F是CD边上的中点；【变式训练2】如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将厶ABD沿AD翻折得到厶AED，连接CE,求线段CE的长.

课后训练如图，在△ABC中，ZACB=90°,D是AB边上的一点，M是CD的中点，若ZAMD=ZBMD.求证：ZCDA=2ZACD.$BB在△ABC中，ZC=90°,AC=8,AB=10，点P在AC上,AP=2，若•（丿的圆心在线段BP上，且工门与AB、AC都相切，试求•。的半径.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°，E、F分别是边BC、CD上的点,且ZEAF=「ZBAD，求证：EF=BE+FD.

已知，在正方形ABCD中，ZMAN=45°,ZMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时(如图2),线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；当ZMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量5•如图，在平面直角坐标系5•如图，在平面直角坐标系"2話中,.1：”⑴."讥7).「〔一；小且订一］+(h—\.(1)求证：AABC是等边三角形;

(2)如图2,A、B两点在丁轴上、"轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N,满足ZMON=45°,试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.6.已知正方形ABCD,上MAN=45。,上MAN绕点人顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC于点M、N,AH丄MN于点H.(1)如图①，当BM=DN时，可以通过证明..ADN竺