函数的概念-教学设计

§函数及其表示考情考向分析以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．1．函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应法则f：A→B如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．例1．已知A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．解由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k→3k＋1.由a4≠10，故a2＋3a＝10，解得a＝2或a＝－5(舍去)，所以a4＝16.于是3k＋1＝16，所以k＝5.练习1设f:x→y=ax-1为从集合A到B的映射(x∈A,y∈B),若f(2)=3,则f(3)=.

例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：11练习1已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x1234f(x)3241B．2C．3D．4例3判断下列各组的两个函数是否相等,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;(2)y=(3)y=1+解:(1)前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故两个函数不相等.(2)前者的定义域是R,后者的定义域是{x|x≥0},它们的定义域不同,故两个函数不相等.(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数),对应关系一致(都是自变量取倒数后加1),故两个函数相等.练习1给出下列函数:①y=x2-x+2,x>0;②y=x2-x,x∈R;③y=t2-t+2,t∈R;④y=t2-t+2,t>0;⑤y=m2-m+2,m∈R.其中与函数y=x2-x+2,x∈R相等的是.(填序号)

2.下列各组中的两个函数是不是同一函数?(1)y1=(x+3)(x-5)x(3)f1(x)=(4)f1(x)=(x-1)0,f2(x)=例4.f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)的解析式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－3，,4a－2b＋c＝－7，,c＝－3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，,c＝－3.))所以f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x－3.练习1已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.练习2已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.3)已知函数f(x)是二次函数，且满足f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝________.例5求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,x－2)；(2)f(x)＝eq\r(2x＋6)；(3)f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\f(1,5＋x).解(1)使式子eq\f(1,x－2)有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，所以函数的定义域为{x|x≠2}；(2)使式子eq\r(2x＋6)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，所以函数的定义域为{x|x≥－3}；(3)使式子eq\r(1－x)有意义的实数x的集合是{x|x≤1)，使式子eq\f(1,5＋x)有意义的实数x的集合是{x|x≠－5}，所以函数f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\f(1,5＋x)的定义域是{x|x≤1且x≠－5}.练习1)函数的定义域为__________.2.)函数的定义域是____________.（用区间表示）3.函数的定义域是▲.4.函数的定义域为____________．5.函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x)的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6.函数的定义域是

.7.函数f(x)＝eq\f(\r(2x＋3),x＋1)的定义域是________．例6设函数f(x)= D.π解析:∵g(π)=0,∴f(g(π))=f(0)=0.答案:B练习1已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x2－2，x≤0，))则f(1)＋f(－1)＝________.2设函数则f(f(2))的值为()．A．1B．2C．0D．－23已知函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x>0，))则使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－eq\f(5,2)C．2或－2D．2或－2或－eq\f(5,2)4.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))且f(a)＋f(1)＝0，则a等于()A．－3B．－1C．1D．35.设函数若f(－2)＝f(3)，则实数b的值等于()．A．B．C．D．6.设函数若f(x0)＝8，则x0＝__________7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.))求f(f(f(－2)))的值；例7.下列函数中,在区间(0,+∞)内是增函数的是()=-x2 =x2-2=-2x+1 =解析:∵y=x2-2的图象开口向上,且对称轴为x=0,∴y=x2-2在(0,+∞)内是增函数.练习1、函数在上的单调性为（）A.减函数B.增函数.C.先增后减.D.先减后增2、函数的单调增区间为（）A.B.C.D.3、若函数在上是增函数，那么（）>0B.b<0C.m>0<04.已知函数f(x)是区间(0,+∞)内的减函数,则f(a2-a+1)与f(a2-a+1)≥f34(a2-a+1)=f34例8证明f(x)＝eq\r(x)在其定义域上是单调增函数．f(x)＝eq\r(x)的定义域为[0，＋∞)．设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\r(x1)－eq\r(x2)＝eq\f(\r(x1)－\r(x2)\r(x1)＋\r(x2),\r(x1)＋\r(x2))＝eq\f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2)).∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，eq\r(x1)＋eq\r(x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝eq\r(x)在定义域[0，＋∞)上是单调增函数．练习1求证：函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在[1，＋∞)上是