切线长定理导学案

切线长定理导学案学习目标1.了解切线长定理的探究与演绎推理，会运用切线长定理进行计算和证明.2.知道三角形的内切圆和内心以及圆的外切三角形的意义.学习策略1.在操作与测量中发现分析，总结归纳，在例题探究中规范推理过程. 2.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.学习过程 一.复习回顾：1.什么是圆的切线？圆的切线有什么性质？2.怎样判断一条直线是圆的切线？3.过圆外一点画圆的切线，可以画几条？二.新课学习：1.自学教材P53，回答以下问题：1、自己任意画一个圆，并在圆外任意取一点，过这点画圆的两条切线，测量到切点的线段长度，对比分析测量结果.2、切线长的定义是什么？3、结合1中的测量对比，猜想切线长的关系：4、并运用轴对称的性质分析总结切线长定理：5.自己运用切线的性质定理结合全等三角形的知识演绎证明切线长定理.2.自学教材P54，回答以下问题：1、什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？什么是圆的外切三角形？2、三角形的内心怎样确定？3.怎样画三角形的内切圆？自己任意画三角形，并画其内切圆：三.尝试应用：1.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．102.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于.3.如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．四.自主总结：（1）切线长定理：（2）相关概念：三角形的内切圆：、内心：和圆的外切三角形：.五.达标测试一．选择题（共4小题）1．下列说法中不正确的是（）A．三角形只有一个外接圆B．三角形只有一个内切圆C．三角形的内心到三个顶点的距离相等D．三角形的内心到这个三角形三边的距离相等2．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（）A． B． C． D．3．如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A=60°，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10二．填空题（共3小题）5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．6．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm．7．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为．三．解答题（共3小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．9．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．10．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，求△PED的周长．1.【分析】分别根据三角形外接圆以及内切圆和内心的性质判断得出即可．【解答】解：A、三角形只有一个外接圆，此选项正确，不合题意；B、三角形只有一个内切圆，此选项正确，不合题意；C、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，错误，符合题意；D、此选项正确，不合题意．故选：C．2.【分析】根据等边三角形三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．【解答】解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，∴∠OBD=30°，BD=，∴tan∠BOD==，∴内切圆半径OD=×=a．故选：A．3.【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD=BE，CE=CF，AD=AF，进而得出△ADF是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，∴BD=BE，CE=CF，AD=AF，∵BE+EC=BD+FC=6，∴AD=AF=（AB+AC+BC﹣BC﹣BD﹣CF）=（16﹣6﹣6）=2，∵∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∴DF=2．故选：A．4.【分析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA=PB，同理可得：CA=CE，DE=DB．∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，∴△PCD的周长=10，故选D．5.【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故答案为：2．6.【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．【解答】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB=∠CAB=60°∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得OB=3cm，∴光盘的直径6cm．故答案为：6．7.【分析】根据勾股定理的逆定理推出∠C=90°，连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=90°，OE=OQ，推出正方形OECQ，设OE=CE=CQ=OQ=a，得到方程12﹣a+5﹣a=13，求出方程的解即可．【解答】解：∵AC2+BC2=25+144=169，AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，连接OE、OQ，∵圆O是三角形ABC的内切圆，∴AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=∠C=90°，OE=OQ，∴四边形OECQ是正方形，∴设OE=CE=CQ=OQ=a，∵AF+BF=13，∴12﹣a+5﹣a=13，∴a=2，故答案为：2．8.【分析】（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．【解答】解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵AB=AC，∴AB﹣AD=AC﹣AF，即BD=CF，∴BE=CE；解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，∴OE⊥BC，∴BE=CE；（2）解：连结OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，又∵OD=OF，∴四边形ODAF是正方形，设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=2﹣r，在△ABC中，∠A=90°，∴，又∵BC=BE+CE，∴（2﹣r）+（2﹣r）=，得：r=，∴⊙O的半径是．9.【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBE+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°；（2）由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC==10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF==．10.【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA=PB=4，同理得D