（全国通用）2023高考数学大一轮复习第十一篇复数算法推理与证明第4节直接证明与间接证明、数学归纳法习题理

PAGEPAGE6第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3,9,12反证法4,5,8数学归纳法2,6,7,14综合应用10,11,13根底对点练(时间:30分钟)1.假设a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=〞不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是(B)(A)分析法 (B)综合法(C)分析法与综合法并用 (D)反证法解析:由条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.应选B.2.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n0的正整数n都成立〞时,第一步证明中的起始值n0应取(B)(A)2 (B)3 (C)5 (D)6解析:因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.所以n的第一个取值n0=3.应选B.3.要使3a-3b<(A)ab<0且a>b(B)ab>0且a>b(C)ab<0且a<b(D)ab>0且a>b或ab<0且a<b解析:要使3a-3b<3a-b成立,只要(3a-3b即a-b-33a2b+33ab2<a-b成立,只要3a4.用反证法证明命题“设f(x)=x3+3|x-a|(a∈R)为实数,那么方程f(x)=0至少有一个实根〞时,正确的假设是(A)(A)方程f(x)没有实根(B)方程f(x)=0至多有一个实根(C)方程f(x)=0至多有两个实根(D)方程f(x)=0恰好有两个实根解析:由反证法证明命题的格式和步骤,可知应设方程f(x)=0没有实根,故应选A.5.设x,y,z>0,那么三个数yx+yz,zx+zy,(A)都大于2 (B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2 (D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,那么yx+yz+zx+zy+由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=(yx+xy)+(zx+x所以yx+yz,zx+zy,6.如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+1也成立,现P(n)对n=4不成立,那么以下结论正确的选项是(D)(A)P(n)对n∈N*成立(B)P(n)对n>4且n∈N*成立(C)P(n)对n=5成立(D)P(n)对n=3不成立解析:根据数学归纳法,可知由n=k成立,那么它对n=k+1也成立,其逆否命题为由n=k+1不成立,那么它对n=k也不成立,即P(n)对n=4不成立,那么P(n)对n=3不成立.应选D.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除〞,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=时,命题亦真.

解析:n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.答案:2k+18.假设以下两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,那么实数a的取值范围是.

解析:假设两个一元二次方程均无实根,那么有Δ1=解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案:{a|a≤-2或a≥-1}9.a>0,用分析法证明a2+1a2-证明:要证a2+1a2-只需证a2+1a2≥(a+因为a>0,所以(a+1a)-(2-2所以只需证(a2+1a2)2≥[(a+1a)即2(2-2)(a+1a)≥8-42只需证a+1a≥因为a>0,a+1a≥2显然成立(a=1a=1时等号成立所以要证的不等式成立.10.设函数f(x)=ax2+bx+c且f(1)=-a2,3a>2c(1)试用反证法证明:a>0.(2)证明:-3<ba<-3证明:(1)假设a≤0,因为3a>2c>2b,所以3a≤0,2c<0,2b<0,将上述不等式相加得3a+2c+2b<0,因为f(1)=-a2所以3a+2c+2b=0,这与3a+2c+2b<0矛盾,所以假设不成立,所以a>0.(2)因为f(1)=a+b+c=-a2所以c=-32所以3a>2c=-3a-2b,所以3a>-b.因为2c>2b,所以-3a>4b.因为a>0,所以-3<ba<-3能力提升练(时间:15分钟)11.导学号18702633设a,b,c是正数,p=a+b-c,q=b+c-a,r=c+a-b,那么“pqr>0”是“(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:必要性显然具备,充分性:假设pqr>0,那么p,q,r同时大于零或其中两个为负,不妨设p<0,q<0,r>0,因为p<0,q<0,即a+b<c,b+c<a,所以a+b+b+c<c+a,即b<0,这与b>0矛盾,所以p,q,r同时大于零,应选C.12.(2022·成都模拟)函数f(x)=(12)xA=f(a+b2),B=f(ab),C=f((A)A≤B≤C (B)A≤C≤B(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A解析:因为a+b2≥ab又f(x)=(12)x所以f(a+b2)≤f(ab)≤f(即A≤B≤C.应选A.13.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有f(x1)+f(x2)+…+解析:因为f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),所以f(A)+f(B)+f即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=3所以sinA+sinB+sinC的最大值为33答案:314.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式(1+13)(1+15)…(1+12n证明:①当n=2时,左边=1+13=43,右边=因为左边>右边,所以不等式成立.②假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时不等式成立,即(1+13)(1+15)…(1+12k那么当n=k+1时,(1+13)(1+15)…(1+12k>2k+1=2=4>4=2=2所以当n=k+1时,不等式也成立.由①②知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.好题天天练假设实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,那么称x比y远离m.(1)假设x2-1比1远离0,求x的取值范围;(2)对任意两个不相等的正数a,b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2abab.解题关键:理解定义,转化为不等式.(1)解:由题意知|x2-1|>1,即x2-1>1或x2-1<-1,解之得x>2或x<-2.所以x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).