华南师大附中2022届高三综合测试三文数试卷及答案

华南师大附中2022届高三综合测试（三）数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是

(A){1,2} (B){x|x≤1} (C){－1,0,1} (D)R下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是

(A)y=x3 (B)y=2x (C)y=x－EQ\F(1,x) (D)y=sin2x等差数列{an}满足a1=1，a2+a3=3，则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=

(A)7 (B)14 (C)21 (D)28已知向量a=(2,1)，b=(m,－1)，且a⊥(a－b)，则实数m=

(A)2 (B)1 (C)4 (D)3实数x，y满足EQ\B\LC\{(\A\AL(x－2y+2≥0,x+y≤1,y+1≥0))，且z=2x－y，则z的最大值为

(A)－7 (B)－1 (C)5 (D)7在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是

(A)相交且垂直 (B)共面 (C)平行 (D)异面且垂直有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是

(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁过点A(a,0)(a>0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2+y2=r2（r>0）相切于点B，且|AB|=EQ\R(3)，则△OAB的面积是

(A)EQ\F(1,2) (B)EQ\F(\R(3),2) (C)1 (D)2

已知流程图如图所示，该程序运行后，若输开始i开始i=1,a=1i≤①?是否a=2a输出ai=i+1结束a值为16，则循环体的判断框内①处应填(A)2 (B)3 (C)4 (D)5函数f(x)=(1－cos2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值等于

(A)EQ\F(1,4) (B)EQ\F(1,2) (C)1 (D)0等比数列{an}的前n项和Sn=EQ\F(1,2)·3n+1+c（c为常数），若an≤3+S2n恒成立，则实数的最大值是

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6已知函数f(x)=EQ\B\LC\{(\A\AL(ln(x+1)+m，x≥0,ax－b+1，x<0))（m<－1），对于任意s∈R，且

s≠0，均存在唯一实数t，使得f(s)=f(t)，且s≠t，若关于x的方程

|f(x)|=f(EQ\F(m,2))有4个不相等的实数根，则a的取值范围是

(A)(－2,－1) (B)(－1,0)

(C)(－4,－2) (D)(－4,－1)∪(－1,0)第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知i为虚数单位，复数z满足iz+2=z－2i，则|z|=.已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为.正视图侧视图俯视图某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是正视图侧视图俯视图将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当p×q（p≤q且p、q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f(n)=q－p，例如f(12)=4－3=1，则数列{f(3n)}的前100项和为.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，满足(2b－c)cosA=acosC(1) 求角A；(2) 若a=EQ\R(13)，b+c=5，求△ABC的面积.(本小题满分12分)《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160,164)，第二组[164,168)，…，第六组[180,184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1) 若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2) 已知第5,6两组市民中有3名女性，组织方要从第5,6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.(本小题满分12分)如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1ABDCFOE(1) ABDCFOE(2) 设几何体F－ABCD、F－BCE的体积分别为V1、V2，求V1:V2的值.

20．(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为5.(1) 求该抛物线C的方程；(2) 已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点?并说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)=2(a－1)x+b.(1) 讨论函数g(x)=ex－f(x)在区间[0,1]上的单调性；(2) 已知函数h(x)=ex－xf(EQ\F(x,2))－1，若h(1)=0，且函数h(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4－4：坐标系与参数方程22．(本小题满分10分)已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为EQ\B\LC\{(\A\AL(x=1+\R(3)cos,y=\R(3)sin))(为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 求曲线C的普通方程及极坐标方程；(2) 直线l的极坐标方程是cos(－EQ\F(,6))=3EQ\R(3)，射线OT：=EQ\F(,3)(>0)与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长.选修4－5：不等式选讲23．(本小题满分10分)已知函数f(x)=|x+3|+|x－2|.(1) 若∀x∈R，f(x)≥6a－a2恒成立，求实数a的取值范围；(2) 求函数y=f(x)的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积.

数学（文科）参考答案一、AABDCDABBBCC12.【解析】依题意，f(x)=EQ\B\LC\{(\A\AL(ln(x+1)+m，x≥0,ax+m，x<0))，且a<0，m<－1f(EQ\F(m,2))=EQ\F(m,2)(a+2)Oxym－my=|Oxym－m|f(x)|=f(EQ\F(m,2))有4个不相等的实数根0<f(EQ\F(m,2))<－m0<EQ\F(m,2)(a+2)<－m0>a+2>－2－4<a<－2二、13.214.3615.EQ\F(4,3)16.350－116.【解析】f(3)=3－1，f(32)=3－3=0，f(33)=32－3，f(34)=32－32=0，f(35)=33－32，f(36)=33－33=0，……f(399)=350－349，f(3100)=350－350=0，求和得f(3)+f(32)+……+f(3100)=350－1三、17.【解析】(1)△ABC中，由条件及正弦定理得(2sinB－sinC)cosA=sinAcosC∴ 2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB∵ sinB≠0，∴2cosA=1∵ A(0,)，∴A=EQ\F(,3)(2)∵a=EQ\R(13)，b+c=5由余弦定理得a2=b2+c2－2bccosA=(b+c)2－2bc－2bccosEQ\F(,3)=52－3bc=13∴ bc=EQ\F(25－13,3)=4∴ SΔABC=EQ\F(1,2)bcsinA=EQ\F(1,2)·4·sinEQ\F(,3)=EQ\R(3)18.【解析】(1)被采访人恰好在第1组或第4组的频率为+×4=，∴ 估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为，(2) 第5,6两组[176,184)的人数为+×4×30=6，∴ 第5,6两组中共有6名市民，其中女性市民共3名，记第5,6两组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，从第5,6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，列举如下：AB，AC，Ax，ABDCFOEHAy，Az，BC，Bx，By，Bz，Cx，Cy，CzABDCFOEH至少有1名女性Ax，Ay，Az，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz共12个基本事件，∴ 从第5,6两组中随机抽取2名市民组成宣传务队，至少有1名女性的概率为EQ\F(12,15)=EQ\F(4,5)19.【解析】(1)如图.矩形ABCD中，CB⊥AB∵ 平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴ CB⊥平面ABEF∵ AF平面ABEF∴ AF⊥CB又∵AB为圆O的直径，∴ AF⊥BF∵ CB∩BF=B，CB、BF平面CBF∴ AF⊥平面CBF∵ AF平面ADF∴ 平面DAF⊥平面CBF另解：也可证明BF⊥平面ADF.(2)几何体F－ABCD是四棱锥、F－BCE是三棱锥，过点F作FH⊥AB，交AB于H.∵ 平面ABCD⊥平面ABEF，∴FH⊥平面ABCD.则V1=EQ\F(1,3)AB×BC×FH，V2=EQ\F(1,3)×(EQ\F(1,2)EF×HF)×BC∴ EQ\F(V1,V2)=EQ\F(2AB,EF)=EQ\F(2×2,1)=420.【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=－EQ\F(p,2)∵ P(4,m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴ 4+EQ\F(p,2)=5，∴p=2.∴ 抛物线C的方程为y2=4x.(2) 由(1)可得点M(4,4)，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为x=my+t，联立EQ\B\LC\{(\A\AL(x=my+t,y2=4x))，得y2－4my－4t=0，则Δ=16m2+16t>0①.设D(x1,y1),E(x2,y2)，则y1+y2=4m,y1y2=－4t.∵ EQ\O\AC(MD,\S\UP6(→))·EQ\O\AC(ME,\S\UP6(→))=(x1－4,y1－4)·(x2－4,y2－4)=x1x2－4(x1+x2)+16+y1y2－4(y1+y2)+16=EQ\F(y12,4)·EQ\F(y22,4)－4(EQ\F(y12,4)+EQ\F(y22,4))+16+y1y2－4(y1+y2)+16=EQ\F((y1y2)2,16)－(y1+y2)2+3y1y2－4(y1+y2)+32=t2－16m2－12t+32－16m=0即t2－12t+32=16m2+16m(t－6)2=4(2m+1)2∴ t－6=±2(2m+1)，即t=4m+8或t=－4m+4，代人①式检验均满足Δ>0，∴ 直线DE的方程为：x=my+4m+8=m(y+4)+8或x=m(y－4)+4.∴ 直线过定点(8,－4)(定点(4,4)不满足题意，故舍去).21.【解析】(1)由题得g(x)=ex－2(a－1)x－b，所以g'(x)=ex－2(a－1).当a≤EQ\F(3,2)时，g'(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增；当a≥EQ\F(e,2)+1时，g'(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减；当EQ\F(3,2)<a<EQ\F(e,2)+1时，令g'(x)=0，得x=ln(2a－2)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a－2)]上单调递减，在区间(ln(2a－2),1]上单调递增.综上所述，当a≤EQ\F(3,2)时，g(x)在[0,1]上单调递增；当EQ\F(3,2)<a<EQ\F(e,2)+1时，函数g(x)在区间[0,ln(2a－2)]上单调递减，在区间(ln(2a－2),1]上单调递增；当a≥EQ\F(e,2)+1时，所以g(x)在[0,1]上单调递减.(2)h(x)=ex－xf(EQ\F(x,2))－1=ex－(a－1)x2－bx－1，h'(x)=ex－2(a－1)x－b=g(x)，设x0为h(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由h(0)=h(x0)=0，可知h(x)在区间(0,x0)上不单调，则g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1，同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知，当a≤EQ\F(3,2)时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意.当a≥EQ\F(e,2)+1时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意，∴ EQ\F(3,2)<a<EQ\F(e,2)+1，此时g(x)在区间[0,ln(2a－2)]上单调递减，在区间(ln(2a－2),1]上单调递增.因此，x1∈(0,ln(2a－2)]，x2∈(ln(2a－2),1]，必有g(0)=1－b>0，g(1)=e－2a+2－b>0由h(1)=0，得a+b=e，g(EQ\F(1,2))=EQ\R(e+1)－e<0.又g(0)=a－e+1>0，g(1)=2－a>0，解得e－1<a<2.∴ a的取值范围是(e－1,2)22.【解析】(1)因为曲线C的参数方程为EQ\B\LC\{(\A\AL(x=1+