九年级数学同步培优竞赛详附答案 25第二十五讲 辅助圆

明师讲义【题解【例1】如图，直线A和AC与O别相切于P为圆上一点P到ABAC的离分别为4cm6cm，那么P到的距为．全初中数学联赛题思点连DFEF，寻找PDPEPF之间关系，证明PDF，发现DBFE、F分共圆，突破角是解题的关．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆【例2】如图，若PA=PB，APB=2ACBAC与PB交点P，且PB=4，PD=3，则AD·等()A．B．C．D．16“TI”杯全国初中数学竞赛)思点作出以点为心、PA长为径的圆，为相交弦定理的应用创设件．第页（6页）

明师讲义注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】

如图，在△ABC中AB=AC，意延长CA到，再延长ABQ，使，证eq\o\ac(△,：)的心O与A，，四点共圆．思点拨先出△ABC的心，PO、OQ，将问题转化为证明角相等．【例4】如，P是⊙外一点PA切⊙O于A，是⊙割线AD⊥于D．求证：

CD

．思点因所证比例线段不是对应边不通过判定△与△PCD相似明PO=PBPCB、C、O、共，这样连OB，就得对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又平几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在ABC中高BECF交于，且BHC=135，为ABC内一点，且，BGC＝∠，结HG，证HG平∠BHF思点经计算可得∠A=45，△ABE△BFH皆等腰直角三角形，需证∠GHB=GHF=22.5．第页（6页）

1明师讲义1由∠BGC=3∠A=135°∠，得BG、、C四共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学训1．如图，正方形ABCD的中心为O面积为1989cm，正方形内一点，且OPB=45°，PA：PB=514，则PB的为．北市竞赛)2．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC边上100个不同的点P，„，ii

2

BPC（i=1ii2，„2

=．3．设△ABC三上的高分别为ADBECF，且其垂心H不任一顶点重合，则由点A、、、、EH中某四点可以确定的圆共()A．个B．4个C．5个D6(2000年原市竞赛题4．如图，已知OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC，∠是的)A．kB．是倍C．2

D．

15．如图，在等腰梯形ABCD中ABCD，AB=998CD=10019，点P在段AD上，满足件的∠第页（6页）

明师讲义BPC=90°的点P的数为()A．B．C．1．不小于整数全初中数学联赛)6．如图，、是锐三角形两条高S=，S=2则COSC等于)A．B．

C．

23

D．

347．如图；已知H是ABC三高的交点，连结，，EF，求证H是的心．8．如图，已知中AH是高AT是角分线，且TD⊥ABTE⊥AC．求证：(1)∠∠AHE；

CHCE

陕省竞赛)9．如图，已知在凸四边形ABCDE中，，BC=CD=DE，∠∠CDE=180求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK，全初中数学联赛题10．如图，P是O外点，PA和PB是⊙的线A，为切，O与AB交点M，过M任⊙O弦CD．求证：∠∠DPO．第页（6页）

明师讲义11．如图，已知点P是⊙外一，PS、PT⊙的两条切