运筹学第13章2讲

第3节单服务台负指数分布排队系统的分析3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)3.2系统容量有限的情况(M/M/1/N/∞)3.3顾客源有限的情形(M/M/1/∞/m)3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)标准的M/M/1模型(1)输入过程——顾客源是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间内的到达数服从泊松分布，到达过程是平稳的。(2)排队规则——单队，且对队长没有限制，先到先服务。(3)服务机构——单服务台，各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。此外，还假定到达间隔时间和服务时间是相互独立的。系统在任意时刻t的状态为n(系统中有n个顾客)的概率，它决定了系统运行的特征。n○○n(D)n×○n-1(C)n○×n+1(B)n××n(A)离去到达在时刻顾客数在区间在时刻t顾客数情况○表示发生(1个)；×表示没有发生。它们的概率分别是：情况(A)情况(B)情况(C)情况(D)在时刻，系统中有n个顾客(n＞0)存在下列四种情况(到达或离去是2个以上的没列入)：同理求得

情况(A)情况(B)情况(C)情况(D)应是这四项之和，即整理得令，得关于的微分差分方程当，则只有上表中(A)，(B)两种情况，即状态1转移到状态0的转移率为：研究稳态的情况。这时与t无关，可写成，它的导数为0。由(12-15)式和(12-16)式可得这是关于的差分方程，它表明了各状态间的转移关系：状态0转移到状态1的转移率为：分析(12-18)得对ρ的实际意义的解释

ρ＝λ/μ，是平均到达率与平均服务率之比，即在相同时区内顾客到达的平均数与被服务的平均数之比。若将ρ表示为ρ＝(1/μ)/(1/λ)，它是一个顾客的服务时间与到达间隔时间之比，称ρ为服务强度(trafficintensity)，或话务强度。由(12-19)式可知，ρ=1-P0，它刻画了服务机构的繁忙程度，所以ρ又称为服务机构的利用率。(1)系统中的平均顾客数(2)在队列中等待的平均顾客数顾客在系统中的逗留时间W(为一个随机变量)在M/M/1情形下，服从参数为的负指数分布，即

于是，得到(3)在系统中顾客逗留时间的期望值

(4)在队列中顾客等待时间的期望值

将以上结果归纳如下：

它们的相互关系如下：

上式称为Little公式。例1、某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到来服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求（1）修理店空闲的概率。3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)稳态情形下各状态间概率强度的转换关系图状态概率的稳态方程

由，令得到M/M/1/N/∞排队系统的各项指标：(1)队长(期望值)(2)队列长(期望值)(3)顾客逗留时间(期望值)(4)顾客等待时间(期望值)(5)有效到达率例4某单人理发馆为等待的顾客准备了6把椅子，当6把椅子都坐满时，再来的顾客将不进店而离开。顾客的平均到达率为3人/小时，理发平均需要15分钟。(1)某顾客一到达就能理发的概率(2)需要等待的顾客数的期望值 (3)有效到达率(4)一顾客在理发馆内逗留的期望时间

则系统的容量为N=7，人/小时，人/小时。(人/小时)(小时)(分钟)3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)背景设有m台机器(顾客总体)，机器因故障停机表示“到达”，待修的机器形成队列，修理工人是服务员，本节讨论单服务员的情形。顾客总体虽只有m个，但每个顾客到来并经过服务后，仍回到原来总体，所以仍然可以再到来。在机器故障问题中，同一台机器出了故障(到来)并经修好(服务完了)仍可再出故障。模型符号中的∞表示对系统的容量没有限制，但实际上它不会超过m，所以可写成(M/M/1/m/m)。(机器维修问题)各状态间的转移差分方程