2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期第四次月考数学试题【含答案】

2021-2022学年安徽省滁州市定远县第二中学高二下学期第四次月考数学试题一、单选题1．若直线的方向向量分别为，则（

）A． B．C．相交但不垂直 D．平行或重合【答案】B【分析】根据两直线的方向向量，求出的值，即可得出直线的位置关系【详解】解：由题意∵，∴，∴.故选：B.2．一质点按运动方程（位移单位：，时间单位：）做运动.若质点在时的瞬时速度为，则常数的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】先对已知函数求导，然后结合导数的定义运算求解．【详解】由题意可得：，则，所以.故选：C.3．已知点且线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】由题知的中点坐标为，代入方程即可得答案.【详解】解：由题知线段的中点坐标为，因为点且线段的垂直平分线的方程是所以，将代入直线中，得，解得.故选：C4．设随机变量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正态曲线的对称性可得.【详解】，若，则.故选：A5．在的展开式中，含的正整数次幂的项共有A．4项 B．3项 C．2项 D．1项【答案】B【详解】的展开式的通项为为整数，项，即，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6．等差数列中，，则的等差中项是（

）A．9 B．3 C．12 D．6【答案】D【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式的性质，可以求得，接着利用等差数列通项公式的性质即可求出，的等差中项.【详解】，，，即，，.故选：D7．已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由题知最长弦为直径，最短弦为是过且与直径垂直的弦长，进而求得弦长，计算面积即可.【详解】解：由题知圆心为，半径为,由圆的性质可知，最长的弦长为直径，故，最短的弦长是过且与直径垂直的弦长，由于,故，因为，所以面积为.故选：D8．甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，“甲独自去一个工厂实习”为事件B，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出甲独自去一个工厂实习有，3为大学毕业生去的工厂各不相同有，根据条件概率公式，即可求解.【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件B，事件包含的基本事件有，“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，事件包含的基本事件有，.故选:A.【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题.9．已知为的导函数，则的图象是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导后由函数性质判断【详解】，则，为奇函数，故排除B，D，且，故排除C，故选：A10．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆定义，结合，解得|，然后根据椭圆的几何性质，由求解.【详解】根据椭圆定义，将代入得|，根据椭圆的几何性质，，故，即，故，又，所以椭圆离心率的取值范围为故选：B．【点睛】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，属于基础题.11．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据二项分布求期望.【详解】由题意，，故，故选:C.12．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、的大小即可.【详解】令，则．因为对于恒成立，所以，即在上单调递增，又，，，且，所以，即．故选：A二、填空题13．已知随机变量服从二项分布，则___________.【答案】【分析】由二项分布得到，即可求出的值.【详解】解：由题意在随机变量中，服从二项分布，∴，∴故答案为：.14．某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程（千米）服从正态分布.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在1970（千米）到2020（千米）之间的概率为___________.（参考公式：随机变量服从正态分布，则，，.）【答案】0.9759【分析】根据正态分布求出和的值，根据参考公式，即可求出单次最大续航里程恰在1970千米到2020千米之间的概率.【详解】解：由题意，∴，∴故答案为：0.9759.15．设等差数列的前项和为，若，则数列的最小项是第___________项.【答案】【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解.【详解】设等差数列的公差为，且，且.又，所以数列的最小项是.故答案为:9.16．已知函数，对于任意不同的，，有，则实数a的取值范围为______．【答案】【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式即可求解.【详解】对于任意，，有，不妨设，则，即，设，则，又，所以单调递增，则恒成立，因为，所以，令，要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，又，所以，即，故答案为：三、解答题17．已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）.（2）展开式中的有理项为：，，【详解】试题分析：（1）故.（2）设展开式中的有理项为n则，故r=2，5，8展开式中的有理项为：，点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知条件，再求，有时还需先求，再求，才能求出.18．已知点P到，的距离之和等于．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点的直线l与（1）中的曲线C相切，且与圆也相切，求r的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由题意可知，故可根据椭圆的定义判定曲线C为椭圆，进而求得椭圆方程；（2）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，根据直线和椭圆相切，令判别式为零，求得直线方程，再根据直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可求得答案.【详解】（1）据题意有：,由椭圆的定义知点P的轨迹C是以，为焦点的椭圆，，，所以，所以轨迹C的方程为．（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立得，由题意得，所以，，所以直线l的方程为，即．因为直线l与圆也相切，所以．19．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.(1)求女生乙被选中的概率；(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.【详解】（1）女生乙被选中事件的概率.（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则20．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，求出平面平面的法向量，即可证明；(2)利用线面夹角的向量运算求解.【详解】（1）设的中点分别为，连接，因为，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以,因为底面是直角梯形，的中点分别为，所以，又，所以.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图所示，已知，则，.，设是平面的一个法向量，则，即，令，则.设是平面的一个法向量，则，即，令，则.因为，所以，即平面平面.（2），设直线与平面的夹角为，则，直线与平面夹角的正弦值为.21．北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有人，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1)（人）(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；(2)根据超几何分布计算概率.【详解】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，其中男会员有（人），女会员有16人，所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有（人）.（2）可能的取值有，所以的分布列为0123所以的期望.22．已知函数．（1）令讨论函数的单调性；（2）求证：对任意的正整数，当时，有【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求导，分，，讨论求解；（2）将证时，成立，转化为证时成立，根据，得到，再令求解即可.【详解】（1）因为，定义域为，所以，①当时，在上恒成立，故在是减函数；②当时，由得，判别式所以不等式恒成立，从而恒成立，所以是减函数；③当时，由，即，判别式，所以方程有两个不同的实根或，又时，恒成立，所以当时，，当时，，故在上为减函